9 张量积、纠缠与自旋相加

若有两个独立的量子系统，其状态空间分别为 $H_{1}$ 和 $H_{2} .$ ，则组合量子系统的描述利用了数学概念 a“张量积”，其组合状态空间为张量积 $H_{1} \otimes H_{2}$ 。由于能够取状态的线性组合，这个组合状态空间将包含远不止独立状态的乘积，还包括被描述为“纠缠”的状态，并导致量子物理系统中一些最反直觉的行为。

这个同样的张量积构造是表示论中的一个基本构造，它允许从表示 $(π_{W_{1}}, W_{1})$ 和 $(π_{W_{2}}, W_{2})$ 构造出一个新的表示 $(π_{W_{1} \otimes W_{2}}, W_{1} \otimes W_{2})$ 。当我们取对应于 $S U (2)$ 的两个自旋为 $s_{1}, s_{2}$ 的不可约表示的状态的张量积时，我们将得到一个新的表示 $(π_{V^{2 s_{1}} \otimes V^{2 s_{2}}}, V^{2 s_{1}} \otimes V^{2 s_{2}})$ 。它将是可约的，是各种自旋表示的直和，这一情形我们将详细分析。

从一个状态空间为 $H$ 的量子系统出发，该系统描述单个粒子，则 $n$ 个粒子的系统可以通过取 $n$ 重张量积 $H^{\otimes n} = H \otimes H \otimes \cdot \cdot \cdot \otimes H$ 来描述。结果表明，对于全同粒子，我们得到的不是完整的张量积空间，而只是在置换群通过置换各因子的作用下对称或反对称的子空间，这取决于我们的粒子是“玻色子”还是“费米子”。这是量子力学中的一个独立假设，但当粒子被视为量子场的量子时，它便得到了解释。

题外话。当物理学家提到“张量”时，他们通常指的是广义相对论或其他基于几何的物理学部分中使用的“张量场”，而不是态空间的张量积。张量场是流形上的函数，取值于切空间及其对偶空间的若干副本的某个张量积中。最简单的张量场是向量场，即取值于切空间的函数。一个更非平凡的例子是度量张量，它取值于切空间的两个副本的张量积的对偶空间中。

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