19.1 量子自由粒子与 E(2) 的表示

19.1 量子自由粒子与 E(2) 的表示

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为简单起见，我们将从两个空间维数的情形开始。回顾第18章，欧氏群$E(d)$是雅可比群$G^J(d)=H_{2d+1}⋊Sp(2d,\mathbf{R})$的子群。对于$d=2$的情形，平移${\mathbf{R}}^2$是海森堡群$H_5$的子群（在$q_1,q_2)$中的平移），而旋转是子群$SO(2)\subset Sp(4,\mathbf{R})$（$q_1,q_2$与$p_1,p_2)$的同时旋转）。$E(2)$的李代数是$q_1,q_2,p_1,p_2$中次数至多为二次的多项式构成的李代数${\mathfrak{g}}^J(2)$的子李代数。

更具体地说，$E(2)$ 的李代数的一个基由以下函数给出

$$l=q_1{p}_2-q_2{p}_1,p_1,p_2$$

在 $d=2$ 相空间 $M={\mathbf{R}}^4$ 上，其中 $l$ 是旋转李代数 $\mathfrak{so}(2)$ 的一个基，$p_1,p_2$ 是平移李代数 ${\mathbf{R}}^2$ 的一个基。非零李括号关系由泊松括号给出

$$\{l,p_1\}=p_2,\{l,p_2\}=-p_1$$

它们是 $SO(2)$ 在 ${\mathbf{R}}^2$ 上的旋转作用量的无穷小版本。该李代数与一个由 3 乘 3 矩阵构成的矩阵李代数之间存在同构，其由下式给出

$$l\leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),p_1\leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),p_2\leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

由于我们已将 $E(2)$ 的李代数实现为雅可比李代数 ${\mathfrak{g}}^J(2)$ 的子李代数，通过薛定谔表示 ${\Gamma }_S^{\prime }$ 进行的量子化在位置变量 $q_1,q_2$ 的函数所构成的状态空间 $\mathcal{H}$ 上提供了一个酉李代数表示。这将由以下算符给出

$${\Gamma }_S^{\prime }(p_1)=-i{P}_1=-\frac{\partial }{\partial q_1},{\Gamma }_S^{\prime }(p_2)=-i{P}_2=-\frac{\partial }{\partial q_2}\text{\hspace{1em}(19.1)}$$

和

$${\Gamma }_S^{\prime }(l)=-iL=-i(Q_1{P}_2-Q_2{P}_1)=-\left(q_1\frac{\partial }{\partial q_2}-q_2\frac{\partial }{\partial q_1}\right)\text{\hspace{1em}(19.2)}$$

自由粒子的哈密顿算符为

$$H=\frac{1}{2m}(P_1^2+P_2^2)=-\frac{1}{2m}\left(\frac{{\partial }^2}{\partial q_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial q_2^2}\right)$$

而薛定谔方程的解可以通过求解特征值方程得到

$$H\psi (q_1,q_2)=-\frac{1}{2m}\left(\frac{{\partial }^2}{\partial q_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial q_2^2}\right)\psi (q_1,q_2)=E\psi (q_1,q_2)$$

算符 $L,P_1,P_2$ 与 $H$ 对易，因而在能量为 $E.$ 的波函数空间上给出 $E(2)$ 的李代数的一个表示。

$E(2)$ 的不可约表示的这种构造，在精神上类似于第 8.4 节中 $SO(3)$ 的不可约表示的构造。在那里，卡西米尔算符 $L^2$ 与 $SO(3)$ 作用可交换，并给出球面上函数的一个微分算符，其特征函数是维数为 $2l+1$ 的空间，特征值为 $l(l+1)$，其中 $l$ 为非负整数。对于 $E(2)$，二次函数 $p_1^2+p_2^2$ 与 $l,p_1,p_2$ 泊松可交换。量子化之后，

$$|\mathbf{P}{|}^2=P_1^2+P_2^2$$

是一个二阶微分算符，它与$L,P_1,P_2$对易。该算符具有无限维特征子空间，每个特征子空间都承载$E(2)$的一个不可约表示。它们由一个非负特征值刻画，该特征值具有物理意义，即2mE，其中$m,E$是一个在二维空间中运动的自由量子粒子的质量和能量。

由我们在第11章中对自由粒子的讨论可知，在动量空间中，薛定谔方程的解由下式给出：

$$\tilde{\psi }(\mathbf{p},t)=e^{-i\frac{1}{2m}|\mathbf{p}{|}^{2}t}\tilde{\psi }(\mathbf{p},0)$$

