6.1 三维旋转群

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 正交群 · 李代数 · 李代数表示 · 伴随表示 · 李群 · 李括号

$R^{2}$ 中绕原点的旋转由 $S O (2)$ 的元素给出，其中逆时针旋转角度 $θ$ 由矩阵给出

R (θ) = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)

这可以写成一个指数形式， $R (θ) = e^{θ L} = cos θ 1 + L sin θ$ 对于

L = (01 - 1 0)

这里 $S O (2)$ 是一个交换李群，其李代数为 $so (2) = R$ 。注意，我们在此有一个作用在 $V = R^{2}$ 上的表示，但它是实表示，而不是当我们在量子力学态空间上有一个表示时所具有的复表示之一。

在三维情形下，群 $S O (3)$ 是三维且非交换的。选取单位向量 $w$ 和角 $θ$ ，便得到 $S O (3)$ 的一个元素 $R (θ, w)$ ，即绕 $w$ 轴旋转角 $θ$ 。利用标准基向量 $e_{j}$ ，绕坐标轴的旋转由下式给出

R (θ, e_{1}) = 100 0 cos θ sin θ 0 - sin θ cos θ, R (θ, e_{2}) = cos θ 0 - sin θ 010 sin θ 0 cos θ

R (θ, e_{3}) = cos θ sin θ 0 - sin θ cos θ 0 001

$S O (3)$ 中元素的一种标准参数化是借助 3 个“欧拉角” $ϕ, θ,$ $ψ$ 来表示，其中一般旋转由下式给出

R (ϕ, θ, ψ) = R (ψ, e_{3}) R (θ, e_{1}) R (ϕ, e_{3}) (6.1)

即，首先绕 $z$ 轴旋转角度 $ϕ,$ ，然后绕新的 $x$ 轴旋转角度 $θ$ ，接着绕新的 $z -$ 轴旋转 $ψ$ 。将矩阵乘开后会得到一个用三个角表示的相当复杂的旋转表达式，并且需要弄清楚应选择什么值域来避免重复计数。

群单位元附近的无穷小图景由 $so (3)$ 上的李代数结构给出，它要容易理解得多。回忆一下，对于正交群，李代数可以等同于反对称矩阵的空间，因此在这种情况下存在一个基

l_{1} = 000001 0 - 1 0 l_{2} = 00 - 1 000100 l_{3} = 010 - 1 00 000

它们满足对易关系

[l_{1}, l_{2}] = l_{3}, [l_{2}, l_{3}] = l_{1}, [l_{3}, l_{1}] = l_{2}

注意，这些恰好就是李代数 $su (2)$ 的基向量 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 所满足的同一组对易关系（方程 3.5），因此 $so (3)$ 与 $su (2)$ 是同构的李代数。它们都是向量空间 $R^{3}$ ，并在向量对上具有相同的李括号运算。这一运算在另一个语境中也是熟悉的，即 $R^{3}$ 中标准基向量 $e_{j}$ 的叉积：

e_{1} \times e_{2} = e_{3}, e_{2} \times e_{3} = e_{1}, e_{3} \times e_{1} = e_{2}

我们看到李括号运算

(X, Y) \in R^{3} \times R^{3} \to [X, Y] \in R^{3}

这使得 $R^{3}$ 成为一个李代数， $so (3)$ 是 $R^{3}$ 中向量上的叉积。

到目前为止，我们有三种不同的同构方式在 $R^{3}$ 上赋予李括号，使其成为一个李代数：

将 $R^{3}$ 与反对称实 3 乘 3 矩阵等同起来，并取矩阵对易子作为李括号。
将 $R^{3}$ 与斜伴随、无迹的复 2 乘 2 矩阵等同起来，并取矩阵对易子作为李括号。
利用 $R^{3}$ 上的向量叉积得到李括号，即定义

[v, w] = v \times w

正交群在维数 $n = 3$ 时才会发生一件非常特殊的事情，即向量表示（ $S O (n)$ 矩阵在 $R^{n})$ 上的定义表示）与伴随表示同构。回忆一下，任何李群 $G$ 都有一个在其李代数 $g$ 上的表示 $(A d, g)$ 。 $so (n)$ 可以通过 $n$ 个反对称 $n$ 矩阵来识别，因此其（实）维数为 $\frac{n ^{2} - n}{2}$ 。只有当 $n = 3$ 时，它才等于 $n_{:}$ ，即在 $R^{n}$ 中向量表示的维数。这对应于一个几何事实：只有在 3 维中，一个平面（在所有维数中，旋转都是由各种平面内的旋转构成的）才由唯一一个向量（垂直于该平面的向量）确定。等价地说，只有在 3 维中才存在一个叉积 $v \times w$ ，它将确定一个平面的两个向量映为唯一一个垂直于该平面的向量。

列向量上的向量表示 $(π_{v ec t or}, R^{3})$ 与反对称矩阵上的伴随表示 $(A d, so (3))$ 之间的同构由下式给出

v_{1} v_{2} v_{3} \leftrightarrow v_{1} l_{1} + v_{2} l_{2} + v_{3} l_{3} = 0 v_{3} - v_{2} - v_{3} 0 v_{1} v_{2} - v_{1} 0

或用基表示为

e_{j} \leftrightarrow l_{j}

对于列向量上的向量表示， $π_{v ec t or} (g) = g$ 且 $π_{v ec t or}^{'} (X) =$ $X$ ，其中 $X$ 是一个反对称 3 乘 3 矩阵，而 $g = e^{X}$ 是一个正交 3 乘 3 矩阵。二者均通过通常的乘法作用于列向量。

对于反对称矩阵上的伴随表示

A d (g) 0 v_{3} - v_{2} - v_{3} 0 v_{1} v_{2} - v_{1} 0 = g 0 v_{3} - v_{2} - v_{3} 0 v_{1} v_{2} - v_{1} 0 g^{- 1}

相应的李代数表示由下式给出

a d (X) 0 v_{3} - v_{2} - v_{3} 0 v_{1} v_{2} - v_{1} 0 = [X, 0 v_{3} - v_{2} - v_{3} 0 v_{1} v_{2} - v_{1} 0]

其中 $X$ 是 $_{a 3}$ 乘 3 反对称矩阵。

可以直接验证这些表示是同构的，例如通过计算基元素 $l_{j} \in so (3)$ 的作用。在向量上，这些 $l_{j}$ 通过矩阵乘法作用，例如对于 $j = 1$ 给出

l_{1} e_{1} = 0, l_{1} e_{2} = e_{3}, l_{1} e_{3} = - e_{2}

在反对称矩阵上，人们转而得到同构关系

(a d (l_{1})) (l_{1}) = 0, (a d (l_{1})) (l_{2}) = l_{3}, (a d (l_{1})) (l_{3}) = - l_{2}

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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