6.3 小结

6.3 小结

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 伴随表示 · 不可约表示 · 李群 · 李括号 · 群同态

总之，我们已经证明，在三维情形下，我们有两个不同的李群：

$Spin(3)$，在几何上就是空间$S^3$。其李代数是${\mathbf{R}}^3$，李括号为叉积。我们已经看到$Spin(3)$的两种不同的显式构造，一种用单位四元数$(Sp(1))$，另一种用行列式为1的2乘2酉矩阵$\left(SU(2)\right)$）。

$SO(3)$，其李代数同构于$Spin(3)$的李代数

存在一个群同态$\Phi$，它将第一个群映到第二个群，且是一个二重覆盖映射。其导数${\Phi }^{\prime }$是两个群的李代数之间的同构。

从这些构造中，我们可以看到这些群的两个有趣的不可约表示：

• 在 ${\mathbf{R}}^3$ 上的一种表示，可以用两种不同的方式构造：作为两个群中任一个的伴随表示，或作为 $SO(3)$ 的定义表示。物理学家将此称为“自旋 $1^{\mathfrak{s}}$ 表示”。

• 第一个群在 ${\mathbf{C}}^2$ 上的一个表示，最容易看作 $SU(2)$ 的定义表示。它不是 $SO(3)$ 的表示，因为从单位元出发绕一条不可收缩的环路一周会把单位元带到负单位元，而不是按要求回到单位元。这被称为“自旋 $\frac{1}{2}d{s}^{,}$ 或“旋量”表示，并将在第 7 章中更详细地研究。

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash