8.3 SO(3) 的表示与球谐函数

8.3 SO(3) 的表示与球谐函数

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 酉表示 · 不可约表示 · 复化

我们现在希望利用 $SU(2)$ 的表示的分类与构造，来研究与之密切相关的群 $SO(3)$ 的表示。对于 $SO(3)$ 的任意表示 $(\rho ,V)$ ，我们可以利用双重覆盖同态 $\Phi :SU(2)SO(3)$ 得到一个表示

$$\pi =\rho \circ \Phi$$

$SU(2)$的。可以证明，如果$\rho$是不可约的，那么$\pi$也将是不可约的，因此我们必须有$\pi =\rho \circ \Phi ={\pi }_n$，这是上一节中得到的$SU(2)$的不可约表示之一。利用$\Phi (-1)=1$这一事实，我们看到

$${\pi }_n(-1)=\rho \circ \Phi (-1)=1$$

由已知 ${\pi }_n\mathrm{are}-n,-n+2,\cdot \cdot \cdot ,n-2,n$ 的权，我们得知

$${\pi }_n(-1)={\pi }_n\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\pi }& 0\\ 0& e^{-i\pi }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{e}^{in\pi }& 0& \dots & 0\\ 0& e^{i(n-2)\pi }& \dots & 0\\ \dots & & & \dots \\ 0& 0& \dots & e^{-in\pi }\end{array}\right)=1$$

这仅对偶数 $n$ 成立，而对奇数 $n$ 不成立。由于 $SO(3)$ 的李代数与 $SU(2)$ 的李代数同构，上一节中利用升算符和降算符的同一李代数论证也适用。$SO(3)$ 的不可约表示将是 $({\rho }_l,V={\mathbf{C}}^{2l+1})$，其中 $l=0,1,2,\cdots$，维数为 $2l+1$，并满足

$${\rho }_l\circ \Phi ={\pi }_{2l}$$

正如在 $SU(2)$ 的情形中那样，我们可以利用带有 $SO(3)$ 作用的函数空间来显式构造这些表示。显然可选择的空间是带有标准 $SO(3)$ 作用的 ${\mathbf{R}}^3$。诱导表示照常。

$$(\rho (g)f)(x)=f(g^{-1}\cdot x)$$

与$SU(2)$情形中的论证相同，一旦选定了基，$g\in SO(3)$就是一个正交3乘3矩阵，它作用在坐标$x_1,x_2,x_3$上（对偶${\mathbf{R}}^3)$的一个基，通过

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\to g^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$$

求导后，函数上的李代数表示由下式给出

$${\rho }^{\prime }(X)f=\frac{d}{dt}\rho (e^{tX})f_{|t=0}=\frac{d}{dt}f(e^{-tX}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right){)}_{|t=0}$$

其中 $X\in \mathfrak{so}(3)$。回忆一下，so(3) 的一个基由反对称矩阵给出

$$l_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)l_2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)l_3=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

它们满足对易关系

$$[l_1,l_2]=l_3,[l_2,l_3]=l_1,[l_3,l_1]=l_2$$

题外话。关于约定的一点说明

我们使用记号 $l_j$ 表示李代数 $s$ $\mathfrak{o}(3)=\mathfrak{su}(2)$ 的实基。对于酉表示 $\rho ,$，${\rho }^{\prime }(l_j)$ 将是斜伴随线性算符。为了与物理学文献保持一致，我们将使用记号 $L_j=i{\rho }^{\prime }(l_j)$ 表示在此函数表示中对应于 $l_j$ 的线性算符的自伴版本。$L_j$ 满足对易关系

$$[L_1,L_2]=i{L}_3,[L_2,L_3]=i{L}_1,[L_3,L_1]=i{L}_2$$

我们还将使用复化李代数的元素$l_{\pm }=l_1\pm i{l}_2$来构造升算符和降算符$L_{\pm }=i{\rho }^{\prime }(l_{\pm })$

与$SU(2)$的情形一样，我们不会像物理学中通常那样包含因子ℏ（通常的约定是$L_j=i\hslash {\rho }^{\prime }(l_j))$，因为在考虑旋转群的作用时它会抵消掉（物理学家用$e^{\frac{i}{\hslash }\theta L_j})$定义旋转。因子ℏ只有在$L_j$用动量算符表示时才有意义，这一主题将在第19章讨论。

在 SU(2) 情形中，${\pi }^{\prime }(S_j)$ 具有半整数特征值，而 ${\pi }^{\prime }(2S_3)$ 的特征值是表示的整数权。这里 $L_j$ 将具有整数特征值，权将是 $2L_3$ 的特征值，这些特征值将是偶数整数。

计算${\rho }^{\prime }(l_1)$，我们得到

$$\begin{array}{rl}{\rho }^{\prime }(l_1)f& =\frac{d}{dt}f{\left(\begin{array}{cc}{e}^{-t\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)}& \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\\ & \end{array}\right)}_{|t=0}\\ & =\frac{d}{dt}f{\left(\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos t& \sin t\\ 0& -\sin t& \cos t\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\right)}_{|t=0}\\ & =\frac{d}{dt}f{\left(\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\cos t+x_3\sin t\\ -x_2\sin t+x_3\cos t\end{array}\right)\right)}_{|t=0}\\ & =\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\frac{\partial f}{\partial x_3}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{x_3}\right)\\ & =x_3\frac{\partial f}{\partial x_2}-x_2\frac{\partial f}{\partial x_3}\end{array}$$

