7.9 微分形式与霍奇理论

7.9.1 不变体积元

在5.5 节中，我们把体积元定义为$m$维可定向流形$M$上的一个处处非零的$m$-形式。若$M$上还赋有度量$g$，则存在一个在坐标变换下不变的自然体积元。下面我们这样定义不变体积元(invariant volume element)：

$${\Omega }_M\equiv \sqrt{|g|}d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge \cdots \wedge d{x}^m\text{\hspace{1em}(7.168)}$$

其中$g=\det g_{\mu \nu }$，而$x^{\mu }$是坐标卡$(U,\phi )$的坐标。这个$m$-形式${\Omega }_M$确实在坐标变换下不变。设$y^{\lambda }$是另一个坐标卡$(V,\psi )$的坐标，且$U\cap V\ne \varnothing$，则不变体积元用$y^{\lambda }$坐标表示即为

$$\sqrt{\left|\det \left(\frac{\partial x^{\mu }}{\partial y^{\kappa }}\frac{\partial x^v}{\partial y^{\lambda }}{g}_{\mu v}\right)\right|}d{y}^1\wedge \cdots \wedge d{y}^m$$

用$y$坐标表示时，注意到$\mathrm{d}{y}^{\lambda }=(\partial y^{\lambda }/\partial x^{\mu })\mathrm{d}{x}^{\mu }$，上式就化为

$$\begin{array}{rl}& \left|\det \left(\frac{\partial x^{\mu }}{\partial y^{\kappa }}\right)\right|\sqrt{|g|}\det \left(\frac{\partial y^{\lambda }}{\partial x^{\nu }}\right)d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge \cdots \wedge d{x}^m\\ & =\pm \sqrt{|g|}d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge \cdots \wedge d{x}^m.\end{array}$$

若 $x^{\mu }$ 与 $y^{\kappa }$ 给出相同的定向，则 $\det (\partial x^{\mu }/\partial y^{\kappa })$ 在 $U\cap V$ 上严格为正，且 ${\Omega }_M$ 在坐标变换下不变。

练习 7.20

设 $\{{\hat{\theta }}^{\alpha }\}=\{e_{\mu }^{\alpha }\mathrm{d}{x}^{\mu }\}$ 为非坐标基。证明不变体积元可写成

$${\Omega }_M=|e|\mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^2\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^m={\hat{\theta }}^1\wedge {\hat{\theta }}^2\wedge \cdots \wedge {\hat{\theta }}^m\text{\hspace{1em}(7.169)}$$

其中 $e=\det e_{\mu }^{\alpha }$。

既然已经定义了不变体积元，自然可以如下定义 $f\in \mathcal{F}(M)$ 在 $M$ 上的积分：

$${\int }_{M}f{\Omega }_M\equiv {\int }_{M}f\sqrt{|g|}d{x}^{1}d{x}^2\dots d{x}^m.\text{\hspace{1em}(7.170)}$$

显然，(7.170) 在坐标变换下不变。物理学中有许多对象都表示为这种形式的体积积分，见7.10 节。

7.9.2 对偶变换（霍奇星算子）

如5.4 节所述，在 $m$ 维流形 $M$ 上，${\Omega }^r(M)$ 与 ${\Omega }^{m-r}(M)$ 同构。若在 $M$ 上给定一个度量 $g$，便可定义二者之间的一个自然同构，称为霍奇 * 运算。定义全反对称张量 $\epsilon$ 为

$${\epsilon }_{{\mu }_1{\mu }_2\dots {\mu }_m}=\{\begin{array}{ll}+1& \text{i f}({\mu }_1{\mu }_2\dots {\mu }_m)\text{是 (1 2 … m) 的偶置换}(12\dots m)\\ -1& \text{i f}({\mu }_1{\mu }_2\dots {\mu }_m)\text{是 (1 2 … m) 的奇置换}(12\dots m)\\ 0& \text{其他情形。}\end{array}\text{\hspace{1em}(7.171a)}$$

