B.17 第37章和第38章

B.17 第37章和第38章

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数

问题 1：

证明：若将量子场论哈密顿算子取为

$$\hat{H}={\int }_{-\infty }^{\infty }{\hat{\Psi }}^{†}(x)\left(-\frac{1}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}+V(x)\right)\hat{\Psi }(x)dx$$

对于势为$V(x)$的情形，场算符将满足传统的薛定谔方程

问题2：

一个对应于不可区分粒子之间以相互作用能$v(x-y)$相互作用的量子系统（其中$x,$、$y$是粒子的位置），是通过添加一项来给出的

$$\frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\hat{\Psi }}^{†}(x){\hat{\Psi }}^{†}(y)v(y-x)\hat{\Psi }(y)\hat{\Psi }(x)dxdy$$

对于自由粒子哈密顿算子。正如自由粒子哈密顿算子可以表示为动量空间积分，其中涉及湮灭算符与产生算符的乘积，你能否将这个相互作用项写成动量空间积分，其中涉及湮灭算符与产生算符的乘积（用 $v(x-y)):$ 的傅里叶变换表示

问题3：

对于三维自由粒子的非相对论量子场论，证明动量算符 $\hat{\mathbf{P}}$（方程 38.11）和角动量算子 $\hat{\mathbf{L}}$（方程 38.12）满足 $E(3)$ 的李代数对易关系（方程 38.13）。

问题 4：

证明第38.3.3节中讨论的自旋$\frac{1}{2}$费米子的非相对论理论的总角动量算符满足$SU(2)$的李代数对易关系

上一节: B.16 第36章 · 下一节: B.18 第40章至第42章 · English version

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 537、538、539、540、541、542、543、544、545、546、547、548、549、550、551、552、553、554、555、556

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：7f317d1896fa748af4cb9570310ed7801a8bef7ef97dd5d1d2ea35f0099d5952

译稿产物 SHA-256：990cbfa689456f304078547957a949f29a27c8ecb8b9969826d93f3e363e800f

机翻模型：deepseek-v4.1-flash