4.8 凝聚态系统中的序

近年来，拓扑方法在凝聚态物理中发挥着越来越重要的作用。例如，人们已用同伦论来对凝聚系统中延展物体的可能形式（如孤子、涡旋、单极子等）进行分类。这些分类将在4.8 节-4.10中研究。这里，我们简要考察发生相变的凝聚系统的序参量。

4.8.1 序参量

设 $H$ 是描述凝聚态系统的哈密顿量。我们假定 $H$ 在某种对称操作下不变。系统的基态不必保持 $H$ 的对称性。若情况如此，我们就说该系统发生了自发对称破缺(spontaneous symmetry breakdown)。

为说明这一现象，我们考虑海森堡哈密顿量

$$H=-J\sum _{(i,j)}{S}_i\cdot S_j+\mathbf{h}\cdot \sum _i{S}_i\text{\hspace{1em}(4.57)}$$

它描述 $N$ 个铁磁海森堡自旋 $\{S_i\}$。参数 $J$ 是正常数，求和遍及最近邻格点对 $(i,j)$，而 $h$ 是均匀外磁场。配分函数为 $Z=\mathrm{tr}{\mathrm{e}}^{-\beta H}$，其中 $\beta =1/T$ 是逆温度。自由能 $F$ 由 $\exp (-\beta F)=Z$ 定义。每个自旋的平均磁化强度为

$$\mathbf{m}\equiv \frac{1}{N}\sum _i⟨S_i⟩=\frac{1}{N\beta }\frac{\partial F}{\partial \mathbf{h}}\text{\hspace{1em}(4.58)}$$

其中 $⟨\dots ⟩\equiv \mathrm{tr}(\dots {\mathrm{e}}^{-\beta H})/Z$。让我们考虑极限 $h\to 0$。尽管在该极限下 $H$ 在所有 $S_i$ 的 SO(3) 旋转下不变，但众所周知，当 $\beta$ 足够大时 $m$ 并不为零，系统并不遵守 SO(3) 对称性。人们称系统表现出自发磁化，而使 $m\ne 0$ 成立的最大温度称为临界温度(critical temperature)。

矢量 $m$ 是描述有序态 $(m\ne 0)$ 与无序态 $(m=0)$ 之间相变的序参量(order parameter)。系统在绕磁化轴 $m$ 的 SO(2) 旋转下仍然是对称的。

这一相变的机制是什么呢？自由能为 $F=⟨H⟩-TS$，其中 $S$ 是熵。在低温下，$F$ 中的 $TS$ 项可以忽略，此时 $F$ 的极小值通过使 $⟨H⟩$ 取极小来实现，而只要所有 $S_i$ 都指向同一方向，这一点就能实现。然而在高温下，熵项在 $F$ 中占主导地位，此时 $F$ 的极小值通过使 $S$ 取极大来实现，而只要 $S_i$ 的方向完全随机，这一点就能实现。

若系统处于均匀温度，则大小 $|m|$ 与位置无关，而 $m$ 仅由其方向确定。在基态下，可以预期 $m$ 本身也与位置无关。为确定 $m$ 的方向，引入极坐标 $(\theta ,\varphi )$ 是方便的。$m$ 与球面 $S^2$ 上的点之间存在一一对应。假设 $m$ 随位置变化：$m=m(x)$。在空间的每一点 $x$ 处都指定了 $S^2$ 的一个点 $(\theta ,\varphi )$，于是我们得到一个从空间到 $S^2$ 的映射 $(\theta (x),\varphi (x))$。除基态（以及由基态附近的小振动（自旋波）所描述的激发态）之外，系统还可能具有各种无法通过小扰动从基态得到的激发态。可能存在何种激发取决于空间的维数和序参量。例如，若空间是二维的，海森堡铁磁体就可能容许一种称为 Belavin-Polyakov 单极子(Belavin-Polyakov monopole)的激发，如图 4.20所示（Belavin and Polyakov 1975）。注意此时 $m$ 趋于一个常矢量 $(\hat{z}$，因此能量并不发散。这一条件保证了该激发的稳定性；在远离原点处保持 $m$ 不变的前提下，不可能把这种位形形变为均匀位形。这类稳定性依赖于拓扑论证的激发称为拓扑激发(topological excitation)。注意，场 $m(x)$ 定义了一个映射 $m:S^2\to S^2$，因而由同伦群 ${\pi }_2(S^2)=\mathbb{Z}$ 来分类。

