9.3 向量丛

9.3.1 定义与例子

向量丛 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 是纤维为向量空间的纤维丛。设 $F$ 为 ${\mathbb{R}}^k$，$M$ 为 $m$ 维流形。通常把 $k$ 称为纤维维数，并记作 $\dim E$，尽管全空间 $E$ 是 $m+k$ 维的。由于过渡函数把一个向量空间同构地映到另一个同维数的向量空间上，所以它属于 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$。若 $F$ 是复向量空间 ${\mathbb{C}}^k$，则结构群为 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{C})$。

例 9.3

$m$ 维流形 $M$ 上的切丛 $TM$ 是一个向量丛，其典型纤维为 ${\mathbb{R}}^m$，见9.1 节。设 $u$ 为 $TM$ 中的一点，使得 $\pi (u)=p\in U_i\cap U_j$，其中 $\{U_i\}$ 覆盖 $M$。令 $x^{\mu }={\phi }_i(p)$

$(y^{\mu }={\phi }_j(p))$ 为 $U_i$（$(U_j)$）的坐标系。与 $u$ 对应的向量 $V$ 表示为 $V=V^{\mu }\partial /\partial x^{\mu }{|}_p={\tilde{V}}^{\mu }\partial /\partial y^{\mu }{|}_p$。局部平凡化为

$${\varphi }_i^{-1}(u)=\left(p,\left\{V^{\mu }\right\}\right){\varphi }_j^{-1}(u)=\left(p,\left\{{\tilde{V}}^{\mu }\right\}\right).\text{\hspace{1em}(9.20)}$$

纤维坐标 $\{V^{\mu }\}$ 与 $\{{\tilde{V}}^{\mu }\}$ 之间的关系为

$$V^{\mu }=G_v^{\mu }(p){\tilde{V}}^v\text{\hspace{1em}(9.21)}$$

其中 $\{G_{\nu }^{\mu }(p)\}=\{(\partial x^{\mu }/\partial y^{\nu }{)}_p\}\in \mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$。因此，切丛是 $(TM,\pi ,M,{\mathbb{R}}^m,\mathrm{GL}(m,\mathbb{R}))$。$TM$ 的截面就是 $M$ 上的向量场；$\mathcal{X}(M)=\Gamma (M,TM)$。

为具体起见，我们来具体算出 $T{S}^2$。设 $U_{\mathrm{N}}\equiv S^2-\{\text{South Pole}\}$ 与 $U_{\mathrm{S}}\equiv S^2-\{\text{North Pole}\}$ 构成 $S^2$ 的一个开覆盖。设 $(X,Y)$ 与 $(U,V)$ 分别为各自的球极坐标（例 8.1）。二者之间的关系为

$$U=X/\left(X^2+Y^2\right)V=-Y/\left(X^2+Y^2\right).\text{\hspace{1em}(9.22)}$$

取 $u\in T{S}^2$ 使得 $\pi (u)=p\in U_{\mathrm{N}}\cap U_{\mathrm{S}}$。设 ${\varphi }_{\mathrm{N}}$ 与 ${\varphi }_{\mathrm{S}}$ 分别为局部平凡化，使得 ${\varphi }_{\mathrm{N}}^{-1}(u)=(p,V_{\mathrm{N}}^{\mu })$ 与 ${\varphi }_{\mathrm{S}}^{-1}(u)=(p,V_{\mathrm{S}}^{\mu })$。过渡函数为

$$t_{\mathrm{SN}}(p)=\frac{\partial (U,V)}{\partial (X,Y)}=\frac{1}{r^2}\left(\begin{array}{cc}-\cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{array}\right)\text{\hspace{1em}(9.23)}$$

其中我们已令 $X=r\cos \theta$，$Y=r\sin \theta$。切向量各分量的过渡由把 $\{V_i^{\mu }\}$ 旋转角度 $2\theta$ 再作一次重标度构成。读者应验证 $t_{\mathrm{NS}}(p)=t_{\mathrm{SN}}(p{)}^{-1}$。

