11.6 施蒂费尔-惠特尼类

最后一个示性类的例子是施蒂费尔-惠特尼类(Stiefel-Whitney class)。与其余示性类不同，施蒂费尔-惠特尼类无法用丛的曲率来表示。施蒂费尔-惠特尼类在物理学中之所以重要，是因为它告诉我们一个流形是否容许自旋。下面我们先简要回顾一下自旋丛。

11.6.1 自旋丛

设 $TM\stackrel{\pi }{\to }M$ 是一个切丛，且 $\dim M=m$。假定丛 $TM$ 具有纤维度量，并取结构群 $G$ 为 $\mathrm{O}(m)$。此外，若 $M$ 是可定向的，则 $G$ 可约化为 $\mathrm{SO}(m)$。设 $LM$ 为与 $TM$ 相伴的标架丛。设 $t_{ij}$ 为 $LM$ 的过渡函数，它满足相容性条件 (9.6)

$$t_{ij}{t}_{jk}{t}_{ki}=I{t}_{ii}=I.$$

$M$ 上的一个自旋结构(spin structure)由过渡函数 ${\tilde{t}}_{ij}\in \mathrm{SPIN}(m)$ 定义，使得

$$\phi \left({\tilde{t}}_{ij}\right)=t_{ij}{\tilde{t}}_{ij}{\tilde{t}}_{jk}{\tilde{t}}_{ki}=I{\tilde{t}}_{ii}=I\text{\hspace{1em}(11.129)}$$

其中 $\phi$ 是双覆盖 $\mathrm{SPIN}(m)\to \mathrm{SO}(m)$。所有 ${\tilde{t}}_{ij}$ 的集合定义了 $M$ 上的一个自旋丛(spin bundle) $PS(M)$，此时称 $M$ 容许一个自旋结构（当然，依 ${\tilde{t}}_{ij}$ 的选取不同，$M$ 可以容许许多个自旋结构）。

值得注意的是，并非所有流形都容许自旋结构。是否容许自旋结构由第二施蒂费尔-惠特尼类来度量，它取值于切赫上同调群 $H^2(M;{\mathbb{Z}}_2)$ 中。

11.6.2 切赫上同调群

设 ${\mathbb{Z}}_2$ 为乘法群 $\{-1,+1\}$。一个切赫 $r$ 上链(cochain)是定义在 $U_{i_0}\cap U_{i_1}\cap \cdots \cap U_{i_r}\ne \varnothing$ 上的函数 $f(i_0,i_1,\dots ,i_r)\in {\mathbb{Z}}_2$，它在任意置换 $P$ 下完全对称，

$$f(i_{P(0)},\dots ,i_{P(r)})=f(i_0,\dots ,i_r).$$

设 $C^r(M,{\mathbb{Z}}_2)$ 为切赫 $r$ 上链构成的乘法群。我们通过下式定义上边缘算子 $\delta :C^r(M;{\mathbb{Z}}_2)\to C^{r+1}(M;{\mathbb{Z}}_2)$：

$$\left(\delta f\right)\left(i_0,\dots ,i_{r+1}\right)=\prod _{j=0}^{r+1}f\left(i_0,\dots ,{\hat{i}}_j,\dots ,i_{r+1}\right)\text{\hspace{1em}(11.130)}$$

其中带 $\hat{\mu }$ 的变量被略去。例如，

$$\begin{array}{rl}\left(\delta f_0\right)\left(i_0,i_1\right)& =f_0\left(i_1\right)f_0\left(i_0\right)f_0\in C^0(M;{\mathbb{Z}}_2)\\ & \left(\delta f_1\right)\left(i_0,i_1,i_2\right)=f_1\left(i_1,i_2\right)f_1\left(i_0,i_2\right)f_1\left(i_0,i_1\right)f_1\in C^1(M;{\mathbb{Z}}_2).\end{array}$$