因此

$${\rho }^{\prime }(l_1)=x_3\frac{\partial }{\partial x_2}-x_2\frac{\partial }{\partial x_3}$$

类似的计算给出

$${\rho }^{\prime }(l_2)=x_1\frac{\partial }{\partial x_3}-x_3\frac{\partial }{\partial x_1},{\rho }^{\prime }(l_3)=x_2\frac{\partial }{\partial x_1}-x_1\frac{\partial }{\partial x_2}$$

${\mathbf{R}}^3$ 上所有函数构成的空间太大了：它会为我们想要的每个有限维表示给出无穷多个副本。注意，当 $SO(3)$ 作用在 ${\mathbf{R}}^3$ 上时，它保持到原点的距离不变。如果我们使用球坐标 $(r,\theta ,\varphi )$（见图）

图 8.2：球坐标。

我们将有

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =r\sin \theta \cos \varphi \\ x_2& =r\sin \theta \sin \varphi \\ x_3& =r\cos \theta \end{array}$$

作用在$f(r,\varphi ,\theta ),SO(3)$上会使$r$保持不变，仅非平凡地作用在$\theta ,\varphi .$上。事实证明，我们可以通过多种方式将函数空间缩减到只包含我们所需表示的一个副本。其中一种方法是把函数限制在单位球面上，即考察函数$f(\theta ,\varphi )$。我们将看到，所寻找的表示可以在这些两个角变量的简单三角函数中找到。

我们可以通过显式构造一个我们将称为 $Y_l^l(\theta ,\varphi )$ 的函数来构造不可约表示 ${\rho }_l^{\prime }$，该函数将是权为 $l$ 的最高权向量。权 $l$ 条件和最高权条件给出关于 $Y_l^l(\theta ,\varphi )$ 的两个微分方程

$$L_3{Y}_l^l=l{Y}_l^l,L_{+}{Y}_l^l=0$$

这些将会有唯一解（在标量意义下）。

我们首先需要将表达式中的坐标从直角坐标变换为球坐标，用于 $L_3,L_{\pm }$。使用链式法则来计算诸如

$$\frac{\partial }{\partial r}f(x_1(r,\theta ,\varphi ),x_2(r,\theta ,\varphi ),x_3(r,\theta ,\varphi ))$$

我们得到

$$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial r}\\ \frac{\partial }{\partial \theta }\\ \frac{\partial }{\partial \varphi }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \varphi & \sin \theta \sin \varphi & \cos \theta \\ r\cos \theta \cos \varphi & r\cos \theta \sin \varphi & -r\sin \theta \\ -r\sin \theta \sin \varphi & r\sin \theta \cos \varphi & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x_1}\\ \frac{\partial }{\partial x_2}\\ \frac{\partial }{\partial x_3}\end{array}\right)$$

因此

$$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial r}\\ \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }\\ \frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \varphi & \sin \theta \sin \varphi & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \varphi & \cos \theta \sin \varphi & -\sin \theta \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x_1}\\ \frac{\partial }{\partial x_2}\\ \frac{\partial }{\partial x_3}\end{array}\right)$$

这是一个正交矩阵，因此可以通过取其转置来求逆，从而得到

$$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x_1}\\ \frac{\partial }{\partial x_2}\\ \frac{\partial }{\partial x_3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \varphi & \cos \theta \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi & \cos \theta \sin \varphi & \cos \varphi \\ \cos \theta & -\sin \theta & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial r}\\ \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }\\ \frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\end{array}\right)$$

因此，我们最终得到

$$L_1=i{\rho }^{\prime }(l_1)=i\left(x_3\frac{\partial }{\partial x_2}-x_2\frac{\partial }{\partial x_3}\right)=i\left(\sin \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }+\cot \theta \cos \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi }\right)$$ $$L_2=i{\rho }^{\prime }(l_2)=i\left(x_1\frac{\partial }{\partial x_3}-x_3\frac{\partial }{\partial x_1}\right)=i\left(-\cos \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }+\cot \theta \sin \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi }\right)$$ $$L_3=i{\rho }^{\prime }(l_3)=i\left(x_2\frac{\partial }{\partial x_1}-x_1\frac{\partial }{\partial x_2}\right)=-i\frac{\partial }{\partial \varphi }$$

和

$$L_{+}=i{\rho }^{\prime }(l_{+})=e^{i\varphi }\left(\frac{\partial }{\partial \theta }+i\cot \theta \frac{\partial }{\partial \varphi }\right),L_{-}=i{\rho }^{\prime }(l_{-})=e^{-i\varphi }\left(-\frac{\partial }{\partial \theta }+i\cot \theta \frac{\partial }{\partial \varphi }\right)$$