例 9.4

设 $M$ 是嵌入 ${\mathbb{R}}^{m+k}$ 中的 $m$ 维流形。设 $N_{p}M$ 是 ${\mathbb{R}}^{m+k}$ 中与 $T_{p}M$ 正交的向量空间，即对任意 $U\in N_{p}M$ 与 $V\in T_{p}M$，关于 ${\mathbb{R}}^{m+k}$ 中的欧几里得度量都有 $U\cdot V=0$。向量空间 $N_{p}M$ 同构于 ${\mathbb{R}}^k$。法丛

$$NM\equiv \bigcup _{p\in M}{N}_{p}M$$

是一个以 ${\mathbb{R}}^k$ 为典型纤维的向量丛。

考虑嵌入 ${\mathbb{R}}^3$ 中的球面 $S^2$。可以把法丛 $N{S}^2$ 想象为 $S^2$，其表面被直线垂直穿过。$N{S}^2$ 是一个平凡丛 $S^2\times \mathbb{R}$。

纤维为一维（$F=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）的向量丛称为线丛(line bundle)。圆柱面 $S^1\times \mathbb{R}$ 是一个平凡的 $\mathbb{R}$-线丛。莫比乌斯带也是一个实线丛。结构群 $\mathrm{GL}(1,\mathbb{R})=\mathbb{R}-\{0\}$ 或 $\mathrm{GL}(1,\mathbb{C})=\mathbb{C}-\{0\}$ 是阿贝尔群。

下面我们经常考虑典范线丛 $L$。回忆一下，${\mathbb{CP}}^n$ 中的元素 $p$ 是 ${\mathbb{C}}^{n+1}$ 中过原点的复直线（例 8.3）。$L$ 的纤维 ${\pi }^{-1}(p)$ 定义为 ${\mathbb{C}}^{n+1}$ 中属于 $p$ 的那条直线。更形式地说，设 $I^{n+1}\equiv {\mathbb{CP}}^n\times {\mathbb{C}}^{n+1}$ 是 ${\mathbb{CP}}^n$ 上的平凡丛。若把 $I^{n+1}$ 的元素写成 $(p,v)$，其中 $p\in {\mathbb{CP}}^n$，$v\in {\mathbb{C}}^{n+1}$，则 $L$ 定义为

$$L\equiv \{(p,v)\in I^{n+1}|v=ap,a\in \mathbb{C}\}.$$

投影映射为 $(p,v)\stackrel{\pi }{\to }p$

例 9.5 · 平凡的

复线丛 $L={\mathbb{R}}^3\times \mathbb{C}$ 与定义在 ${\mathbb{R}}^3$ 上的非相对论量子力学相联系。波函数 $\psi (x)$ 不过是 $L$ 的一个截面。

我们来考虑如1.9 节中所研究的、处于磁单极子场中的波函数 $\psi (x)$。当磁单极子位于原点时，$\psi (x)$ 定义在 ${\mathbb{R}}^3-\{0\}$ 上，于是我们得到 ${\mathbb{R}}^3-\{0\}$ 上的一个复线丛。如果我们只关心磁单极子周围 $S^2$ 上的波函数，就得到 $S^2$ 上的一个复线丛。注意，$S^2$ 是 ${\mathbb{R}}^3-\{0\}$ 的形变收缩核。

9.3.2 标架

在切丛 $TM$ 上，每个纤维都有一个由坐标卡 $U_i$ 上的坐标系 $x^{\mu }$ 给出的自然基 $\{\partial /\partial x^{\mu }\}$。若 $M$ 上赋有度量，我们也可以采用正交归一基 $\{{\hat{e}}_{\alpha }\}$。$\partial /\partial x^{\mu }$ 或 $\{{\hat{e}}_{\alpha }\}$ 是 $U_i$ 上的一个向量场，而集合 $\{\partial /\partial x^{\mu }\}$ 或 $\{{\hat{e}}_{\alpha }\}$ 构成 $U_i$ 上的一组线性无关的向量场。在 $U_i$ 上总可以选取 $m$ 个线性无关的切向量，但在整个 $M$ 上却未必如此。按定义，基向量的分量为

$$\partial /\partial x^{\mu }=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)\mu$$