图 4.20. Belavin-Polyakov 单极子的示意图。当 $|x|\to \infty$ 时，矢量 $m$ 趋于 $\hat{z}$。

4.8.2 超流体 ${}^4\mathrm{He}$ 与超导体

在博戈留波夫理论中，超流体 ${}^4\mathrm{He}$ 的序参量是期望值

$$⟨\varphi (\mathbf{x})⟩=\Psi (\mathbf{r})={\Delta }_0(\mathbf{x}){\mathrm{e}}^{\mathrm{l}\alpha (\mathbf{x})}\text{\hspace{1em}(4.59)}$$

其中 $\varphi (x)$ 是场算符。在算符形式中，

$$\varphi (\mathbf{x})\sim (\text{产生算符})+(\text{湮灭算符})$$

由此可知，若 $\Psi (x)\ne 0$，则粒子数不守恒。这与整体规范对称性的自发破缺有关。

${}^4\mathrm{He}$ 的哈密顿量为

$$\begin{array}{rl}& H=\int \mathrm{d}\mathbf{x}{\varphi }^{†}(\mathbf{x})\left(-\frac{{\nabla }^2}{2m}-\mu \right)\varphi (\mathbf{x})\\ & +\frac{1}{2}\int \mathrm{d}x\mathrm{d}y{\varphi }^{†}(y)\varphi (y)V(|x-y|){\varphi }^{†}(x)\varphi (x).\end{array}\text{\hspace{1em}(4.60)}$$

显然，$H$ 在整体规范变换下不变

$$\varphi (\mathbf{x})\to {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\chi }\varphi (\mathbf{x}).\text{\hspace{1em}(4.61)}$$

然而，序参量的变换方式为

$$\Psi (x)\to {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\chi }\Phi (x)\text{\hspace{1em}(4.62)}$$

因而它并不遵循哈密顿量的对称性。描述 ${}^4\mathrm{He}$ 的唯象自由能由两部分贡献构成。主要贡献是凝聚能

$${\mathcal{F}}_0\equiv \frac{\alpha }{2!}|\Psi (\mathbf{x}){|}^2+\frac{\beta }{4!}|\Psi (\mathbf{x}){|}^4\text{\hspace{1em}(4.63a)}$$

其中 $\alpha \sim {\alpha }_0(T-T_{\mathrm{c}})$ 在临界温度 $T\sim 4\mathrm{K}$ 处改变符号。图 4.21 画出了 ${\mathcal{F}}_0$ 在 $T>T_{\mathrm{c}}$ 与 $T<T_{\mathrm{c}}$ 时的情形。若 $T>T_{\mathrm{c}}$，则 ${\mathcal{F}}_0$ 在 $\Psi (x)=0$ 处取极小；而若 $T<T_{\mathrm{c}}$，则在 $|\Psi |={\Delta }_0\equiv [-(6\alpha /\beta ){]}^{1/2}$ 处取极小。若 $\Psi (x)$ 依赖于 $x$，我们还有一个附加的贡献，称为梯度能(gradient energy)

图 4.21. 当 $T>T_{\mathrm{c}}$ 时自由能在 $|\Psi |=0$ 处取极小，当 $T<T_{\mathrm{c}}$ 时在 $|\Psi |={\Delta }_0$ 处取极小。

$${\mathcal{F}}_{\text{梯度}}\equiv \frac{1}{2}K\overline{\nabla \Psi (\mathbf{x})}\cdot \nabla \Psi (\mathbf{x})\text{\hspace{1em}(4.63b)}$$

其中 $K$ 为一正常数。若 $\Psi (x)$ 的空间变化足够平缓，我们可以假定 ${\Delta }_0$ 为常数（伦敦极限）。

在超导体的 BCS 理论中，序参量由下式给出（Tsuneto 1982）

$${\Psi }_{\alpha \beta }\equiv ⟨{\psi }_{\alpha }(\mathbf{x}){\psi }_{\beta }(\mathbf{x})⟩\text{\hspace{1em}(4.64)}$$