注意

$${\epsilon }^{{\mu }_1{\mu }_2\dots {\mu }_m}=g^{{\mu }_1{\nu }_1}{g}^{{\mu }_2{\nu }_2}\dots g^{{\mu }_m{\nu }_m}{\epsilon }_{{\nu }_1{\nu }_2\dots {\nu }_m}=g^{-1}{\epsilon }_{{\mu }_1{\mu }_2\dots {\mu }_m}.\text{\hspace{1em}(7.171b)}$$

霍奇 $\ast$ 是一个线性映射 $\ast :{\Omega }^r(M)\to {\Omega }^{m-r}(M)$，它在 ${\Omega }^r(M)$ 的一个基向量上的作用定义为

$$\begin{array}{rl}& \ast \left(\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_r}\right)\\ & =\frac{\sqrt{|g|}}{(m-r)!}{\epsilon }_{{\nu }_{r+1}\dots {\nu }_m}^{{\mu }_1{\mu }_2\dots {\mu }_r}d{x}^{{\nu }_{r+1}}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\nu }_m}.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.172)}$$

应当注意，$\ast 1$ 就是不变体积元：

$$\ast 1=\frac{\sqrt{|g|}}{m!}{\epsilon }_{{\mu }_1{\mu }_2\dots {\mu }_m}\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_m}=\sqrt{|g|}\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^m.$$

对于

$$\omega =\frac{1}{r!}{\omega }_{{\mu }_1{\mu }_2\dots {\mu }_r}d{x}^{{\mu }_1}\wedge d{x}^{{\mu }_2}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\mu }_r}\in {\Omega }^r(M)$$

有

$$\ast \omega =\frac{\sqrt{|g|}}{r!(m-r)!}{\omega }_{{\mu }_1{\mu }_2\dots {\mu }_r}{\epsilon }_{{\nu }_{r+1}\dots {\nu }_m}^{{\mu }_1{\mu }_2\dots {\mu }_r}d{x}^{{\nu }_{r+1}}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\nu }_m}.\text{\hspace{1em}(7.173)}$$

若取非坐标基 $\{{\theta }^{\alpha }\}=\{e_{\mu }^{\alpha }\mathrm{d}{x}^{\mu }\}$，则 $\ast$ 运算变为

$$\ast \left({\hat{\theta }}^{{\alpha }_1}\wedge \cdots \wedge {\hat{\theta }}^{{\alpha }_r}\right)=\frac{1}{(m-r)!}{\epsilon }_{{\beta }_{r+1}\dots {\beta }_m}^{{\alpha }_1\dots {\alpha }_r}{\hat{\theta }}^{{\beta }_{r+1}}\wedge \cdots \wedge {\hat{\theta }}^{{\beta }_m}\text{\hspace{1em}(7.174)}$$

其中

$${\epsilon }_{{\alpha }_1\dots {\alpha }_m}=\{\begin{array}{ll}+1& \text{i f}({\alpha }_1\dots {\alpha }_m)\text{是 (1 2 … m) 的偶置换}(12\dots m)\\ -1& \text{i f}({\alpha }_1\dots {\alpha }_m)\text{是 (1 2 … m) 的奇置换}(12\dots m)\\ 0& \text{其他情形}\end{array}\text{\hspace{1em}(7.175)}$$

而指标由 ${\delta }^{\alpha \beta }$ 或 ${\eta }^{\alpha \beta }$ 升起来。

定理 7.4

$$\ast \ast \omega =(-1{)}^{r(m-r)}\omega .\text{\hspace{1em}(7.176a)}$$

若 $(M,g)$ 是黎曼的，则

$$\ast \ast \omega =(-1{)}^{1+r(m-r)}\omega \text{\hspace{1em}(7.176b)}$$

若为洛伦兹的，则

证明

用非坐标基来证明 (7.176a) 更为简便。令

$$\omega =\frac{1}{r!}{\omega }_{{\alpha }_1\dots {\alpha }_r}{\hat{\theta }}^{{\alpha }_1}\wedge \cdots \wedge {\hat{\theta }}^{{\alpha }_r}.$$

