B.16 第36章

B.16 第36章

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 复内积

问题 1：

当单粒子态空间 ${\mathcal{H}}_1$ 是具有厄米内积的复向量空间时，就得到 26.4 节情形的无限维情形。在此情形下，可以按如下与基无关的方式写出作用于多粒子态空间 $S^{\ast }({\mathcal{H}}_1)$ 或 ${\Lambda }^{\ast }({\mathcal{H}}_1)$ 上的湮灭算符和产生算符：

$$a^{†}(f)P^{\pm }\left(g_1\otimes g_2\otimes \cdots \otimes g_n\right)=\sqrt{n+1}{P}^{\pm }\left(f\otimes g_1\otimes g_2\otimes \cdots \otimes g_n\right)$$ $$a(f)P^{\pm }\left(g_1\otimes g_2\otimes \cdots \otimes g_n\right)=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{j=1}^n(\pm 1{)}^{j+1}⟨f,g_j⟩P^{\pm }\left(g_1\otimes g_2\cdots \otimes {\hat{g}}_j\otimes \cdots \otimes g_n\right)$$

这里，$f,g_j\in {\mathcal{H}}_1,P^{\pm }$ 是第 9.6 节中使用的对置换求和的操作，它产生对称或反对称张量积，而 $\widehat{g_j}$ 表示在张量积中省略 $g_j$ 项。

证明：对于 ${\mathcal{H}}_1$ 的正交标准基元素 $f$，这些湮灭算符和产生算符满足 CCR（+ 情形）或 CAR（− 情形）。

问题2：

在问题1的费米子情形中，证明 ${\Lambda }^{\ast }({\mathcal{H}}_1)$ 上的内积可以以一种与基无关的方式写成：对于 ${\mathcal{H}}_1$ 的一个正交标准基 $e_1,\cdots ,e_n$，该内积使得 $e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge \cdots \wedge e_{i_k}$ 对于 $i_1<i_2<\cdots <i_k$ 成为正交标准基。

$$⟨f_1\wedge f_2\wedge \cdots \wedge f_k,g_1\wedge g_2\wedge \cdots \wedge g_k⟩=\det M$$

其中 $M$ 是 $k$ 乘 $k$ 的矩阵，其 lm 元为 $⟨f_l,g_m⟩$

当 ${\mathcal{H}}_1$ 是波函数空间（在位置空间或动量空间中）时，取 $f_j$ 为某些单粒子波函数，并取 $g_j$ 为位置空间或动量空间中的 delta 函数，这种构造称为“Slater 行列式”构造，给出反对称波函数。对于玻色子情形，对称张量积存在类似的构造，其中不使用矩阵的行列式，而使用矩阵的所谓“积和式”。

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash