21.1 中心势场中的量子粒子

21.1 中心势场中的量子粒子

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在经典物理学中，要描述的不是自由粒子，而是受到某种力的粒子，只需在能量表达式（哈密顿算子）中的动能项上添加一个“势能”项。在一维情况下，对于仅依赖于位置的势能，有

$$h=\frac{p^2}{2m}+V(q)$$

对于某个函数 $V(q)$。在三维的物理情形中，这将是

$$h=\frac{1}{2m}(p_1^2+p_2^2+p_3^2)+V(q_1,q_2,q_3)$$

量子化并使用薛定谔表示，哈密顿算子

对于在势场$V(q_1,q_2,q_3)$中运动的粒子，其算符将为

$$\begin{array}{rl}H& =\frac{1}{2m}(P_1^2+P_2^2+P_3^3)+V(Q_1,Q_2,Q_3)\\ & =-\frac{{\hslash }^2}{2m}\left(\frac{{\partial }^2}{\partial q_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial q_2^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial q_3^2}\right)+V(q_1,q_2,q_3)\\ & =-\frac{{\hslash }^2}{2m}\Delta +V(q_1,q_2,q_3)\end{array}$$

我们将关注所谓的“中心势”，即仅作为$q_1^2+q_2^2+q_3^2$的函数的势函数，因而只依赖于到原点的径向距离$r,$。对于这样的$V$，哈密顿算子中的两项都将是$SO(3)$不变的，而$H$的特征子空间将是$SO(3)$的表示。

利用第8章中导出的球坐标下角动量算子的表达式（包括关于卡西米尔算子$L^2)$的方程8.4），可以证明拉普拉斯算子在球坐标下具有以下表达式

$$\Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial }{\partial r}-\frac{1}{r^2}{L}^2$$

卡西米尔算符 $L^2$ 在维数为 $2l+1$ 的不可约表示（整数自旋 $l$）上具有特征值 $l(l+1)$。$\mathrm{So},$ 限制到这样的不可约表示上，我们有

$$\Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial }{\partial r}-\frac{l(l+1)}{r^2}$$

为求解薛定谔方程，我们要找出$H$的本征函数。能量$E$的本征函数空间将是$SO(3)$的不可约表示之和，其中$SO(3)$作用于波函数的角坐标，而保持径向坐标不变。为找出哈密顿算子t2的本征函数

$$H=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\Delta +V(r)$$

我们可以首先寻找函数 $g_{lE}(r)$，它依赖于 $l=0,1,2,...$，以及能量特征值 $E_{:}$，并且满足

$$\left(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\left(\frac{d^2}{d{r}^2}+\frac{2}{r}\frac{d}{dr}-\frac{l(l+1)}{r^2}\right)+V(r)\right)g_{lE}(r)=E{g}_{lE}(r)$$

转向角坐标，我们在第8章已经看到，$SO(3)$在角坐标函数上的表示可以显式地用球谐函数$Y_l^m(\theta ,\varphi )$来表达，而$L^2$作用在其上的特征值为$l(l+1)$。对于每个解$g_{lE}(r)$，我们将有特征值方程

$$H{g}_{lE}(r)Y_l^m(\theta ,\varphi )=E{g}_{lE}(r)Y_l^m(\theta ,\varphi )$$

并且

$$\psi (r,\theta ,\varphi )=g_{lE}(r)Y_l^m(\theta ,\varphi )$$

将张成 a 个 $2l+1$ 维的（因为 $m=-l,-l+1,\dots ,l-1,l)$ 是 $H$ 的对应于特征值 $E.$ 的能量本征函数空间

对于一般的势函数 $V(r)$ ，特征值 $E$ 及相应函数 $g_{lE}(r)$ 的精确解无法以闭形式找到。我们能够找到此类解的一个特例是三维谐振子，其中 $\begin{array}{r}V(r)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{r}^2\end{array}$ 。不过，利用将在第22章讨论的产生和湮灭算符技术，这些解要容易求得得多。

