8.4 卡西米尔算符

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 不可约表示 · 复化 · 舒尔引理

对于 $S U (2)$ 和 $S O (3)$ 两者，我们已经发现所有表示都可以由函数空间构造出来，而李代数则作为一阶微分算符作用。结果表明，从这些李代数表示中还产生了一个非常有趣的二阶微分算符，称为卡西米尔算符。对于 $S O (3)$ 的情形

定义（$S O ( 3 )

) $的卡西米尔算符）。$ S O ( 3 ) $在$ S ^ { 2 }$ 上的函数表示所对应的卡西米尔算符是二阶微分算符
$L^{2} \equiv L_{1}^{2} + L_{2}^{2} + L_{3}^{2}$

（符号 $L^{2}$ 并非意在表示这是算符 $L)$ 的平方

利用 $L_{j}$ 所满足的对易关系进行直接计算表明

[L^{2}, ρ^{'} (X)] = 0

对任意 $X \in so (3)$ 。知道了这一点，舒尔引理的一个版本表明， $L^{2}$ 在不可约表示上的作用为一个标量 $(i.e.$ ，表示中的所有向量都是 $\overset{ˉ}{L}^{2}$ 的特征向量，且具有相同的特征值）。这个特征值可用于刻画该不可约表示。

计算这个特征值最容易的方法，原来是用 $L^{2}$ 作用在一个最高权向量上。首先把 $L^{2}$ 用升算符和降算符重新表示。

算符

L_{-} L_{+} = (L_{1} - i L_{2}) (L_{1} + i L_{2}) = L_{1}^{2} + L_{2}^{2} + i [L_{1}, L_{2}] = L_{1}^{2} + L_{2}^{2} - L_{3}

因此

L^{2} = L_{1}^{2} + L_{2}^{2} + L_{3}^{2} = L_{-} L_{+} + L_{3} + L_{3}^{2}

对于上文构造的 $S O (3)$ 在 $S^{2}$ 上函数空间中的表示 $ρ$ ，我们知道，在不可约表示 $ρ_{l}$ 的最高权向量上（该表示为 $ρ$ 限制到由 $Y_{l}^{m} (θ, ϕ))$ 的线性组合构成的函数的 $2 l + 1$ 维不可约子空间），有两个特征值方程

L_{+} f = 0, L_{3} f = l f

其解为与 $Y_{l}^{l} (θ, ϕ)$ 成比例的函数。仅从这些条件以及我们对 $L^{2}$ 的表达式，我们就能立即求出 $L^{2}$ 的标量特征值，因为

L^{2} f = L_{-} L_{+} f + (L_{3} + L_{3}^{2}) f = (0 + l + l^{2}) f = l (l + 1) f

因此我们已经证明，我们的不可约表示 $ρ_{l}$ 可以被刻画为这样的表示：在该表示上， $L^{2}$ 通过标量 $l (l + 1)$ 作用。

总之，我们有两组不同的偏微分方程，它们的解为 $ρ_{l} :$ 提供了一个最高权向量，并因此确定了不可约表示。

L_{+} f = 0, L_{3} f = l f

它们是一阶方程，其中第一个使用了复化以及类似柯西–黎曼方程的方法，并且

L^{2} f = l (l + 1) f, L_{3} f = l f

其中第一个方程是二阶方程，类似于拉普拉斯方程。

第一组方程的解给出第二组方程的解，这一点是显然的。更难证明的是，第二组方程的解给出第一组方程的解。解空间为

L^{2} f = l (l + 1) f

对于 $l$ 为非负整数，如我们所见，包含 $2 l + 1$ 维向量空间，其元素为 $Y_{l}^{m} (θ, ϕ)$ 的线性组合（不存在其他解，尽管我们不会证明这一点）。由于 $S O (3)$ 对函数的作用与算符 $L^{2}$ 对易，这个 $2 l + 1$ 维空间将提供一个表示，即自旋 $l$ 的不可约表示。

在函数上的 $ρ$ 表示中的二阶微分算符 $L^{2}$ 可以显式计算，它是

L^{2} = L_{1}^{2} + L_{2}^{2} + L_{3}^{2} = (i (sin ϕ \frac{\partial}{\partial θ} + cot θ cos ϕ \frac{\partial}{\partial ϕ}))^{2} + (i (- cos ϕ \frac{\partial}{\partial θ} + cot θ sin ϕ \frac{\partial}{\partial ϕ}))^{2} + (- i \frac{\partial}{\partial ϕ})^{2} = - (\frac{1}{s i n θ} \frac{\partial}{\partial θ} (sin θ \frac{\partial}{\partial θ}) + \frac{1}{s i n ^{2} θ} \frac{\partial ^{2}}{\partial ϕ ^{2}}) (8.4)

我们将在第21章中再次遇到这个算符，作为 $R^{3}$ 上拉普拉斯算符的角向部分。

对于群 $S U (2)$ ，我们也可以将不可约表示视为 $C^{2}$ 上函数的微分方程的解空间。在这种情况下，微分方程的观点远没有那么有用，因为我们所寻找的解只是齐次多项式，而齐次多项式用纯代数方法研究更为容易。

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

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