对 $\omega$ 反复作用 $\ast$，可得

$$\begin{array}{rl}& \ast \ast \omega =\frac{1}{r!}{\omega }_{{\alpha }_1\dots {\alpha }_r}\frac{1}{(m-r)!}{\epsilon }_{{\beta }_{r+1}\dots {\beta }_m}^{{\alpha }_1\dots {\alpha }_r}\\ & \times \frac{1}{r!}{\epsilon }_{{\gamma }_1\dots {\gamma }_r}^{{\beta }_{r+1}\dots {\beta }_m}{\hat{\theta }}^{{\gamma }_1}\wedge \dots \wedge {\hat{\theta }}^{{\gamma }_r}\\ & =\frac{(-1{)}^{r(m-r)}}{r!r!(m-r)!}\sum _{\alpha \beta \gamma }{\omega }_{{\alpha }_1\dots {\alpha }_r}{\epsilon }_{{\alpha }_1\dots {\alpha }_r{\beta }_{r+1}\dots {\beta }_m}{\epsilon }_{{\gamma }_1\dots {\gamma }_r{\beta }_{r+1}\dots {\beta }_m}\\ & \times {\hat{\theta }}^{{\gamma }_1}\wedge \cdots \wedge {\hat{\theta }}^{{\gamma }_r}\\ & =\frac{(-1{)}^{r(m-r)}}{r!}{\omega }_{{\alpha }_1\dots {\alpha }_r}{\hat{\theta }}^{{\alpha }_1}\wedge \cdots \wedge {\hat{\theta }}^{{\alpha }_r}=(-1{)}^{r(m-r)}\omega \end{array}$$

其中用到了恒等式

$$\sum _{\beta \gamma }{\epsilon }_{{\alpha }_1\dots {\alpha }_r{\beta }_{r+1}\dots {\beta }_m}{\epsilon }_{{\gamma }_1\dots {\gamma }_r{\beta }_{r+1}\dots {\beta }_m}{\hat{\theta }}^{{\gamma }_1}\wedge \cdots \wedge {\hat{\theta }}^{{\gamma }_r}=r!(m-r)!{\hat{\theta }}^{{\alpha }_1}\wedge \cdots \wedge {\hat{\theta }}^{{\alpha }_r}.$$

(7.176b) 的证明留给读者作为练习（利用 $\det \eta =-1$）。

于是我们发现，$(-1{)}^{r(m-r)}\ast \ast$（或 $(-1{)}^{1+r(m-r)}\ast \ast )$）是 ${\Omega }^r(M)$ 上的恒等映射。我们如下定义 ${}^{\ast }$ 的逆：

$${\ast }^{-1}=(-1{)}^{r(m-r)}\ast (M,g)\text{是黎曼的}\text{\hspace{1em}(7.177a)}$$

$${\ast }^{-1}=(-1{)}^{1+r(m-r)}\ast (M,g)\text{是洛伦兹的。}\text{\hspace{1em}(7.177b)}$$

7.9.3 $r$ 次形式的内积

取

$$\begin{array}{rl}& \omega =\frac{1}{r!}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}d{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\mu }_r}\\ & \eta =\frac{1}{r!}{\eta }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}d{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\mu }_r}.\end{array}$$

外积 $\omega \wedge \ast \eta$ 是一个 $m$ 次形式：

$$\begin{array}{rl}& \omega \wedge \ast \eta =\frac{1}{(r!{)}^2}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}{\eta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_r}\frac{\sqrt{|g|}}{(m-r)!}{\epsilon }_{{\mu }_{r+1}\dots {\mu }_m}^{{\nu }_1\dots {\nu }_r}\\ & \times \mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_r}\wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_{r+1}}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_m}\\ & =\frac{1}{r!}\sum _{\mu v}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}{\eta }^{v_1\dots v_r}\frac{1}{r!(m-r)!}{\epsilon }_{v_1\dots v_r{\mu }_{r+1}\dots {\mu }_m}\\ & \times {\epsilon }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r{\mu }_{r+1}\dots {\mu }_m}\sqrt{|g|}d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^m\\ & =\frac{1}{r!}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}{\eta }^{{\mu }_1\dots {\mu }_r}\sqrt{|g|}d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^m.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.178)}$$