或

$${\hat{e}}_{\alpha }=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0).$$

这些向量定义了 $U_i$ 上的一个（局部）标架，详见后文。

设 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 是一个向量丛，其纤维为 ${\mathbb{R}}^k$（或 ${\mathbb{C}}^k$）。在坐标卡 $U_i$ 上，部分 ${\pi }^{-1}(U_i)$ 是平凡的，即 ${\pi }^{-1}(U_i)\cong U_i\times {\mathbb{R}}^k$，于是我们可以在 $U_i$ 上选取 $k$ 个线性无关的截面 $\{e_1(p),\dots ,e_k(p)\}$。这些截面称为在 $U_i$ 上定义了一个标架(frame)。给定 $U_i$ 上的一个标架，我们就有一个自然的映射 $F_p\to F$（$={\mathbb{R}}^k$ 或 ${\mathbb{C}}^k$），它由下式给出

$$V=V^{\alpha }{e}_{\alpha }(p)⟼\left\{V^{\alpha }\right\}\in F.\text{\hspace{1em}(9.24)}$$

局部平凡化为

$${\varphi }_i^{-1}(V)=(p,\{V^{\alpha }(p)\}).\text{\hspace{1em}(9.25)}$$

按定义有

$${\varphi }_i\left(p,\{0,\dots ,0,1,0,\dots ,0\}\right)=e_{\alpha }(p).\text{\hspace{1em}(9.26)}$$

设 $U_i\cap U_j\ne \varnothing$，并考虑标架变换。在 $U_i$ 上有一组标架 $\{e_1(p),\dots ,e_k(p)\}$，在 $U_j$ 上有一组标架 $\{{\tilde{e}}_1(p),\dots ,{\tilde{e}}_k(p)\}$，其中 $p\in U_i\cap U_j$。向量 ${\tilde{e}}_{\beta }(p)$ 可表示为

$${\tilde{e}}_{\beta }(p)=e_{\alpha }(p)G(p{)}_{\beta }^{\alpha }\text{\hspace{1em}(9.27)}$$

其中 $G(p{)}_{\beta }^{\alpha }\in \mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 或 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{C})$。任意向量 $V\in {\pi }^{-1}(p)$ 可表示为

$$V=V^{\alpha }{e}_{\alpha }(p)={\tilde{V}}^{\alpha }{\tilde{e}}_{\alpha }(p).\text{\hspace{1em}(9.28)}$$

由(9.27)和(9.28)可得

$${\tilde{V}}^{\beta }=G^{-1}(p{)}_{\alpha }^{\beta }{V}^{\alpha }\text{\hspace{1em}(9.29)}$$

其中 $G^{-1}(p{)}_{\alpha }^{\beta }G(p{)}_{\gamma }^{\alpha }=G(p{)}_{\alpha }^{\beta }{G}^{-1}(p{)}_{\gamma }^{\alpha }={\delta }_{\gamma }^{\beta }$。于是我们发现，过渡函数 $t_{ji}(p)$ 由矩阵 $G^{-1}(p)$ 给出。

9.3.3 余切丛与对偶丛

余切丛 $T^{\ast }M\equiv {\bigcup }_{p\in M}{T}_p^{\ast }M$ 的定义与切丛类似。在坐标为 $x^{\mu }$ 的坐标卡 $U_i$ 上，取 $T_p^{\ast }M$ 的基为 $\{\mathrm{d}{x}^1,\dots ,\mathrm{d}{x}^m\}$，它与 $\{\partial /\partial x^{\mu }\}$ 对偶。设 $y^{\mu }$ 是 $U_j$ 的坐标，使得 $U_i\cap U_j\ne \varnothing$。对 $p\in U_i\cap U_j$，有变换

$$\mathrm{d}{y}^{\mu }=\mathrm{d}{x}^{\nu }{\left(\frac{\partial y^{\mu }}{\partial x^{\nu }}\right)}_p.\text{\hspace{1em}(9.30)}$$

一次形式 $\omega$ 在两个坐标系中分别表示为

$$\omega ={\omega }_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }={\tilde{\omega }}_{\mu }\mathrm{d}{y}^{\mu }$$

由此可得

$${\tilde{\omega }}_{\mu }=G_{\mu }^v(p){\omega }_v\text{\hspace{1em}(9.31)}$$

其中 $G_{\mu }^{\nu }(p)\equiv (\partial x^{\nu }/\partial y^{\mu }{)}_p$ 对应于过渡函数 $t_{ji}(p)$。注意 $\Gamma (M,T^{\ast }M)={\Omega }^1(M)$。

这一余切丛的构造很容易推广到更一般的情形。给定以 $F$ 为纤维的向量丛 $E\stackrel{\pi }{\to }M$，我们可以定义它的对偶丛(dual bundle) $E^{\ast }\stackrel{\pi }{\to }M$。$E^{\ast }$ 的纤维 $F^{\ast }$ 是由 $F$ 到 $\mathbb{R}$（或 $\mathbb{C}$）的线性映射构成的集合。给定 $F_p$ 的一般基 $\{e_{\alpha }(p)\}$，我们通过 $⟨{\theta }^{\alpha }(p),e_{\beta }(p)⟩={\delta }_{\beta }^{\alpha }$ 定义 $F_p^{\ast }$ 的对偶基 $\{{\theta }^{\alpha }(p)\}$。

9.3.4 向量丛的截面

设 $s$ 与 $s^{\prime }$ 是向量丛 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 的截面。其向量加法与标量乘法按点逐点定义为

$$(s+s^{\prime })(p)=s(p)+s^{\prime }(p)\text{\hspace{1em}(9.32a)}$$

$$(fs)(p)=f(p)s(p)\text{\hspace{1em}(9.32b)}$$

其中 $p\in M$，$f\in \mathcal{F}(M)$。每个纤维的零向量 0 在 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$（或 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{C})$）作用下保持不变，因而具有特殊的地位。任何向量丛 $E$ 都容许一个称为零截面(null section)的整体截面 $s_0\in \Gamma (M,E)$，使得在任意局部平凡化下都有 ${\varphi }_i^{-1}(s_0(p))=(p,0)$。

例如，我们来考虑 ${\mathbb{CP}}^n$ 上典范线丛 $L$ 的截面。设 ${\xi }_{(\mu )}^v$ 为 $U_{\mu }$ 上的非齐次坐标，$\{z^{\nu }\}$ 为 $U_{\mu }$ 上的齐次坐标。则 $U_{\mu }$ 上的局部截面 $s_{\mu }$ 具有如下形式

$$s_{\mu }=\{{\xi }_{(\mu )}^0,\dots ,1,\dots ,{\xi }_{(\mu )}^n\}\in {\mathbb{C}}^{n+1}.$$

从一个坐标系到另一个坐标系的过渡由一个标量乘法实现：$s_{\nu }=(z^{\mu }/z^{\nu })s_{\mu }$。设 $L^{\ast }$ 为 $L$ 的对偶丛。对应于 $s_{\mu }$，我们可以选取一个对偶截面 $s_{\mu }^{\ast }$，使得 $s_{\mu }^{\ast }(s_{\mu })=1$。由此我们发现，$s_{\mu }^{\ast }$ 的过渡函数是乘以 $z^{\nu }/z^{\mu }$，即 $s_{\nu }^{\ast }=(z^{\nu }/z^{\mu })s_{\mu }^{\ast }$。

还可以逐点定义纤维度量(fibre metric) $h_{\mu \nu }(p)$。设 $s$ 与 $s^{\prime }$ 是 $U_i$ 上的截面，则 $s$ 与 $s^{\prime }$ 在 $p$ 处的内积定义为

$$(s,s^{\prime }{)}_p=h_{\mu v}(p)s^{\mu }(p)s^{\prime v}(p)\text{\hspace{1em}(9.33a)}$$

若纤维为 ${\mathbb{R}}^k$，则如上定义；若纤维为 ${\mathbb{C}}^k$，则定义

$$(s,s^{\prime }{)}_p=h_{\mu \nu }(p)\overline{s^{\mu }(p)}{s}^{\prime \nu }(p).\text{\hspace{1em}(9.33b)}$$

