6 三维和四维中的旋转群与自旋群

在物理世界的基本对称群中，有三维空间中绕一点旋转的正交群$SO(3)$。从该群得到的可观测量是角动量的分量，而理解量子系统的态空间如何作为该群的一个表示而表现，是分析原子物理例子以及许多其他例子的关键部分。这是每本量子力学教科书中都会以某种版本出现的一个主题，在第8章中我们将详细讨论它。

值得注意的是，实验事实表明，自然界中的量子系统往往不是 $SO(3)$ 的表示，而是一个更大的群 $Spin(3)$ 的表示，该群对于 $SO(3)$ 的每个元素都有两个元素与之对应。这样的群存在于任意维数 $n$ 中，总是作为正交群 $SO(n)$ 的 a “加倍”版本，它是理解 $n$ 维几何中一些更微妙方面所必需的。在 $n=3$ 的情形下，事实证明 $Spin(3)\simeq SU(2)$，在本章中我们将详细研究 $SO(3)$ 与 $SU(2)$ 的关系。酉群 $SU(2)$ 的这种出现是 3 维和 4 维几何所特有的，四元数理论将被用来为此提供解释。

English contents

本章目录

• 6.1 三维旋转群
• 6.2 三维和四维中的自旋群
  • 6.2.1 四元数
  • 6.2.2 四维中的旋转与自旋群
  • 6.2.3 三维中的旋转与自旋群
  • 6.2.4 自旋群与 $SU(2)$
• 6.3 小结
• 6.4 进一步阅读

上一章：5 李代数与李代数表示

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来源版本：2025-10-20

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