4.7 高阶同伦群的例子

一般说来，并没有计算高阶同伦群 ${\pi }_n(X)$ 的算法。对每个拓扑空间，当 $n\ge 2$ 时都需要用各自特有的方法。这里我们研究几个例子，其中的高阶同伦群可以通过直观的论证得到。我们还在表 4.1中收集了一些有用的结果。

表 4.1. 一些有用的同伦群。

例 4.13

若注意到 ${\pi }_n(X,x_0)$ 是 $X$ 中 $n$-环路 $S^n$ 的同伦类构成的集合，我们立刻可得

$${\pi }_n\left(S^n,x_0\right)\cong \mathbb{Z}n\ge 1.\text{\hspace{1em}(4.53)}$$

若 $\alpha$ 把 $S^n$ 映到一个点 $x_0\in S^n$，则 $[\alpha ]$ 就是单位元 $0\in \mathbb{Z}$。由于 $I^n/\partial I^n$ 与 $S^n$ 都是可定向的，我们可以给它们指定定向。若 $\alpha$ 按相同定向意义把 $I^n/\partial I^n$ 同胚地映到 $S^n$ 上，则 $[\alpha ]$ 被指定为元素 $1\in \mathbb{Z}$。若同胚 $\alpha$ 按相反定向意义把 $I^n/\partial I^n$ 映到 $S^n$ 上，则 $[\alpha ]$ 对应于元素 $-1$。例如，取 $n=2$。由于 $I^2/\partial I^2\cong S^2$，$I^2$ 中的点可用极坐标 $(\theta ,\varphi )$ 表示，如图 4.19所示。类似地，$X=S^2$ 可用极坐标 $({\theta }^{\prime },{\varphi }^{\prime })$ 表示。设 $\alpha :(\theta ,\varphi )\to ({\theta }^{\prime },{\varphi }^{\prime })$ 是 $X$ 中的一个 2-环路。若 ${\theta }^{\prime }=\theta$ 且 ${\varphi }^{\prime }=\varphi$，则当点 $(\theta ,\varphi )$ 按同一定向扫过 $I^2$ 一次时，点 $({\theta }^{\prime },{\varphi }^{\prime })$ 扫过 $S^2$ 一次。这个 2-环路属于类 $+1\in {\pi }_2(S^2,x_0)$。若 $\alpha :(\theta ,\varphi )\to ({\theta }^{\prime },{\varphi }^{\prime })$ 由 ${\theta }^{\prime }=\theta$ 与 ${\varphi }^{\prime }=2\varphi$ 给出，则当 $(\theta ,\varphi )$ 扫过 $I^2$ 一次时，点 $({\theta }^{\prime },{\varphi }^{\prime })$ 扫过 $S^2$ 两次。这个 2-环路属于类 $2\in {\pi }_2(S^2,x_0)$。一般地，映射 $(\theta ,\varphi )\mapsto (\theta ,k\varphi ),k\in \mathbb{Z}$ 对应于 ${\pi }_2(S^2,x_0)$ 中的类 $k$。类似的论证可对一般的 $n>2$ 验证(4.53)。

图 4.19. $I^2$ 中的点可用极坐标 $(\theta ,\varphi )$ 表示。

例 4.14

注意到当 $n>2$ 时，$S^n$ 是 $\mathbb{R}{P}^n$ 的万有覆叠空间，我们得到

$${\pi }_n\left(\mathbb{R}{P}^n\right)\cong {\pi }_n\left(S^n\right)\cong \mathbb{Z}n\ge 2.\text{\hspace{1em}(4.54)}$$

[当然，这对 $n=1$ 恰好成立，因为 $\mathbb{R}{P}^1=S^1$。] 例如，我们有 ${\pi }_2(\mathbb{R}{P}^2)\cong {\pi }_2(S^2)\cong \mathbb{Z}$。由于 $\mathrm{SU}(2)=S^3$ 是 $\mathrm{SO}(3)=\mathbb{R}{P}^3$ 的万有覆叠群，由定理 4.10可知（另见(4.48)）

$${\pi }_3(\mathrm{SO}(3))\cong {\pi }_3(\mathrm{SU}(2))\cong {\pi }_3\left(S^3\right)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(4.55)}$$

超流体 ${}^3\mathrm{He}-\mathrm{A}$ 中 Shankar 的单极子对应于这些同伦类中的非平凡元素，见4.10 节。${\pi }_3(\mathrm{SU}(2))$ 也被用于example 9.8中瞬子的分类。

总之，我们有表 4.1。表中还列出了其他一些有用的同伦群。我们对几个有趣的事实作些评论。

(a) 由于 $\mathrm{Spin}(4)=\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$ 是 SO(4) 的万有覆叠群，故当 $n>2$ 时我们有 ${\pi }_n(\mathrm{SO}(4))={\pi }_n(\mathrm{SU}(2))\oplus {\pi }_n(\mathrm{SU}(2))$
(b) 存在一个映射 $J$，称为 $J$-同态 $J:{\pi }_k(\mathrm{SO}(n))\to {\pi }_{k+n}(S^n)$，见 Whitehead (1978)。特别地，若 $k=1$，已知该同态是同构，于是我们有 ${\pi }_1(\mathrm{SO}(n))={\pi }_{n+1}(S^n)$。例如，我们得到

$${\pi }_1(\mathrm{SO}(2))\cong {\pi }_3(S^2)\cong \mathbb{Z}$$

$${\pi }_1(\mathrm{SO}(3))\cong {\pi }_4(S^3)\cong {\pi }_4(\mathrm{SU}(2))\cong {\pi }_4(\mathrm{SO}(3))\cong {\mathbb{Z}}_2.$$

(c) 博特周期性定理指出

$${\pi }_k(\mathrm{U}(n))\cong {\pi }_k(\mathrm{SU}(n))\cong \{\begin{array}{ll}\{e\}& \text{若 k 为偶数}\\ \mathbb{Z}& \text{若 k 为奇数}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.56)}$$

对 $n\ge (k+1)/2$ 成立。类似地，

$${\pi }_k(\mathrm{O}(n))\cong {\pi }_k(\mathrm{SO}(n))\cong \{\begin{array}{ll}\{e\}& \text{i f}k\equiv 2,4,5,6(\mathrm{mod}8)\\ {\mathbb{Z}}_2& \text{i f}k\equiv 0,1(\mathrm{mod}8)\\ \mathbb{Z}& \text{i f}k\equiv 3,7(\mathrm{mod}8)\end{array}\text{\hspace{1em}(4.50)}$$

对 $n\ge k+2$ 成立。辛群也有类似的周期性，此处不再给出。

更多的内容可在 Ito (1987) 附录 A 表 6 中找到。

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