由于我们采用乘法记号，$C^r(M;{\mathbb{Z}}_2)$ 的单位元记作 1。可以验证 $\delta$ 是幂零的：

$$({\delta }^{2}f)(i_0,\dots ,i_{r+2})=\prod _{j,k=1}^{r+1}f(i_0,\dots ,{\hat{i}}_j,\dots ,{\hat{i}}_k,\dots ,i_{r+2})=1$$

由于 $-1$ 在中间的表达式中总是出现偶数次（例如若 $f(i_0,\dots ,{\hat{i}}_j,\dots ,{\hat{i}}_k,\dots ,i_{r+2})=-1$，则由 $f$ 的对称性可得 $f(i_0,\dots ,{\hat{i}}_k,\dots ,{\hat{i}}_j,\dots ,i_{r+2})=-1$）。于是，我们证明了对任意切赫 $r$ 上链 $f$，都有

$${\delta }^{2}f=1.\text{\hspace{1em}(11.131)}$$

上闭链群(cocycle group) $Z^r(M;{\mathbb{Z}}_2)$ 与上边缘群 $B^r(M;{\mathbb{Z}}_2)$ 由下式定义：

$$Z^r(M;{\mathbb{Z}}_2)=\{f\in C^r(M;{\mathbb{Z}}_2)|\delta f=1\}\text{\hspace{1em}(11.132)}$$

$$B^r(M;{\mathbb{Z}}_2)=\{f\in C^r(M;{\mathbb{Z}}_2)|f=\delta f^{\prime },f^{\prime }\in C^{r-1}(M;{\mathbb{Z}}_2).\text{\hspace{1em}(11.133)}$$

现在，第 $r$ 个切赫上同调群(Čech cohomology group) $H^r(M;{\mathbb{Z}}_2)$ 定义为

$$H^r(M;{\mathbb{Z}}_2)=\ker {\delta }_r/\mathrm{im}{\delta }_{r-1}=Z^r(M;{\mathbb{Z}}_2)/B^r(M;{\mathbb{Z}}_2).\text{\hspace{1em}(11.134)}$$

11.6.3 施蒂费尔-惠特尼类

施蒂费尔-惠特尼类 $w_r$ 是一种示性类，其取值落在 $H^r(M;{\mathbb{Z}}_2)$ 中。设 $TM\stackrel{\pi }{\to }M$ 是带有黎曼度量的切丛，其结构群为 $\mathrm{O}(m)$，其中 $m=\dim M$。我们假定 $\{U_i\}$ 是 $M$ 的一个简单开覆盖，即任意多个坐标卡的交集要么为空，要么可缩。设 $\{e_{i\alpha }\}$（$1\le \alpha \le m$）是 $TM$ 在 $U_i$ 上的局部正交标架。我们有 $e_{i\alpha }=t_{ij}{e}_{j\alpha }$，其中 $t_{ij}:U_i\cap U_j\to \mathrm{O}(m)$ 是过渡函数。定义切赫1上链 $f(i,j)$ 为

$$f(i,j)\equiv \det \left(t_{ij}\right)=\pm 1.\text{\hspace{1em}(11.135)}$$

由于 $f(i,j)=f(j,i)$，它确实是 $C^1(M;{\mathbb{Z}}_2)$ 中的一个元素。由上闭链条件 $t_{ij}{t}_{jk}{t}_{ki}=I$，可以验证

$$\begin{array}{rl}\delta f(i,j,k)& =\det \left(t_{ij}\right)\det \left(t_{jk}\right)\det \left(t_{ki}\right)\\ & =\det (t_{ij}{t}_{jk}{t}_{ki})=1.\end{array}\text{\hspace{1em}(11.136)}$$

