8 SU(2)与SO(3)的表示

对于$G=U(1)$的情形，在第2章中我们能够用一个$Z$的元素对所有复不可约表示进行分类，并显式构造每个不可约表示。我们希望对$SU(2)$和$SO(3)$的表示做同样的事情。最终结果将是，$SU(2)$的不可约表示由一个非负整数$n=0,1,2,3,\cdots$分类，并且具有维数$n+1,$，因此我们（希望不会与$U(1))$的不可约表示$({\pi }_n,\mathbf{C})$混淆）将它们记为$({\pi }_n,{\mathbf{C}}^{n+1})$。对于偶数$n$，这些将在如下意义上对应于$SO(3)$的一个不可约表示${\rho }_n$：

$${\pi }_n={\rho }_n\circ \Phi$$

但对于奇数 $n$，这并不成立。在物理学中，通常用 $s=\frac{n}{2}=0,\frac{1}{2},1,\cdot \cdot \cdot$ 来标记这些表示，并将由 $s$ 标记的表示称为“自旋 $s$ 表示”。我们已经知道前三个例子：

• 自旋 0：${\pi }_0$ 或 ${\rho }_0$ 是 $SU(2)$ 或 $SO(3)$ 的平凡表示。在物理学中，这有时被称为“标量表示”。说态在旋转下按标量表示变换，仅仅意味着它们在旋转下不变。

• 自旋 $\frac{1}{2}:$：取

$${\pi }_1(g)=g\in SU(2)\subset U(2)$$

给出 ${\mathbf{C}}^2$ 上的定义表示。这就是第 7 章讨论的旋量表示。它不对应于 $SO(3)$ 的表示

• 自旋 1：由于 $SO(3)$ 是 3 乘 3 矩阵构成的群，它作用于 ${\mathbf{R}}^3$ 中的向量。这不过是旋转对向量的标准作用。换言之，该表示为 $({\rho }_2,{\mathbf{R}}^3)$，其中 ${\rho }_2$ 是恒等同态。

$$g\in SO(3)\to {\rho }_2(g)=g\in SO(3)$$

这有时被称为“向量表示”，我们在第6章中看到它与伴随表示同构。

复合同态$\Phi$和$\rho :$

$${\pi }_2=\rho \circ \Phi :SU(2)\to SO(3)\subset GL(3,\mathbf{R})$$

给出 $SU(2)$ 的一个表示 $({\pi }_2,{\mathbf{R}}^3)$，即伴随表示。复化后得到 ${\mathbf{C}}^3$ 上的一个表示，在此情形下，它不过是用 $SO(3)$ 矩阵作用在复列向量上，将向量的实坐标替换为复坐标。

English contents

本章目录

• 8.1 SU(2) 的表示：分类
  • 8.1.1 权分解
  • 8.1.2 李代数表示：升算符与降算符
• 8.2 SU(2) 的表示：构造
• 8.3 SO(3) 的表示与球谐函数
• 8.4 卡西米尔算符
• 8.5 延伸阅读

上一章：7 磁场中自旋1/2粒子的转动

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来源版本：2025-10-20

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