26.4 具有厄米内积的复向量空间作为相空间

26.4 具有厄米内积的复向量空间作为相空间

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 复内积 · 李代数 · 复化

在许多物理感兴趣的情形中，对偶相空间 $M$ 将是一个带有厄米内积的复向量空间。例如，当 $M$ 是某个场方程的复解空间时就会出现这种情况，其例子包括非相对论量子场论（见第37章）以及相对论复标量场理论（见第44.1.2章）。在这类情形中，Bargmann-Fock 量子化可能会令人困惑，因为它涉及将 $\mathcal{M},$ 复化，而后者已经是一个复向量空间。处理这种情况的一种方法如下，取 ${\mathcal{M}}_J^{+}=\mathcal{M}$ 。在非相对论量子场论中，这给出了该理论的一个一致的 Bargmann-Fock 量子化，而在相对论情形中则不然，并且在那种情形下需要一种不同类型的复结构 $J$ ，一种与场值的复本性无关的复结构。

我们不试图将 $M$ 复化，而是引入一个共轭复向量空间 $M$ 以及一个在 $M$ 与 $M$ 之间互换的反线性共轭运算，其平方为恒等映射。在 $M$ 为场方程的复解的情形下，$M$ 将是复共轭方程的解。随后，Bargmann-Fock 量子化通过分解

$$\mathcal{M}\oplus \overline{\mathcal{M}}$$

扮演分解的角色

$${\mathcal{M}}_J^{+}\oplus {\mathcal{M}}_J^{-}$$

在我们之前的讨论中。

这确定了$J$：它是在$\mathcal{M},$上为+$i$、在$M$上为−$i$的算符。给定$M$上的厄米内积$⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{\mathcal{M}}$，利用关系26.7，可以如下确定$\mathcal{M}\oplus \overline{\mathcal{M}}$上的辛结构Ω和不定厄米乘积$⟨\cdot ,\cdot ⟩$

$$⟨u_1,u_2⟩=i\Omega ({\overline{u}}_1,u_2)$$

将元素 $u_1,u_2\in \mathcal{M}\oplus \overline{\mathcal{M}}$ 写作

$$u_1=u_1^{+}+u_1^{-},u_2=u_2^{+}+u_2^{-}$$

其中 $u_1^{+},u_2^{+}\in \mathcal{M}$ 且 $u_1^{-},u_2^{-}\in \overline{\mathcal{M}}$，Ω 被定义为这样的双线性形式：

$$\Omega (u_1^{+},u_2^{+})=\Omega (u_1^{-},u_2^{-})=0$$

• 在$M$上恢复厄米内积

$$i\Omega (u_1^{-},u_2^{+})=⟨\overline{u_1^{-}},u_2^{+}{⟩}_{\mathcal{M}}$$

• Ω 是反对称的，因此

$$i\Omega (u_1^{+},u_2^{-})=-i\Omega (u_2^{-},u_1^{+})=-⟨\overline{u_2^{-}},u_1^{+}{⟩}_{\mathcal{M}}$$

$M$ 的基向量 $z_j$ 关于 $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{\mathcal{M}}$ 标准正交，满足

$$\begin{array}{rl}⟨z_j,z_k⟩& ={\delta }_{jk}\\ ⟨{\overline{z}}_j,{\overline{z}}_k⟩& =-{\delta }_{jk}\\ ⟨z_j,{\overline{z}}_k⟩& =⟨{\overline{z}}_j,z_k⟩=0\end{array}$$

辛形式Ω满足通常的泊松括号关系

$$\Omega (z_j,{\overline{z}}_k)=\{z_j,{\overline{z}}_k\}=i{\delta }_{jk}$$

并且已经具备标准Bargmann-Fock量子化所需的全部要素。注意这里的厄米内积是不定的，在$\mathcal{M}.$上为正，在$\overline{\mathcal{M}}$上为负。

为了以不依赖于基的方式更好地理解在复对偶相空间$\mathcal{M}$这一情形中量子化如何运作，可以利用多项式与对称张量积的等同（见9.6节）。在此情形下，关于$z_j$的多项式被等同于$S^{\ast }(\mathcal{M})$（因为$z_j\in \mathcal{M})$），而关于${\overline{z}}_j$的多项式被等同于$S^{\ast }(\overline{\mathcal{M}})$（因为${\overline{z}}_j\in \overline{\mathcal{M}})$

我们看到，Fock 空间 ${\mathcal{F}}_d$ 被等同于 $S^{\ast }(\mathcal{M})$，并且利用这一等同（而不是与多项式的等同），可以问什么算符给出了一个元素的量子化

$$u=u^{+}+u^{-}$$

其中 $u^{+}\in \mathcal{M}$ 且 $u^{-}\in \overline{\mathcal{M}}$ 。对于基元素 $z_j\in \mathcal{M}$ ，算符将是 $-i{a}_i^{†}$ ，而对于 ${\overline{z}}_j\in \overline{\mathcal{M}}$ ，它将是 $-i{a}_j$ 。我们在此不深入细节，因为那将需要更多关于如何操作对称张量积的讨论（例如参见[17]的第 5.4 章）。然而可以证明，由下式定义在对称化张量积上的算符 ${\Gamma }^{\prime }(u^{+},0),{\Gamma }^{\prime }(u^{-},0)$ （其中 $P^{+}$ 是第 9.6 节的对称化算符，而 $\widehat{u_j}$ 表示去掉该项）。

$${\Gamma }^{\prime }(u^{+},0)P^{+}(u_1\otimes \cdots \otimes u_N)=-i\sqrt{N+1}{P}^{+}(u^{+}\otimes u_1\otimes \cdots \otimes u_N)$$ $${\Gamma }^{\prime }(u^{-},0)P^{+}(u_1\otimes \cdots \otimes u_N)=\frac{-i}{\sqrt{N}}\sum _{j=1}^N⟨\overline{u^{-}},u_j⟩P^{+}(u_1\otimes \cdots \otimes \widehat{u_j}\otimes \cdots \otimes u_N)$$

满足海森堡李代数同态关系

$$\begin{array}{rl}[{\Gamma }^{\prime }(u^{-},0),{\Gamma }^{\prime }(u^{+},0)]& ={\Gamma }^{\prime }(0,\Omega (u^{-},u^{+}))\\ & =-i\Omega (u^{-},u^{+})1\\ & =-⟨\overline{u^{-}},u^{+}⟩1\end{array}\text{\hspace{1em}(26.16)}$$

当作用于 $S^N(\mathcal{M})$ 的元素时（这些元素由将对称化算符 $P_{+}$ 作用于 $\mathcal{M})$ 的 $N$ 重张量积的元素得到

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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