这一表达式表明该乘积是对称的：

$$\omega \wedge \ast \eta =\eta \wedge \ast \omega .\text{\hspace{1em}(7.179)}$$

设 $\{{\hat{\theta }}^{\alpha }\}$ 为非坐标基，并令

$$\omega =\frac{1}{r!}{\omega }_{{\alpha }_1\dots {\alpha }_r}{\hat{\theta }}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge {\hat{\theta }}^{{\alpha }_r}$$

$$\eta =\frac{1}{r!}{\eta }_{{\alpha }_1\dots {\alpha }_r}{\hat{\theta }}^{{\alpha }_1}\wedge \cdots \wedge {\hat{\theta }}^{{\alpha }_r}.$$

式 (7.178)可改写为

$$\omega \wedge \ast \eta =\frac{1}{r!}{\omega }_{{\alpha }_1\dots {\alpha }_r}{\eta }^{{\alpha }_1\dots {\alpha }_r}{\hat{\theta }}^1\wedge \cdots \wedge {\hat{\theta }}^m.\text{\hspace{1em}(7.180)}$$

由于$\alpha \wedge \ast \beta$是一个$m$次形式，它在$M$上的积分是良定义的。两个$r$次形式的内积$(\omega ,\eta )$定义为

$$\begin{array}{rl}& (\omega ,\eta )\equiv \int \omega \wedge \ast \eta \\ & =\frac{1}{r!}{\int }_M{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}{\eta }^{{\mu }_1\dots {\mu }_r}\sqrt{|g|}d{x}^1\dots d{x}^m.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.181)}$$

由于$\omega \wedge \ast \eta =\eta \wedge \ast \omega$，该内积是对称的，

$$(\omega ,\eta )=(\eta ,\omega ).\text{\hspace{1em}(7.182)}$$

若$(M,g)$是黎曼的，则内积是正定的，

$$(\alpha ,\alpha )\ge 0.\text{\hspace{1em}(7.183)}$$

其中等号仅在$\alpha =0$时成立。若$(M,g)$是洛伦兹的，则此结论不成立。

7.9.4 外微分的伴随

定义 7.6 伴随外微分算子

设 $\mathsf{d}:{\Omega }^{r-1}(M)\to {\Omega }^r(M)$ 为外微分算子，则伴随外微分算子(adjoint exterior derivative operator) ${\mathrm{d}}^{†}:{\Omega }^r(M)\to {\Omega }^{r-1}(M)$ 定义为

$${\mathrm{d}}^{†}=(-1{)}^{mr+m+1}\ast \mathrm{d}\ast \text{\hspace{1em}(7.184a)}$$

若 $(M,g)$ 是黎曼的，则

$${\mathrm{d}}^{†}=(-1{)}^{mr+m}\ast \mathrm{d}\ast \text{\hspace{1em}(7.184b)}$$

若 $m=\dim M$ 为洛伦兹的，则

总之，我们有如下交换图（对黎曼流形而言）：

$$\begin{array}{ccc}{\Omega }^{m-r}(M)& \stackrel{(-1{)}^{mr+m+1}d}{\to }& {\Omega }^{m-r+1}(M)\\ \ast & & \downarrow \ast \\ {\Omega }^r(M)& \stackrel{d^{†}}{\to }& {\Omega }^{r-1}(M).\end{array}\text{\hspace{1em}(7.185)}$$

算子 ${\mathrm{d}}^{†}$ 是幂零的，因为 $\mathrm{d}$ 是幂零的：${\mathrm{d}}^{†2}=\ast \mathrm{d}\ast \ast \mathrm{d}\ast \propto \ast {\mathrm{d}}^2\ast =0$。

定理 7.5

设 $(M,g)$ 为无边界的紧可定向流形，且 $\alpha \in {\Omega }^r(M),\beta \in {\Omega }^{r-1}(M)$。则

$$(\mathrm{d}\beta ,\alpha )=(\beta ,{\mathrm{d}}^{†}\alpha ).\text{\hspace{1em}(7.186)}$$