既然我们已经有了李代数在球坐标下对函数的作用表达式，那么我们的两个微分方程——说明函数 $Y_l^l(\theta ,\varphi )$ 具有权 $l$ 且处于最高权空间——就是

$$L_3{Y}_l^l(\theta ,\varphi )=-i\frac{\partial }{\partial \varphi }{Y}_l^l(\theta ,\varphi )=l{Y}_l^l(\theta ,\varphi )$$

和

$$L_{+}{Y}_l^l(\theta ,\varphi )=e^{i\varphi }\left(\frac{\partial }{\partial \theta }+i\cot \theta \frac{\partial }{\partial \varphi }\right)Y_l^l(\theta ,\varphi )=0$$

其中第一个告诉我们

$$Y_l^l(\theta ,\varphi )=e^{il\varphi }{F}_l(\theta )$$

对于某个函数 $F_l(\theta )$，并使用第二个，我们得到

$$(\frac{\partial }{\partial \theta }-l\cot \theta )F_l(\theta )=0$$

带解

$$F_l(\theta )=C_{ll}{\sin }^l\theta$$

对于任意常数$C_{ll}$。最后

$$Y_l^l(\theta ,\varphi )=C_{ll}{e}^{il\varphi }{\sin }^l\theta$$

这是球面上的一个函数， 它也是 a $2l+1$ 维不可约表示中的一个最高权向量，该表示属于 $SO(3)$。 反复应用降算符 $L_{-}$ 得到张成其余权空间的向量， 这些函数

$$\begin{array}{rl}{Y}_l^m(\theta ,\varphi )& =C_{lm}(L_{-}{)}^{l-m}{Y}_l^l(\theta ,\varphi )\\ & =C_{lm}{\left(e^{-i\varphi }\left(-\frac{\partial }{\partial \theta }+i\cot \theta \frac{\partial }{\partial \varphi }\right)\right)}^{l-m}{e}^{il\varphi }{\sin }^l\theta \end{array}$$

对于 $m=l,l-1,l-2\cdots ,-l+1,-l$

函数 $Y_l^m(\theta ,\varphi )$ 被称为“球谐函数”，它们张成球面上的复函数空间，其方式与 $e^{in\theta }$ 张成圆上的复值函数空间大致相同。与 ${\mathbf{C}}^2$ 上多项式的情形不同，对于球面上的函数，通过将此类函数在球面上积分会得到有限数。因此，可以通过简单地设定下式来定义这些表示上的一个内积，使得它们关于该内积是酉的

$$⟨f,g⟩={\int }_{S^2}\overline{f}g\sin \theta d\theta d\varphi ={\int }_{\varphi =0}^{2\pi }{\int }_{\theta =0}^{\pi }\overline{f(\theta ,\varphi )}g(\theta ,\varphi )\sin \theta d\theta d\varphi \text{\hspace{1em}(8.3)}$$

我们在此不尝试证明这一点，但对于 $l,m$ 的允许值，$Y_l^m(\theta ,\varphi )$ 关于此内积是相互正交的。

人们可以就 $Y_l^m(\theta ,\varphi )$ 用勒让德多项式推导出各种一般公式，但这里我们只计算前几个例子，并给出使其相对于所选内积的范数为 1 的适当常数。

• 对于 $l=0$ 表示

$$Y_0^0(\theta ,\varphi )=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}$$

• 对于 $l=1$ 表示

$$Y_1^1=-\sqrt{\frac{3}{8\pi }}{e}^{i\varphi }\sin \theta ,Y_1^0=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \theta ,Y_1^{-1}=\sqrt{\frac{3}{8\pi }}{e}^{-i\varphi }\sin \theta$$

（容易看出，这些对于${\rho }^{\prime }(L_3)=$ $-i\frac{\partial }{\partial \varphi })$具有正确的特征值

• 对于 $l$ = 2 表示，有

$$Y_2^2=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{e}^{i2\varphi }{\sin }^2\theta ,Y_2^1=-\sqrt{\frac{15}{8\pi }}{e}^{i\varphi }\sin \theta \cos \theta$$ $$Y_2^0=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}(3{\cos }^2\theta -1)$$ $$Y_2^{-1}=\sqrt{\frac{15}{8\pi }}{e}^{-i\varphi }\sin \theta \cos \theta ,Y_2^{-2}=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{e}^{-i2\varphi }{\sin }^2\theta$$

我们将在第 21 章看到，球坐标中角变量的这些函数，正是给出球对称势中粒子这一物理系统波函数角依赖关系的函数。在这种情况下，系统的 $SO(3)$ 对称性意味着状态空间（波函数）将提供 $SO(3)$ 的酉表示 $\pi$，而哈密顿算子 $H$ 的作用将与算符 $L_3,L_{\pm }$ 的作用对易。因此，$\pi$ 的不可约表示分量中的所有状态都将具有相同的能量。于是状态被组织成“轨道”，其中单态称为 ${}^{66}{\mathrm{s}}^{\prime }$ 轨道 $(l=0)$，三重态称为 ${}^{66}{\mathrm{p}}^{,9}$ 轨道 $(l=1)$，重数为 5 的状态称为 ${{}^6\mathrm{d}}^5$ 轨道 $(l=2)$，等等。

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来源版本：2025-10-20

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