12 指标定理

在物理学中，我们常常考虑定义在流形 $M$ 上的微分算子。典型的例子有拉普拉斯算符、达朗贝尔算子和狄拉克算符。从数学的观点看，这些算子被看作截面之间的映射

$$D:\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,F)$$

其中 $E$ 与 $F$ 是 $M$ 上的向量丛。例如，狄拉克算符是映射 $F(M,E)\to F(M,E)$，其中 $E$ 是 $M$ 上的自旋丛。若在 $E$ 与 $F$ 上定义了内积，就可以定义 $D$ 的伴随，

$$D^{†}:\Gamma (M,F)\to \Gamma (M,E).$$

由于 $D$ 是微分算子，它携带着关于谱及其简并度的分析信息。下面我们关心的是 $D$ 与 $D^{†}$ 的零本征向量，

$$\ker D\equiv \{s\in \Gamma (M,E)|Ds=0\}$$

$$\ker D^{†}\equiv \{s\in \Gamma (M,F)|D^{†}s=0\}.$$

解析指标(analytical index)定义为

$$\mathrm{ind}D=\dim \ker D-\dim \ker D^{†}.$$

令人惊讶的是，这一分析量是一个拓扑不变量，它可以用某个适当的示性类在 $M$ 上的积分来表示，从而给出关于 $M$ 的纯拓扑信息。分析与拓扑之间的这种相互作用，正是指标定理的主要内容。

我们的论述依据 Eguchi 等（1980）、Gilkey（1984）、Shanahan（1978）、Kulkarni（1975）以及 Booss 与 Bleecker（1985）。读者可查阅这些文献以了解细节。Alvarez（1985）简要概述了这一课题，并给出了它在反常与弦方面的应用。

习题

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