证明

由于 $\mathrm{d}\beta \wedge \ast \alpha$ 与 $\beta \wedge \ast {\mathrm{d}}^{†}\alpha$ 都是 $m$ 次微分形式，它们在 $M$ 上的积分是良定义的。让 $\mathrm{d}$ 作用于 $\beta \wedge \ast \alpha$，

$$\mathrm{d}(\beta \wedge \ast \alpha )=\mathrm{d}\beta \wedge \ast \alpha -(-1{)}^r\beta \wedge \mathrm{d}\ast \alpha .$$

设 $(M,g)$ 是黎曼的。注意到 $\mathrm{d}\ast \alpha$ 是一个 $(m-r+1)$ 次微分形式，并在第二项中于 $\mathrm{d}\ast \alpha$ 之前插入恒等映射 $(-1{)}^{(m-r+1)[m-(m-r+1)]}\ast \ast =(-1{)}^{mr+m+r+1}\ast \ast$，便得到

$$\mathrm{d}(\beta \wedge \ast \alpha )=\mathrm{d}\beta \wedge \ast \alpha -(-1{)}^{mr+m+1}\beta \wedge \ast (\ast \mathrm{d}\ast \alpha ).$$

将此式在 $M$ 上积分，得

$$\begin{array}{rl}{\int }_M\mathrm{d}\beta \wedge \ast \alpha -{\int }_M\beta \wedge \ast [(-1{)}^{mr+m+1}\ast \mathrm{d}\ast \alpha ]& ={\int }_M\mathrm{d}(\beta \wedge \ast \alpha )\\ & ={\int }_{\partial M}\beta \wedge \ast \alpha =0\end{array}$$

其中最后一个等号由假设成立。这就证明了 $(\mathrm{d}\beta ,\alpha )=(\beta ,{\mathrm{d}}^{†}\alpha )$。当 $(M,g)$ 是洛伦兹的时，证明应如何修改，留给读者自行验证。

7.9.5 拉普拉斯算符、调和形式与霍奇分解定理

定义 7.7 拉普拉斯算符

拉普拉斯算符(Laplacian) $\Delta :{\Omega }^r(M)\to {\Omega }^r(M)$ 定义为

$$\Delta ={\left(\mathrm{d}+{\mathrm{d}}^{†}\right)}^2={\mathrm{dd}}^{†}+{\mathrm{d}}^{†}\mathrm{d}.\text{\hspace{1em}(7.187)}$$

作为例子，我们给出 $\Delta :{\Omega }^0(M)\to {\Omega }^0(M)$ 的显式形式。设 $f\in \mathcal{F}(M)$。由于 ${\mathrm{d}}^{†}f=0$，我们有

$$\begin{array}{rl}\Delta f& ={\mathrm{d}}^{†}\mathrm{d}f=-\ast \mathrm{d}\ast \left({\partial }_{\mu }f\mathrm{d}{x}^{\mu }\right)\\ & =-\ast \mathrm{d}\left(\frac{\sqrt{|g|}}{(m-1)!}{\partial }_{\mu }f{g}^{\mu \lambda }{\epsilon }_{\lambda v_2\dots v_m}\mathrm{d}{x}^{v_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{v_m}\right)\\ & =-\ast \frac{1}{(m-1)!}{\partial }_{\nu }[\sqrt{|g|}{g}^{\lambda \mu }{\partial }_{\mu }f]{\epsilon }_{\lambda {\nu }_2\dots {\nu }_m}d{x}^{\nu }\wedge d{x}^{{\nu }_2}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\nu }_m}\\ & =-\ast {\partial }_v[\sqrt{|g|}{g}^{v\mu }{\partial }_{\mu }f]g^{-1}d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^m\\ & =-\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\partial }_v[\sqrt{|g|}{g}^{v\mu }{\partial }_{\mu }f].\end{array}\text{\hspace{1em}(7.188)}$$