其中 ${\psi }_{\alpha }(x)$ 是自旋为 $\alpha =(\uparrow ,\downarrow )$ 的（非相对论性）电子场算符。然而应当注意，(4.64) 并不是自旋代数的一个不可约表示。为看清这一点，我们来考察 ${\Psi }_{\alpha \beta }$ 在自旋转动下的行为。考虑绕轴 $n$ 转过无穷小角度 $\theta$ 的自旋转动，其矩阵表示为

$$R=I_2+\mathrm{i}\frac{\theta }{2}{n}^{\mu }{\sigma }_{\mu },$$

其中 ${\sigma }_{\mu }$ 为泡利矩阵。由于 ${\psi }_{\alpha }$ 按 ${\psi }_{\alpha }\to R_{\alpha }^{\beta }{\psi }_{\beta }$ 的方式变换，我们有

$$\begin{array}{rl}& {\Psi }_{\alpha \beta }\to R_{\alpha }^{{\alpha }^{\prime }}{\Psi }_{{\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }}{R}_{\beta }^{{\beta }^{\prime }}=(R\cdot \Psi \cdot R^{\mathrm{t}}{)}_{\alpha \beta }\\ & ={\left[\Psi +\mathrm{i}\frac{\delta }{2}\mathbf{n}(\sigma \Psi {\sigma }_2-\Psi {\sigma }_2\sigma )\right]}_{\alpha \beta }\end{array}$$

这里我们注意到 ${\sigma }_{\mu }^{\mathrm{t}}=-{\sigma }_2{\sigma }_{\mu }{\sigma }_2$。假设 ${\Psi }_{\alpha \beta }\propto \mathrm{i}({\sigma }_2{)}_{\alpha \beta }$。那么 $\Psi$ 在此转动下不变，因此它代表自旋单态配对。我们写出

$${\Psi }_{\alpha \beta }(\mathbf{x})=\Delta (\mathbf{x})(\mathrm{i}{\sigma }_2{)}_{\alpha \beta }={\Delta }_0(\mathbf{x}){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi (\mathbf{x})}(\mathrm{i}{\sigma }_2{)}_{\alpha \beta }.\text{\hspace{1em}(4.65a)}$$

然而，如果我们取

$${\Psi }_{\alpha \beta }(\mathbf{x})={\Delta }^{\mu }(\mathbf{x})\mathrm{i}{\left({\sigma }_{\mu }\cdot {\sigma }_2\right)}_{\alpha \beta }\text{\hspace{1em}(4.65b)}$$

便有

$${\Psi }_{\alpha \beta }\to [{\Delta }^{\mu }+\delta {\epsilon }^{\mu \nu \lambda }{n}_{\nu }{\Delta }_{\lambda }](\mathrm{i}{\sigma }_{\mu }\cdot {\sigma }_2{)}_{\alpha \beta }.$$

这表明 ${\Delta }^{\mu }$ 是自旋空间中的一个向量，因此 (4.65b) 代表自旋三重态配对(spin-triplet pairing)。

常规超导体的序参量具有 (4.65a) 的形式，目前我们只限于讨论这种情形。在 (4.65a) 中，$\Delta (x)$ 与超流体 ${}^4\mathrm{He}$ 的 $\Psi (x)$ 形式相同，自由能也仍由 (4.63) 给出。这种相似性应归因于库珀对。在超流态中，宏观数目的 ${}^4\mathrm{He}$ 原子占据基态（玻色-爱因斯坦凝聚），由于量子相干性，它随后表现得像一个巨大的分子。在这种状态下，产生元激发需要有限的能量，除非供给这一临界能量，否则流动不会衰减。由于电子是费米子，乍看之下并不存在玻色-爱因斯坦凝聚。关键的观察在于库珀对。通过交换声子，一对电子感受到一种恰好勉强克服库仑斥力的吸引力。这种微弱的吸引力使电子有可能形成（在动量空间中）服从玻色统计的配对。这些对随后凝聚，形成电荷为 $2e$ 的库珀对的超流态。

电磁场通过最小耦合与系统耦合

$${\mathcal{F}}_{\text{梯度}}=\frac{1}{2}K{\left|\left({\partial }_{\mu }-\mathrm{i}2e{A}_{\mu }\right)\Delta (\mathbf{x})\right|}^2.\text{\hspace{1em}(4.66)}$$

（这里出现 $2e$ 这一项，是因为库珀对带有电荷 $2e$。）根据在外加磁场中的行为，超导体大致分为两类。第一类超导体在强磁场中形成中间态，其中正常区域与超导区域共存。第二类超导体则形成涡旋晶格（阿布里科索夫晶格），把磁场限制在涡旋芯内，而其余区域仍保持超导态。在置于圆筒中的旋转超流体 ${}^4\mathrm{He}$ 中，也观测到了类似的涡旋晶格。

4.8.3 一般性讨论

在接下来的两节中，我们研究同伦群在有序介质缺陷分类中的应用。本节的分析依据 Toulouse 与 Kleman（1976）、Mermin（1979）以及 Mineev（1980）的工作。