并且由分布参数化

$$\tilde{\psi }(\mathbf{p},0)\equiv \tilde{\psi }(\mathbf{p})$$

在${\mathbf{R}}^2$上。当……时，这些将具有明确定义的动量${\mathbf{p}}_0$

$$\tilde{\psi }(\mathbf{p})=\delta (\mathbf{p}-{\mathbf{p}}_0)$$

位置空间波函数可由傅里叶反演公式恢复

$$\psi (\mathbf{q},t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{{\mathbf{R}}^2}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}}\tilde{\psi }(\mathbf{p},t)d^2\mathbf{p}$$

因为在动量空间表示中，动量算符是乘法算符

$$\mathbf{P}\tilde{\psi }(\mathbf{p})=\mathbf{p}\tilde{\psi }(\mathbf{p})$$

哈密顿算子的一个特征函数，其特征值为$E$，将满足

$$\left(\frac{|\mathbf{p}{|}^2}{2m}-E\right)\tilde{\psi }(\mathbf{p})=0$$

$\tilde{\psi }(\mathbf{p})$ 只有在 $\begin{array}{r}E=\frac{|\mathbf{p}{|}^2}{2m}\end{array}$ 时才能非零，因此能量为 $E$ 的自由粒子解将由支集在该圆上的分布来参数化

$$|\mathbf{p}{|}^2=2mE$$

图19.1：通过动量空间中圆周上的分布，参数化薛定谔方程的自由粒子解。

转到极坐标 $\mathbf{p}=(p\cos \theta ,p\sin \theta )$ 时，此类解由形式为 $\dot{\psi }(\mathbf{p})$ 的分布给出

$$\tilde{\psi }(\mathbf{p})={\tilde{\psi }}_E(\theta )\delta (p^2-2mE)$$

依赖于两个变量$\theta ,p.$。为了将这个狄拉克函数表示为更有用的形式，回顾导致方程11.9的讨论，并注意对于$p\approx \sqrt{2mE}$有线性近似

$$p^2-2mE\approx 2\sqrt{2mE}(p-\sqrt{2mE})$$

因此，分布相等

$$\delta (p^2-2mE)=\frac{1}{2\sqrt{2mE}}\delta (p-\sqrt{2mE})$$

在一维情形（见方程 11.10）中，我们发现能量为 $E$ 的解空间由两个复数参数化，对应于两个可能的动量 $\pm \sqrt{2mE}$。在此二维情形中，这类解的空间将是无限维的，由圆上的分布 ${\tilde{\psi }}_E(\mathbf{\theta })$ 参数化。

正是这个在半径为 $\sqrt{2mE}$ 的圆上的分布空间 ${\tilde{\psi }}_E(\mathbf{\theta })$，将给出群 $E(2)$ 的一个无限维表示，而且这个表示最终是不可约的，尽管我们在此不会证明这一点。与 ${\tilde{\psi }}_E(\mathbf{\theta })$ 对应的位置空间波函数将是

$$\begin{array}{rl}\psi (\mathbf{q})& =\frac{1}{2\pi }\iint e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}}{\tilde{\psi }}_E(\theta )\delta (p^2-2mE)pdpd\theta \\ & =\frac{1}{2\pi }\iint e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}}{\tilde{\psi }}_E(\theta )\frac{1}{2\sqrt{2mE}}\delta (p-\sqrt{2mE})pdpd\theta \\ & =\frac{1}{4\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{i\sqrt{2mE}(q_1\cos \theta +q_2\sin \theta )}{\tilde{\psi }}_E(\theta )d\theta \end{array}$$

在 $\theta$ 中行为简单的函数 ${\tilde{\psi }}_E(\mathbf{\theta })$ 将对应于在位置空间中行为更复杂的波函数。例如，取 $\begin{array}{r}{\tilde{\psi }}_E(\theta )=\end{array}$ $e^{-in\theta }$，可以发现沿 $q_2$ 方向的波函数由下式给出

$$\begin{array}{rl}\psi (0,q)& =\frac{1}{4\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{i\sqrt{2mE}(q\sin \theta )}{e}^{-in\theta }d\theta \\ & =\frac{1}{2}{J}_n(\sqrt{2mE}q)\end{array}$$

其中 $J_n$ 是第 $n$ 个贝塞尔函数。

方程19.1和19.2给出了$E(2)$的李代数在波函数$\psi (\mathbf{q})$上的表示。该李代数在${\tilde{\psi }}_E(\mathbf{\theta })$上的表示由傅里叶变换给出，我们将其记作${\tilde{\Gamma }}_S^{\prime }$。利用傅里叶变换的公式，我们发现

$${\tilde{\Gamma }}_S^{\prime }(p_1)=-\frac{\tilde{\partial }}{\partial q_1}=-i{p}_1=-i\sqrt{2mE}\cos \theta$$ $${\tilde{\Gamma }}_S^{\prime }(p_2)=-\frac{\tilde{\partial }}{\partial q_2}=-i{p}_2=-i\sqrt{2mE}\sin \theta$$