关于这一主题的更多内容见10.4 节。

9.3.5 积丛与惠特尼和丛

设 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 与 $E^{\prime }\stackrel{{\pi }^{\prime }}{\to }{M}^{\prime }$ 是向量丛，其纤维分别为 $F$ 与 $F^{\prime }$。则积丛(product bundle)

$$E\times E^{\prime }\stackrel{\pi \times {\pi }^{\prime }}{\to }M\times M^{\prime }\text{\hspace{1em}(9.34)}$$

是一个纤维丛，其典型纤维为 $F\oplus F^{\prime }$。[$F\oplus F^{\prime }$ 中的向量写成

$$\left(\begin{array}{c}V\\ W\end{array}\right)\text{其中}V\in F\text{a n d}W\in F^{\prime }.$$

向量加法与标量乘法定义为

$$\left(\begin{array}{c}V\\ W\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{V}^{\prime }\\ W^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}V+V^{\prime }\\ W+W^{\prime }\end{array}\right)$$

以及

$$\lambda \left(\begin{array}{c}V\\ W\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda V\\ \lambda W\end{array}\right).$$

设 $\{e_{\alpha }\}$ 与 $\{f_{\beta }\}$ 分别是 $F$ 与 $F^{\prime }$ 的基。则 $\{e_{\alpha }\}\cup \{f_{\beta }\}$ 是 $F\oplus F^{\prime }$ 的基，并且可得 $\dim (F\oplus F^{\prime })=\dim F+\dim F^{\prime }$。]若 $\pi (u)=p$ 且 ${\pi }^{\prime }(u^{\prime })=p^{\prime }$，则投影映射 $\pi \times {\pi }^{\prime }$ 作用在 $(u,u^{\prime })\in E\times E^{\prime }$ 上为

$$\pi \times {\pi }^{\prime }(u,u^{\prime })=(p,p^{\prime }).\text{\hspace{1em}(9.35)}$$

在 $(p,p^{\prime })$ 处的纤维是 $F_p\oplus F_{p^{\prime }}^{\prime }$。例如，若 $M=M_1\times M_2$，则有 $TM=T{M}_1\times T{M}_2$。

设 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 与 $E^{\prime }\stackrel{{\pi }^{\prime }}{\to }M$ 是向量丛，其纤维分别为 $F$ 与 $F^{\prime }$。惠特尼和丛(Whitney sum bundle) $E\oplus E^{\prime }$ 是由 $f:M\to M\times M$ 定义的 $E\times E^{\prime }$ 的拉回丛，其中 $f(p)=(p,p)$，

$$\begin{array}{rl}& \begin{array}{ccc}E\oplus E^{\prime }& \stackrel{{\pi }_2}{\to }& E\times E^{\prime }\\ {\pi }_1\downarrow & & \downarrow \pi \times {\pi }^{\prime }\end{array}\\ & M\stackrel{f}{⟶}M\times M.\end{array}\text{\hspace{1em}(9.36)}$$

于是 $E\oplus E^{\prime }=\{(u,u^{\prime })\in E\times E^{\prime }|\pi \times {\pi }^{\prime }(u,u^{\prime })=(p,p)\}$。惠特尼和丛的纤维是 $F\oplus F^{\prime }$。$(\pi \times {\pi }^{\prime }{)}^{-1}(p)$ 同构于 ${\pi }^{-1}(p)\oplus {\pi }^{\prime -1}(p)=F_p\oplus F_p^{\prime }$。简言之，$E\oplus E^{\prime }$ 是 $M$ 上的丛，其在 $p$ 处的纤维为 $F_p\oplus F_p^{\prime }$。设 $\{U_i\}$ 是 $M$ 的一个开覆盖，$\{t_{ij}^E\}$ 与 $\{t_{ij}^{\prime }\}$ 分别是 $E$ 与 $E^{\prime }$ 的过渡函数。则 $E\oplus E^{\prime }$ 的过渡函数 $T_{ij}$ 是一个 $(\dim F+\dim F^{\prime })\times (\dim F+\dim F^{\prime })$ 矩阵

$$T_{ij}(p)=\left(\begin{array}{cc}{t}_{ij}^E(p)& 0\\ 0& t_{ij}^{E^{\prime }}(p)\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(9.37)}$$