因此，$f\in Z^1(M,{\mathbb{Z}}_2)$，它定义了 $H^1(M;{\mathbb{Z}}_2)$ 中的一个元素 $[f]$。下面我们证明这个元素与所选的局部标架无关。设 $\{{\bar{e}}_{i\alpha }\}$ 是 $U_i$ 上的另一个标架，满足 ${\bar{e}}_{i\alpha }=h_i{e}_{i\alpha }$，$h_i\in \mathrm{O}(m)$。由 ${\bar{e}}_{i\alpha }={\bar{t}}_{ij}{\bar{e}}_{j\alpha }$，可得 ${\bar{t}}_{ij}=h_i{t}_{ij}{h}_j^{-1}$。若用 $f_0(i)\equiv \det h_i$ 定义0-上链 $f_0$，则可得

$$\begin{array}{rl}\tilde{f}(i,j)& =\det \left(h_i{t}_{ij}{h}_j^{-1}\right)=\det \left(h_i\right)\det \left(h_j\right)\det \left(t_{ij}\right)\\ & =\delta f_0(i,j)f(i,j)\end{array}$$

这里用到了对 $h_j\in \mathrm{O}(m)$ 成立的恒等式 $\det h_j^{-1}=\det h_j$。于是，$f$ 改变了一个恰当的量，因而仍定义同一个上同调类 $[f]$。¹

这个特殊的元素 $w_1(M)\equiv [f]\in H^1(M;{\mathbb{Z}}_2)$ 称为第一施蒂费尔-惠特尼类。

定理 11.6

设 $TM\stackrel{\pi }{\to }M$ 是带有纤维度量的切丛。则 $M$ 是可定向的当且仅当 $w_1(M)$ 是平凡的。

证明

若 $M$ 可定向，则可将结构群约化为 $\mathrm{SO}(m)$，且 $f(i,j)=\det (t_{ij})=1$，从而 $w_1(M)=1$，即 ${\mathbb{Z}}_2$ 的单位元。反之，若 $w_1(M)$ 平凡，则 $f$ 是一个上边界链，即 $f=\delta f_0$。由于 $f_0(i)=\pm 1$，我们总能选取 $h_i\in \mathrm{O}(m)$，使得对每个 $i$ 都有 $\det (h_i)=f_0(i)$。若定义新的标架 ${\bar{e}}_{i\alpha }=h_i{e}_{i\alpha }$，则其过渡函数 ${\tilde{t}}_{ij}$ 满足：对任意重叠对 $(i,j)$ 都有 $\det ({\tilde{t}}_{ij})=1$，于是 $M$ 可定向。[假设对某一对 $(i,j)$ 有 $f(i,j)=\det t_{ij}=-1$，则可取 $f_0(i)=-1$ 与 $f_0(j)=+1$，从而 $\det {\tilde{t}}_{ij}=-\det t_{ij}=+1$。]

如定理 11.6所示，第一施蒂费尔-惠特尼类是可定向性的一个障碍。下面我们定义第二施蒂费尔-惠特尼类。设 $M$ 是 $m$ 维可定向流形，$TM$ 是它的切丛。对于过渡函数 $t_{ij}\in \mathrm{SO}(m)$，我们考虑一个“提升” ${\tilde{t}}_{ij}\in \mathrm{SPIN}(m)$，使得

$$\phi \left({\tilde{t}}_{ij}\right)=t_{ij}{\tilde{t}}_{ji}={\tilde{t}}_{ij}^{-1}\text{\hspace{1em}(11.137)}$$

其中 $\phi :\mathrm{SPIN}(m)\to \mathrm{SO}(m)$ 是 $2:1$ 同态（注意我们可以选择 $t_{ij}\leftrightarrow {\tilde{t}}_{ij}$ 或 $-{\tilde{t}}_{ij}$）。这种提升在局部总是存在的。由于

$$\phi \left({\tilde{t}}_{ij}{\tilde{t}}_{jk}{\tilde{t}}_{ki}\right)=t_{ij}{t}_{jk}{t}_{ki}=I$$

我们有 ${\tilde{t}}_{ij}{\tilde{t}}_{jk}{\tilde{t}}_{ki}\in \ker \phi =\{\pm I\}$。要使 ${\tilde{t}}_{ij}$ 在 $M$ 上定义自旋丛，它们必须满足上闭链条件，

$${\tilde{t}}_{ij}{\tilde{t}}_{jk}{\tilde{t}}_{ki}=I.\text{\hspace{1em}(11.138)}$$