练习 7.21

取欧几里得空间 $({\mathbb{R}}^m,\delta )$ 中的一个一次形式 $\omega ={\omega }_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }$。证明

$$\Delta \omega =-\sum _{\mu =1}^m\frac{{\partial }^2{\omega }_v}{\partial x^{\mu }\partial x^{\mu }}\mathrm{d}{x}^v.$$

例 7.16

在例 5.11中已经证明，麦克斯韦方程有一半化为恒等式 $\mathrm{d}F={\mathrm{d}}^{2}A=0$，其中 $A=A_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }$ 是矢势一次形式，$F=\mathrm{d}A$ 是电磁二形式。设 $\rho$ 为电荷密度，$j$ 为电流密度，并构造电流一次形式 $j={\eta }_{\mu \nu }{j}^{\nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }=-\rho \mathrm{d}t+j\cdot \mathrm{d}x$。于是麦克斯韦方程中剩下的部分成为

$${\mathrm{d}}^{†}F={\mathrm{d}}^{†}\mathrm{d}A=j.\text{\hspace{1em}(7.189a)}$$

其分量表达式为

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\rho \nabla \times \mathbf{B}-\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\mathbf{j}.\text{\hspace{1em}(7.189b)}$$

矢势 $A$ 具有大量自由度，我们总可以选取一个满足洛伦兹条件 ${\mathrm{d}}^{†}A=0$ 的 $A$。此时 (7.189a) 变为 $({\mathrm{dd}}^{†}+{\mathrm{d}}^{†}\mathrm{d})A=\Delta A=j$。

设 $(M,g)$ 为紧黎曼流形。$\Delta$ 是 $M$ 上的正算子，其含义是

$$(\omega ,\Delta \omega )=(\omega ,\left(d^{†}d+d{d}^{†}\right)\omega )=(d\omega ,d\omega )+\left(d^{†}\omega ,d^{†}\omega \right)\ge 0\text{\hspace{1em}(7.190)}$$

这里用到了(7.183)。若 $\Delta \omega =0$，则称 $r$ 次形式 $\omega$ 为调和的(harmonic)；若 $\mathrm{d}\omega =0$（${\mathrm{d}}^{†}\omega =0$），则称它为闭的（余闭的）。下面的定理是(7.190)的直接推论。

定理 7.6

$r$ 次形式 $\omega$ 为调和的，当且仅当 $\omega$ 既是闭的又是余闭的。

若 $r$ 次形式 $\omega$ 可以整体地写成

$${\omega }_r={\mathrm{d}}^{†}{\beta }_{r+1}\text{\hspace{1em}(7.191)}$$

其中 ${\beta }_{r+1}\in {\Omega }^{r+1}(M)$ [参见：若 ${\omega }_r\in {\Omega }^r(M)$ 可写成 ${\omega }_r=\mathrm{d}{\alpha }_{r-1},$ ${\alpha }_{r-1}\in {\Omega }^{r-1}(M)]$，则称它为恰当的]。我们把 $M$ 上所有调和 $r$ 次形式构成的集合记作 ${\mathrm{Harm}}^r(M)$，把所有恰当 $r$ 次形式（余恰当 $r$ 次形式）构成的集合记作 $\mathrm{d}{\Omega }^{r-1}(M)({\mathrm{d}}^{†}{\Omega }^{r+1}(M))$ [注：迄今为止，恰当 $r$ 次形式构成的集合一直记作 $B^r(M)$。]

定理 7.7 · 霍奇分解定理

设 $(M,g)$ 为无边界的紧可定向黎曼流形，则 ${\Omega }^r(M)$ 可唯一地分解为

$${\Omega }^r(M)=\mathrm{d}{\Omega }^{r-1}(M)\oplus {\mathrm{d}}^{†}{\Omega }^{r+1}(M)\oplus {\mathrm{Harm}}^r(M).\text{\hspace{1em}(7.192a)}$$

[也就是说，任一 $r$ 次形式 ${\omega }_r$ 都可以整体地写成

$${\omega }_r=\mathrm{d}{\alpha }_{r-1}+{\mathrm{d}}^{†}{\beta }_{r+1}+{\gamma }_r\text{\hspace{1em}(7.192b)}$$