另一个众所周知且在物理上非常重要的此类情形是 $\mathrm{a}\frac{1}{r}$ 势的情形，称为库仑势。这描述了一个轻的带电粒子在一个重得多的带电粒子的电场所产生的势中运动，这一情形与氢原子的情形非常接近。在这种情况下，我们有 2

$$V=-\frac{e^2}{r}$$

其中e是电子的电荷，因此我们在寻找以下方程的解

$$\left(\frac{-{\hslash }^2}{2m}\left(\frac{d^2}{d{r}^2}+\frac{2}{r}\frac{d}{dr}-\frac{l(l+1)}{r^2}\right)-\frac{e^2}{r}\right)g_{lE}(r)=E{g}_{lE}(r)\text{\hspace{1em}(21.1)}$$

由于在函数 $f(r)$ 上

$$\frac{d^2}{d{r}^2}(rf)=r(\frac{d^2}{d{r}^2}+\frac{2}{r}\frac{d}{dr})f$$

将方程21.1的两边乘以$r$，得到

$$\left(\frac{-{\hslash }^2}{2m}\left(\frac{d^2}{d{r}^2}-\frac{l(l+1)}{r^2}\right)-\frac{e^2}{r}\right)r{g}_{lE}(r)=Er{g}_{lE}(r)$$

该方程的解可通过大多数量子力学教材中描述的一个相当精细的过程求得，该过程涉及寻找幂级数解。对于$E\ge 0$，存在描述散射现象的非归一化解，我们在此不予研究。对于$E<0$，解对应于一个整数$n=1,2,3,...,$，且满足$n\ge l+1$。因此，对于每个$n$，我们得到$n$个解，其中$l=0,1,2,\dots ,n-1$，且所有这些解都具有相同的能量。

$$E_n=-\frac{m{e}^4}{2{\hslash }^2{n}^2}$$

不同能量本征态的图如下所示：

图 21.1：库仑势中的能量本征态。

能量值的简并使人猜想，问题中存在某个与哈密顿算子对易的额外群作用。 若如此， 能量本征函数的特征子空间将按某个比SO(3)更大的群的不可约表示出现。 若限制到该子群时，较大群的表示是可约的，则 $SO(3)$ 子群， 给出 $n$ 的副本 $SO(3)$ 自旋的表示 $l$ , 这就解释了此处观察到的模式。 在下一节中我们将看到情况正是如此， 并在那里使用表示论推导上述公式，用于 $E_n$

我们不会展示如何显式求出函数$g_{l{E}_n}(r)$的过程，而只是引用结果。设定

$$a_0=\frac{{\hslash }^2}{m{e}^2}$$

（其具有长度的量纲，被称为“玻尔半径”），并定义

$g_{nl}(r)=g_{l{E}_n}(r)$ 其解具有以下形式

$$g_{nl}(r)\propto e^{-\frac{r}{n{a}_0}}{\left(\frac{2r}{n{a}_0}\right)}^l{L}_{n+l}^{2l+1}\left(\frac{2r}{n{a}_0}\right)$$

其中 $L_{n+l}^{2l+1}$ 是某些称为关联拉盖尔多项式的多项式。

因此，我们最终找到了能量本征函数

$${\psi }_{nlm}(r,\theta ,\varphi )=g_{nl}(r)Y_l^m(\theta ,\varphi )$$

对于

$$n=1,2,\dots$$ $$l=0,1,\dots ,n-1$$ $$m=-l,-l+1,\dots ,l-1,l$$

其中前几个经过适当归一化后，是

$${\psi }_{100}=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}{e}^{-\frac{r}{a_0}}$$

（称为1S态，${}^{66}{S}^9$ 意味着 $l=0)$

$${\psi }_{200}=\frac{1}{\sqrt{8\pi a_0^3}}\left(1-\frac{r}{2a_0}\right)e^{-\frac{r}{2a_0}}$$

（称为2S态），以及三维的$l=1$（称为$2P,{}^{66}{P}^{\prime }$，意指具有基元素的$l=1)$态

$${\psi }_{211}=-\frac{1}{8\sqrt{\pi a_0^3}}\frac{r}{a_0}{e}^{-\frac{r}{2a_0}}\sin \theta e^{i\varphi }$$ $${\psi }_{210}=-\frac{1}{4\sqrt{2\pi a_0^3}}\frac{r}{a_0}{e}^{-\frac{r}{2a_0}}\cos \theta$$ $${\psi }_{21-1}=\frac{1}{8\sqrt{\pi a_0^3}}\frac{r}{a_0}{e}^{-\frac{r}{2a_0}}\sin \theta e^{-i\varphi }$$

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