定义切赫 2-上链 $f:U_i\cap U_j\cap U_k\to {\mathbb{Z}}_2$ 为

$${\tilde{t}}_{ij}{\tilde{t}}_{jk}{\tilde{t}}_{ki}=f(i,j,k)I.\text{\hspace{1em}(11.139)}$$

容易看出 $f$ 是对称的且是上闭的。于是 $f$ 定义了元素 $w_2(M)\in H^2(M,{\mathbb{Z}}_2)$，称为第二施蒂费尔-惠特尼类。可以证明 $w_2(M)$ 与所选的局部标架无关。

练习 11.5

假设我们取 $t_{ij}$ 的另一个提升 $-{\tilde{t}}_{ij}$。证明在这一改变下 $f$ 只相差一个恰当的量。因此，$[f]$ 与提升的选取无关。[提示：证明 $f(i,j,k)\to f(i,j.k)\delta f_1(i,j,k)$，其中 $f_1(i,j)$ 表示 $\pm {\tilde{t}}_{ij}$ 的符号。]

定理 11.7

设 $TM$ 为可定向流形 $M$ 上的切丛。$M$ 上存在自旋丛，当且仅当 $w_2(M)$ 是平凡的。

证明

假设 $M$ 上存在自旋丛，则可定义一组过渡函数 ${\tilde{t}}_{ij}$，使得在任意相交的坐标卡 $U_i,U_j$ 与 $U_k$ 上都有 ${\tilde{t}}_{ij}{\tilde{t}}_{jk}{\tilde{t}}_{ki}=I$，从而 $w_2(M)$ 是平凡的。反之，假设 $w_2(M)$ 是平凡的，即

$$f(i,j,k)=\delta f_1(i,j,k)=f_1(j,k)f_1(i,k)f_1(k,i)$$

其中 $f_1$ 是一个上链。考虑如练习 11.5中所定义的 1-上链 $f_1(i,j)$。若选取新的过渡函数 ${\tilde{t}}_{ij}^{\prime }\equiv {\tilde{t}}_{ij}{f}_1(i,j)$，则有

$${\tilde{t}}_{ij}^{\prime }{\tilde{t}}_{jk}^{\prime }{\tilde{t}}_{ki}^{\prime }=[\delta f_1(i,j,k){]}^2=I$$

从而 $\{{\vec{i}}_{ij}^{\prime }\}$ 定义了 $M$ 上的一个自旋丛。

下面列出一些有用的结果：

(a)

$$w_1\left(\mathbb{C}{P}^m\right)=1w_2\left(\mathbb{C}{P}^m\right)=\{\begin{array}{ll}1& m\text{o d d}\\ x& m\text{偶}\end{array}\text{\hspace{1em}(11.140)}$$

其中 $x$ 是 $H^2({\mathbb{CP}}^m;{\mathbb{Z}}_2)$ 的生成元。

(b)

$$w_1\left(S^m\right)=w_2\left(S^m\right)=1\text{\hspace{1em}(11.141)}$$

(c)

$$w_1\left({\Sigma }_g\right)=w_2\left({\Sigma }_g\right)=1\text{\hspace{1em}(11.142)}$$

其中 ${\Sigma }_g$ 是亏格为 $g$ 的黎曼面，$g$ 即其亏格。

尾注

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF

来源版本：second-edition-local

来源 PDF SHA-256：fcd24c3371d092a8c699ccf5cf0765462924b6c48412804231076e8084b1940d

OCR 来源 SHA-256：0b6324f01172a3548cd34382e82fd8bfae574602b6b2cfaa357ba96bc2c35478

译稿产物 SHA-256：30ea6c608280b5e46c6a47f7599e93fb14f8d68edf94b8e057f7410feaef8595

Footnotes

1. 注意这里使用的是乘法记号。 ↩