是乘法算符，并且对 19.2 取傅里叶变换得到微分算符

$$\begin{array}{rl}{\tilde{\Gamma }}_S^{\prime }(l)& =-\left(p_1\frac{\partial }{\partial p_2}-p_2\frac{\partial }{\partial p_1}\right)\\ & =-\frac{\partial }{\partial \theta }\end{array}$$

（利用分部积分证明 $\begin{array}{r}{q}_j=i\frac{\partial }{\partial p_j}\end{array}$，从而得到第一个等式，然后对函数 $f(p_1(\theta ),p_2(\theta ))$ 使用链式法则得到第二个等式）。

这种从薛定谔表示出发构造$E(2)$的表示的方法，与从$E(2)$在位形空间上的作用出发并取其在${\mathbf{R}}^2$上的函数（即波函数）上的诱导作用所得的结果相同。为看出这一点，注意$E(2)$有元素$(\mathbf{a},R(\varphi ))$，它可以写成乘积$(\mathbf{a},R(\varphi ))=(\mathbf{a},1)(0,R(\varphi ))$，或者用矩阵表示

$$\left(\begin{array}{ccc}\cos \varphi & -\sin \varphi & a_1\\ \sin \varphi & \cos \varphi & a_2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& a_1\\ 0& 1& a_2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\cos \varphi & -\sin \varphi & 0\\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

该群具有一个酉表示

$$(\mathbf{a},R(\varphi ))\to u(\mathbf{a},R(\varphi ))$$

在位置空间波函数 $\psi (\mathbf{q})$ 上，由 $E(2)$ 在位置空间 $\overline{{\mathbf{R}}^2}$ 上的作用对函数诱导的作用给出

$$\begin{array}{rl}u(\mathbf{a},R(\varphi ))\psi (\mathbf{q})& =\psi ((\mathbf{a},R(\varphi ){)}^{-1}\cdot \mathbf{q})\\ & ==\psi ((-R(-\varphi )\mathbf{a},R(-\varphi ))\cdot \mathbf{q})\\ & =\psi (R(-\varphi )(\mathbf{q}-\mathbf{a}))\end{array}$$

$E(2)$ 的这个表示与 Jacobi 李代数 ${\mathfrak{g}}^J(2)$ 的 Schr¨odinger 表示 ${\Gamma }_S^{\prime }$ 的指数化版本相同，并限制在 $E(2)$ 的李代数上。这可以通过将平移的作用视为李代数表示算符 ${\Gamma }_S^{\prime }(p_j)=-i{P}_j$ 的指数来看出。

$$u(\mathbf{a},1)\psi (\mathbf{q})=e^{-i(a_1{P}_1+a_2{P}_2)}\psi (\mathbf{q})=\psi (\mathbf{q}-\mathbf{a})$$

而旋转的作用则为${\Gamma }_S^{\prime }(l)=-iL$的指数

$$u(0,R(\varphi ))\psi (\mathbf{q})=e^{-i\varphi L}\psi (\mathbf{q})=\psi (R(-\varphi )\mathbf{q})$$

这个表示也有一个傅里叶变换后的版本$\tilde{u}$，其中平移现在通过${\psi }_E$上的乘法算符作用。

$$\tilde{u}(\mathbf{a},1){\tilde{\psi }}_E(\theta )=e^{-i(\mathbf{a}\cdot \mathbf{p})}{\tilde{\psi }}_E(\theta )=e^{-i\sqrt{2mE}(a_1\cos \theta +a_2\sin \theta )}{\tilde{\psi }}_E(\theta )\text{\hspace{1em}(19.3)}$$

以及通过在动量空间中旋转该圆而作用的旋转

$$\tilde{u}(0,R(\varphi )){\tilde{\psi }}_E(\theta )={\tilde{\psi }}_E(\theta -\varphi )\text{\hspace{1em}(19.4)}$$

尽管我们在此不予证明，但以这种方式构造的表示本质上给出了 $E(2)$ 的全部酉不可约表示，由一个实数 $E>0$ 参数化。仅有的其他表示是那些平移作用平凡的表示，对应于 $E=0$，其中 $SO(2)$ 作为不可约表示作用。我们已经看到，这样的 $SO(2)$ 表示是一维的，并由一个整数即权来刻画。于是我们得到另一类 $E(2)$ 不可约表示，由一个整数标记，但它们只是 $C$ 上的一维表示。

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