正如前面几个小节所见，当凝聚态系统发生相变时，系统的对称性会降低，而这种降低由序参量来描述。为明确起见，我们考虑三维的超导体介质。序参量取 $\psi (x)={\Delta }_0(x){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi (x)}$ 的形式。设系统在均匀的外部条件（温度、压强等）下处于均匀状态。振幅 ${\Delta }_0$ 由凝聚自由能取极小值唯一确定。注意此时仍剩下大量自由度：$\psi$ 可以在圆周 $S^1\cong \mathrm{U}(1)$ 上取任意值。

它由相位 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }$ 决定。这样，均匀系统的取值落在某个区域 $M$ 内，该区域称为序参量空间(order parameter space)。对超导体，$M=U(1)$；对海森堡自旋系统，$M=S^2$。向列相液晶的序参量空间为 $M=\mathbb{R}{P}^2$，而超流体 ${}^3\mathrm{He}-\mathrm{A}$ 的序参量空间为 $M=S^2\times \mathrm{SO}(3)$，参见4.9 节。

若系统处于非均匀态，则梯度自由能不能忽略，$\psi$ 可能不再取值于 $M$ 中。不过，如果序参量变化的特征尺度远大于相干长度，我们仍可假定序参量取值于 $M$ 中，只是此时其取值是位置的函数。在这种情况下，介质中可能存在一些点、线或面，序参量在其上没有唯一的定义。它们称为缺陷(defect)。按维数可分为点缺陷(point defect)（单极子）、线缺陷(line defect)（涡旋）和面缺陷(surface defect)（畴壁）。这些缺陷由同伦群来分类。

更数学地说，设 $X$ 是充满所考察介质的空间。序参量是一个经典场 $\psi (x)$，它也可视为一个映射 $\psi :X\to M$。假定介质中存在一个缺陷。为具体起见，我们考虑超导体这一三维介质中的线缺陷。设想一个环绕该线缺陷的圆周 $S^1$。若 $S^1$ 的每一部分都远离线缺陷，即比相干长度 $\xi$ 远得多，则可假定沿 $S^1$ 的序参量取值于序参量空间 $M=\mathrm{U}(1)$ 中，如图 4.22所示。基本群正是由此进入问题的：我们谈论的是拓扑空间 $\mathrm{U}(1)$ 中的环路。映射 $S^1\to \mathrm{U}(1)$ 由同伦类来分类。取一点 $r_0\in S^1$，并要求 $r_0$ 被映到 $x_0\in M$。注意到 ${\pi }_1(\mathrm{U}(1),x_0)=\mathbb{Z}$，我们便可给该线缺陷指定一个整数。这个整数称为缠绕数(winding number)，因为它计算 $S^1$ 的像绕空间 $\mathrm{U}(1)$ 缠绕了多少圈。若两个线缺陷具有

图 4.22. 环绕线缺陷（涡旋）的圆周 $S^1$ 被映射到 $\mathrm{U}(1)=S^1$。这一映射由基本群 ${\pi }_1(\mathrm{U}(1))$ 分类。

若两个线缺陷的缠绕数相同，则其中一个可以连续形变为另一个。若两个线缺陷 $A$ 与 $B$ 合并在一起，则新的线缺陷属于 $A$ 与 $B$ 在合并之前各自所属的同伦类之积所在的同伦类。由于 $\mathbb{Z}$ 中的群运算是加法，新的缠绕数就是原来各缠绕数之和。序参量的均匀分布对应于常值映射 $\psi (x)=x_0\in M$，它属于单位元 $0\in \mathbb{Z}$。若两个缠绕数相反的线缺陷合并在一起，则新的线缺陷可以连续形变为无缺陷的构型。

那么其他同伦群又如何呢？我们首先考虑缺陷的维数以及包围它的球面 $S^n$。例如，考虑三维介质中的一个点缺陷。它可以被 $S^2$ 包围，而该缺陷由 ${\pi }_2(M,x_0)$ 分类。若 $M$ 有许多连通分支，则 ${\pi }_0(M)$ 是非平凡的。让我们考虑一个三维伊辛模型，其中 $M=\{\downarrow \}\cup \{\uparrow \}$。此时存在一个序参量没有定义的畴壁。例如，若当 $x<0$ 时 $S=\uparrow$，而当 $x>0$ 时 $S=\downarrow$，则在 $x=0$ 处的 $yz$ 平面内存在一个畴壁。一般地，$d$ 维介质中的 $m$ 维缺陷由同伦群 ${\pi }_n(M,x_0)$ 分类，其中

$$n=d-m-1.\text{\hspace{1em}(4.67)}$$

在伊辛模型的情形下，$d=3$，$m=2$；因此 $n=0$。

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