它从左侧作用在 $F\oplus F^{\prime }$ 上。

例 9.6

设 $E=T{S}^2$ 与 $E^{\prime }=N{S}^2$ 由 ${\mathbb{R}}^3$ 定义。取 $u\in T{S}^2$ 与 $v\in N{S}^2$，它们的局部平凡化分别为 ${\varphi }_i^{-1}(u)=(p,V)$ 与 ${\psi }_i^{-1}(v)=(q,W)$，其中 $p,q\in S^2$，$V\in {\mathbb{R}}^2$，$W\in \mathbb{R}$。若 $(u,v)$ 是积丛 $E\times E^{\prime }$ 中的一点，则我们有平凡化 ${\Phi }_{i,j}={\varphi }_i\times {\psi }_j$ 使得

$${\Phi }_{i,j}^{-1}(u,v)=(p,q;V,W).\text{\hspace{1em}(9.38a)}$$

然而，若 $(u,v)\in E\oplus E^{\prime }$，即 $u$ 与 $v$，满足更强的条件 $\pi (u)={\pi }^{\prime }(v)$（即 $(=p$），则我们有

$${\Phi }_i^{-1}(u,v)=(p;V,W).\text{\hspace{1em}(9.38b)}$$

嵌入 ${\mathbb{R}}^3$ 中的惠特尼和丛 $T{S}^2\oplus N{S}^2$（底空间为 $S^2$）是 $S^2$ 上的平凡丛，其纤维同构于 ${\mathbb{R}}^3$。

以及

9.3.6 张量积丛

设 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 与 $E^{\prime }\stackrel{{\pi }^{\prime }}{\to }M$ 是 $M$ 上的向量丛。对每一点 $p\in M$ 指定纤维的张量积 $F_p\otimes F_p^{\prime }$，便得到张量积丛 $E\otimes E^{\prime }$。若 $\{e_{\alpha }\}$ 与 $\{f_{\beta }\}$ 分别是 $F$ 与 $F^{\prime }$ 的基，则 $F\otimes F^{\prime }$ 由 $\{e_{\alpha }\otimes f_{\beta }\}$ 张成，从而 $\dim (E\otimes E^{\prime })=\dim E\times \dim E^{\prime }$。

设 ${⨂}^{r}E\equiv E\otimes \cdots \otimes E$ 是 $rE$ 的张量积丛。若 $\{e_{\alpha }\}$ 是 $E$ 的纤维 $F$ 的基，则 ${⨂}^{r}E$ 的纤维由 $\{e_{{\alpha }_1}\otimes \cdots \otimes e_{{\alpha }_r}\}$ 张成。若我们定义 $\wedge$ 为

$$e_{\alpha }\wedge e_{\beta }\equiv e_{\alpha }\otimes e_{\beta }-e_{\beta }\otimes e_{\alpha }\text{\hspace{1em}(9.39)}$$

就得到由 $\{e_{{\alpha }_1}\wedge$ $\cdots \wedge e_{{\alpha }_r}\}$ 张成的全反对称张量丛 ${\wedge }^r(E)$。特别地，$M$ 上 $r$ 次微分形式构成的空间 ${\Omega }^r(M)$ 与 $\Gamma (M,{\Lambda }^r(T^{\ast }M))$ 等同。

练习 9.1

设 $E_1$、$E_2$ 与 $E_3$ 是 $M$ 上的向量丛。证明 $\otimes$ 满足分配律：

$$E_1\otimes (E_2\oplus E_3)=(E_1\otimes E_2)\oplus (E_1\otimes E_3).\text{\hspace{1em}(9.40)}$$

用 $E_1,E_2$ 与 $E_3$ 的过渡函数表示 $E_1\otimes (E_2\oplus F_3)$ 的过渡函数。

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