其中 ${\alpha }_{r-1}\in {\Omega }^{r-1}(M),{\beta }_{r+1}\in {\Omega }^{r+1}(M)$，且 ${\gamma }_r\in {\mathrm{Harm}}^r(M).]$

若 $r=0$，则定义 ${\Omega }^{-1}(M)=\{0\}$。证明本定理需要用到下面两个简单习题的结果。

练习 7.22

习题 7.22　设 $(M,g)$ 如定理 7.7所示。证明

$$\left(\mathrm{d}{\alpha }_{r-1},{\mathrm{d}}^{†}{\beta }_{r+1}\right)=\left(\mathrm{d}{\alpha }_{r-1},{\gamma }_r\right)=\left({\mathrm{d}}^{†}{\beta }_{r+1},{\gamma }_r\right)=0.\text{\hspace{1em}(7.193)}$$

再证明：若 ${\omega }_r\in {\Omega }^r(M)$ 满足

$$\left(\mathrm{d}{\alpha }_{r-1},{\omega }_r\right)=\left({\mathrm{d}}^{†}{\beta }_{r+1},{\omega }_r\right)=\left({\gamma }_r,{\omega }_r\right)=0\text{\hspace{1em}(7.194)}$$

对任意 $\mathrm{d}{\alpha }_{r-1}\in \mathrm{d}{\Omega }^{r-1}(M)$、${\mathrm{d}}^{†}{\beta }_{r+1}\in {\mathrm{d}}^{†}{\Omega }^{r+1}(M)$ 和 ${\gamma }_r\in {\mathrm{Harm}}^r(M)$ 都成立，则 ${\omega }_r=0$。

练习 7.23

习题 7.23　设 ${\omega }_r\in {\Omega }^r(M)$ 可写成 ${\omega }_r=\Delta {\psi }_r$，其中 ${\psi }_r\in {\Omega }^r(M)$。证明：对任意 ${\gamma }_r\in {\mathrm{Harm}}^r(M)$ 都有 $({\omega }_r,{\gamma }_r)=0$。其逆命题“若 ${\omega }_r$ 与任意调和形式 $r$ 正交，则 ${\omega }_r$ 可写成 $\Delta {\psi }_r$，其中 ${\psi }_r\in {\Omega }^r(M)$”的证明相当技术化，我们只断言：算符 ${\Delta }^{-1}$（即格林函数）在当前问题中有良好定义，且 ${\psi }_r$ 由 ${\Delta }^{-1}{\omega }_r$ 给出。

设 $P:{\Omega }^r(M)\to {\mathrm{Harm}}^r(M)$ 为到调和形式空间 $r$ 上的投影算符。取元素 ${\omega }_r\in {\Omega }^r(M)$。由于 ${\omega }_r-P{\omega }_r$ 与 ${\mathrm{Harm}}^r(M)$ 正交，故可写成 $\Delta {\psi }_r$，其中 ${\psi }_r\in {\Omega }^r(M)$。于是有

$${\omega }_r=\mathrm{d}\left({\mathrm{d}}^{†}{\psi }_r\right)+{\mathrm{d}}^{†}\left(\mathrm{d}{\psi }_r\right)+P{\omega }_r.\text{\hspace{1em}(7.195)}$$

这就实现了定理 7.7中的分解。

7.9.6 调和形式与德拉姆上同调群

下面证明德拉姆上同调群中的任一元素都有唯一的调和代表元。设 $[{\omega }_r]\in H^r(M)$。我们先证明 ${\omega }_r\in {\mathrm{Harm}}^r(M)\oplus \mathrm{d}{\Omega }^{r-1}(M)$。由 (7.192b)，${\omega }_r$ 可分解为 ${\omega }_r={\gamma }_r+\mathrm{d}{\alpha }_{r-1}+{\mathrm{d}}^{†}{\beta }_{r+1}$。由于 $\mathrm{d}{\omega }_r=0$，故有

$$0=\left(\mathrm{d}{\omega }_r,{\beta }_{r+1}\right)=\left(\mathrm{d}{\mathrm{d}}^{†}{\beta }_{r+1},{\beta }_{r+1}\right)=\left({\mathrm{d}}^{†}{\beta }_{r+1},{\mathrm{d}}^{†}{\beta }_{r+1}\right).$$

该式成立当且仅当 ${\mathrm{d}}^{†}{\beta }_{r+1}=0$。因此 ${\omega }_r={\gamma }_r+\mathrm{d}{\alpha }_{r-1}$。由(7.195)可得

$${\omega }_r=P{\omega }_r+\mathrm{d}\left({\mathrm{d}}^{†}\psi \right)=P{\omega }_r+{\mathrm{dd}}^{†}{\Delta }^{-1}{\omega }_r.\text{\hspace{1em}(7.196a)}$$

${\gamma }_r\equiv P{\omega }_r$ 就是 $[{\omega }_r]$ 的调和代表元(harmonic representative)。设 ${\tilde{\omega }}_r$ 是 $[{\omega }_r]$ 的另一个代表元：${\tilde{\omega }}_r-{\omega }_r=\mathrm{d}{\eta }_{r-1}$，${\eta }_{r-1}\in {\Omega }^{r-1}(M)$。与 (7.196a) 相对应，有

$${\tilde{\omega }}_r=P{\tilde{\omega }}_r+\mathrm{d}\left({\mathrm{d}}^{†}{\Delta }^{-1}{\tilde{\omega }}_r\right)=P{\omega }_r+\mathrm{d}(\dots )\text{\hspace{1em}(7.196b)}$$

其中最后一个等号成立，是因为 $\mathrm{d}{\eta }_{r-1}$ 与 ${\mathrm{Harm}}^r(M)$ 正交，从而它在 ${\mathrm{Harm}}^r(M)$ 上的投影为零。(7.196a) 与 (7.196b) 表明，$[{\omega }_r]$ 有唯一的调和代表元 $P{\omega }_r$。

这一证明表明 $H^r(M)\subset {\mathrm{Harm}}^r(M)$。下面我们证明 $H^r(M)\supset {\mathrm{Harm}}^r(M)$。由于对任意 ${\gamma }_r\in {\mathrm{Harm}}^r(M)$ 都有 $\mathrm{d}{\gamma }_r=0$，我们得到 $Z^r(M)\supset {\mathrm{Harm}}^r(M)$。又因为 $B^r(M)=\mathrm{d}{\Omega }^{r-1}(M)$（见 (7.192a)），所以有 $B^r(M)\cap {\mathrm{Harm}}^r(M)=\varnothing$。于是，${\mathrm{Harm}}^r(M)$ 的每个元素都是 $H^r(M)$ 中的非平凡元素，从而可知 ${\mathrm{Harm}}^r(M)$ 是 $H^r(M)$ 的向量子空间，因此 ${\mathrm{Harm}}^r(M)\subset H^r(M)$。我们已证明了：

定理 7.8 · 霍奇定理

在紧致可定向的黎曼流形 $(M,g)$ 上，$H^r(M)$ 与 ${\mathrm{Harm}}^r(M)$ 同构：

$$H^r(M)\cong {\mathrm{Harm}}^r(M).\text{\hspace{1em}(7.197)}$$

该同构通过把 $[\omega ]\in H^r(M)$ 与 $P\omega \in {\mathrm{Harm}}^r(M)$ 等同起来而给出。

特别地，我们有

$$\dim {\mathrm{Harm}}^r(M)=\dim H^r(M)=b^r\text{\hspace{1em}(7.198)}$$

其中 $b^r$ 为贝蒂数。欧拉示性数由下式给出

$$\chi (M)=\sum (-1{)}^r{b}^r=\sum (-1{)}^r\dim {\mathrm{Harm}}^r(M)\text{\hspace{1em}(7.199)}$$

见定理 3.7。我们注意到，左端是一个拓扑量，而右端是由拉普拉斯算符 $\Delta$ 的特征值问题给出的分析量。

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