B.4 第8章

B.4 第8章

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 酉表示 · 不可约表示

问题 1：

利用定义

$$⟨f,g⟩=\frac{1}{{\pi }^2}{\int }_{{\mathbf{C}}^2}\overline{f(z_1,z_2)}g(z_1,z_2)e^{-(|z_1{|}^2+|z_2{|}^2)}d{x}_{1}d{y}_{1}d{x}_{2}d{y}_2$$

对于 ${\mathbf{C}}^2$ 上齐次多项式上的多项式内积，证明第 8.2 节中给出的此类多项式上的表示 $\pi$（由 ${\mathbf{C}}^2)$ 上的 $SU(2)$ 表示诱导得到）关于该内积是酉表示。

• 证明单项式

$$\frac{z_1^j{z}_2^k}{\sqrt{j!k!}}$$

关于该内积是正交归一的（提示：将积分拆分为两个复平面上的积分，使用极坐标）。

• 证明微分算符 ${\pi }^{\prime }(S_3)$ 是自伴的。证明 ${\pi }^{\prime }(S_{-})$ 与 ${\pi }^{\prime }(S_{+})$ 互为伴随。

问题2：

利用 $Y_1^m(\theta ,\varphi )$ 的公式以及方程 8.3 的内积，证明

• $Y_1^1,Y_1^0,Y_1^{-1}$ 是正交归一的。

$Y_1^1$ 是一个最高权向量。

$Y_1^0$ 和 $Y_1^{-1}$ 可以通过对最高权向量反复应用 $L_{-}$ 得到。

问题3：

回忆一下，so(3) 的卡西米尔算符 $L^2$ 是在任何表示 $\rho$ 中由下式给出的算符

$$L^2=L_1^2+L_2^2+L_3^2$$

证明该算符与 ${\rho }^{\prime }(X)$ 对所有的 $X\in \mathfrak{so}(3)$ 都对易。利用这一点证明，$L^2$ 在 so(3) 的一个不可约表示中的所有向量上具有相同的特征值。

问题 4：

对于讲义中给出的 ${\mathbf{C}}^2$ 上多项式的 $SU(2)$ 表示 $\pi$ 的情形，求卡西米尔算符

$$L^2={\pi }^{\prime }(S_1){\pi }^{\prime }(S_1)+{\pi }^{\prime }(S_2){\pi }^{\prime }(S_2)+{\pi }^{\prime }(S_3){\pi }^{\prime }(S_3)$$

作为一个显式微分算符。证明齐次多项式是特征函数，并计算特征值。

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash