7.5 布洛赫球

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 复内积 · 特征值

关于具有 $H = C^{2}$ 的二态系统与球面几何之间的关系（物理学家称之为态的“Bloch球”描述），另一种观点是，可以通过以下方式将单位球面 $S^{2} \subset R^{3}$ 映射到算符：

x \to σ \cdot x

对于每个点 $x \in S^{2}$ ， $σ \cdot x$ 的特征值为 ±1。特征值为 +1 的特征向量是方程的解

σ \cdot x ∣ ψ ⟩ = ∣ ψ ⟩ (7.4)

并给出一个子空间 $C \subset H$ ，从而给出 $CP (1)$ 中点的另一种参数化。注意，人们可以等价地考虑这些算符

P_{x} = \frac{1}{2} (1 - σ \cdot x)

并考察其解空间

P_{x} ∣ ψ ⟩ = 0

容易验证， $P_{x}$ 满足 $P_{x}^{2} = P_{x}$ ，并且是一个投影算符。

为了从自旋算符的角度给出这一点的更物理解释，可以将 7.4 乘以 $\frac{1}{2}$ ，并把对应于 $x \in S^{2}$ 的 $C \subset H$ 刻画为 1 的解

S \cdot x ∣ ψ ⟩ = \frac{1}{2} ∣ ψ ⟩

于是球体的北极是 a $^{6} spin - up^{7}$ 态，南极是 a“自旋向下”态。沿赤道可以找到两个点，对应于 $S_{1}$ 具有确定值的态，以及两个对应于 $S_{2}$ 具有确定值的态。

图 7.4：布洛赫球。

对于自旋表示的后续应用，我们希望为每个 $x$ 选择方程 7.4 的一个解，从而得到一个映射

u_{+} : x \in S^{2} \to ∣ ψ ⟩ = u_{+} (x) \in H = C^{2}

使得

(σ \cdot x) u_{+} (x) = u_{+} (x) (7.5)

该方程确定 $u_{+}$ 时仅差一个依赖于 $x$ 的标量因子。标准选择是

u_{+} (x) = \frac{1}{2 ( 1 + x _{3} )} (x _{1} + i x _{2} 1 + x _{3}) = (e ^{i ϕ} sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}) (7.6)

其中 $θ, ϕ$ 是标准球坐标（将在 8.3 节中讨论）。这一特定选择有两个值得注意的特征：

• 可以验证它满足

u_{+} (R x) = Ω u_{+} (x)

其中 $R = Φ (Ω)$ 是对应于一个 $S U (2)$ 元素的旋转

Ω = (cos \frac{θ}{2} e^{i ϕ} sin \frac{θ}{2} - e^{- i ϕ} sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2})

$u_{+} (x)$ 通过将其在北极点设为 $(0 1)$ ，并通过用元素 Ω 作用于球面上的其他点 $x$ 来定义，该元素通过共轭作用于向量（照常使用向量与复矩阵的等同），会将北极点映到 $x$ 。

• 在所作的具体选择下， $u_{+} (x)$ 在南极处不连续，此处 $x_{3} = - 1$ ，且 $ϕ$ 未被唯一确定。由于拓扑原因，不可能对所有 $x$ 作出单位长度的 $u_{+} (x)$ 的连续选择。在应用中，人们通常计算的是与 $u_{+} (x)$ 的具体选择无关的量，因此该不连续性（它依赖于选择）不应引起问题。

类似地，可以选取方程的一个解 $u_{-} (x)$

(σ \cdot x) u_{-} (x) = - u_{-} (x)

对于特征值为−1的特征向量，采用标准选择

u_{-} (x) = \frac{1}{2 ( 1 + x _{3} )} (1 + x _{3} - ( x _{1} - i x _{2} )) = (cos \frac{θ}{2} - e ^{- i ϕ} sin \frac{θ}{2})

对于每个 $x, u_{+} (x)$ 和 $u_{-} (x)$ 满足

u_{+} (x)^{†} u_{-} (x) = 0

因此，为 $C^{2}$ 提供一个（关于厄米内积的）标准正交复基

题外话。通过取方程 $γ .5$ 的解，将不同的向量空间 $C \subset H = C^{2}$ 与每个点 $x$ 相关联，这是所谓 a “向量丛”在 $x \in S^{2}$ 的球面上的一个例子。对每个 $x$ 具体选择一个解 $u_{+} (x)$ ，称为该向量丛的 a “截面”。它可以被视为球面上一种“扭曲的”复值函数，其取值不像通常函数那样对每个 $x$ 都落在同一个 $C$ 中，而是落在随 $x$ 变化的 $C$ 的副本中。

这些 $C$ 的副本以拓扑非平凡的方式在 $C^{2}$ 中移动：它们无法以连续的方式彼此全部等同。这里出现的向量丛也许是拓扑非平凡向量丛中最基本的例子。由于这种拓扑非平凡性，像方程 7.6 的截面 $u_{+}$ 中出现的那种不连续性是不可或缺的。对于像这样的非平凡丛，不可能存在连续的非零截面。

虽然布洛赫球为二态系统的状态提供了一种简单的几何解释，但应当注意，这种将球面上的点与状态相关联的方式完全不保持内积的概念。例如，球的北极和南极对应于 $H,$ 中的正交向量，但当然 $(0, 0, 1)$ 和 $(0, 0, - 1)$ 作为 $R^{3}$ 中的向量根本不正交。

来源与版本

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核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 75、76、77、78、79、80、81、82、83、84、85、86、87、88

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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