36.1 多粒子量子系统作为谐振子的量子

36.1 多粒子量子系统作为谐振子的量子

事实证明，全同粒子的量子系统最好通过将这类粒子视为谐振子系统的量子来理解。我们将从玻色子情形开始，之后再考虑费米子情形，后者使用费米子谐振子系统。

36.1.1 玻色子与量子谐振子

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 特征值

量子力学的一个基本假设（见第9章）是：给定描述一个玻色性单粒子的态空间${\mathcal{H}}_1$，由$N$个全同的这种粒子组成的集合具有态空间

$$S^N({\mathcal{H}}_1)=(\underset{N-times}{\underbrace{{\mathcal{H}}_1\otimes \cdots \otimes {\mathcal{H}}_1}}{)}^S$$

其中上标 $S$ 表示我们取张量积中在群 $S_N$ 通过置换 $N$ 个因子的作用下不变的元素。为了描述包含任意数量全同粒子的叠加态，应当取这些

$$S^{\ast }({\mathcal{H}}_1)=\mathbf{C}\oplus {\mathcal{H}}_1\oplus ({\mathcal{H}}_1\otimes {\mathcal{H}}_1{)}^S\oplus \dots \text{\hspace{1em}(36.1)}$$

张量积的同一对称部分出现在相空间 $M={\mathbf{R}}^{2\bar{d}}$ 的量子态空间的 Bargmann-Fock 构造中，其中 Fock 空间 ${\mathcal{F}}_d$ 可以用三种不同但同构的方式描述。注意，我们在这里通常不会刻意区分 ${\bar{\mathcal{F}}}_d^{fin}$（有限量子数态的叠加）与其完备化 ${\mathcal{F}}_d$（包含无限量子数态）。${\mathcal{F}}_d$ 的三种不同描述是：

${\mathcal{F}}_d$ 具有正交标准基

$$|n_1,n_2,\dots ,n_d⟩$$

由数算符 $N_j$ 的特征值 $n_j$ 标记，其中 $j=1,\cdots ,d$ 此处 $n_j\in \{0,1,2,\cdot \cdot \cdot \}$ 且

$$n=\sum _{j=1}^d{n}_j$$

是有限的。这被称为 ${\mathcal{F}}_d$ 的“占据数”基。在此基中，湮灭算符和产生算符是

$$\begin{array}{rl}{a}_j|n_1,n_2,\dots ,n_d⟩& =\sqrt{n_j}|n_1,n_2,\dots ,n_j-1,\dots ,n_d⟩\\ a_j^{†}|n_1,n_2,\dots ,n_d⟩& =\sqrt{n_j+1}|n_1,n_2,\dots ,n_j+1,\dots ,n_d⟩\end{array}$$

${\mathcal{F}}_d$ 是 $d$ 个复变量 $z_j.$ 的多项式 $\mathbf{C}[z_1,z_2,\cdots ,z_d]$ 构成的空间，其内积为方程 22.4 的 $d$ 维版本，正交标准基元素对应于占据数基，即单项式 1

$$\frac{1}{\sqrt{n_1!\cdots n_d!}}{z}_1^{n_1}{z}_2^{n_2}\dots z_d^{n_d}\text{\hspace{1em}(36.2)}$$

这里，湮灭算符和产生算符是

$$a_j=\frac{\partial }{\partial z_j},a_j^{†}=z_j$$

${\mathcal{F}}_d$ 是代数

$$S^{\ast }({\mathcal{M}}_J^{+})=\mathbf{C}\oplus {\mathcal{M}}_J^{+}\oplus ({\mathcal{M}}_J^{+}\otimes {\mathcal{M}}_J^{+}{)}^S\oplus \dots \text{\hspace{1em}(36.3)}$$

以由方程 9.3 给出的对称化张量积作为乘积。这里 ${\mathcal{M}}_J^{+}$ 是 $M$ 上复线性函数构成的空间，这些函数是复结构 $J.$ 的、特征值为 +$i$ 的特征向量。利用单项式与对称张量积之间的同构（在单变量上由方程 9.4 给出），单项式 36.2 构成该空间的一个正交标准基。作用于 $S^{\ast }({\mathcal{M}}_J^{+})$ 的湮灭算符与产生算符的表达式可利用此同构得到，即利用它们作为导数算符和乘法算符在单项式上的作用。

对于${\mathcal{F}}_d.$的每一种描述，上述正交标准基元素的选择提供了一个内积，其中湮灭算符与产生算符$a_j,a_j^{†}$互为伴随，并满足正则对易关系。

$$[a_j,a_k^{†}]={\delta }_{jk}$$

我们将把基态 $|n_1,n_2,\cdots ,n_d⟩$ 描述为包含 $n_1$ 个类型 1 的量子、$n_2$ 个类型 2 的量子等，以及总量子数 $n$。

比较36.1与36.3，我们看到，如果${\mathcal{H}}_1={\mathcal{M}}_J^{+}$，则它们是相同的态空间。这种通过取经典相空间$M$的对偶为波动方程的解空间、然后用Bargmann-Fock方法量子化来构造多粒子态的方法，其中${\mathcal{H}}_1={\mathcal{M}}_J^{+}$是单粒子的量子态空间，有时被称为“二次量子化”。选取${\mathcal{H}}_1$的一个（复）基，对每个基元素都得到一个独立的量子谐振子，相应的占据数就是由该基元素标记的“量子”的数目。这种形式体系自动蕴含了量子的不可区分性以及量子交换下的对称性，因为态的描述中只出现量子的数目。在通常的用量子力学通过张量积描述多个全同粒子的方法中所需的单独对称性公设，在这里不再需要。

在第 43 章中我们将看到，在相对论性标量量子场论的情形下，对偶相空间 $M$ 将是一个称为克莱因-戈尔登方程的方程之实解空间。Bargmann-Fock 量子化所需的 $J$ 将由正能解与负能解的分解确定，而 ${\mathcal{H}}_1={\mathcal{M}}_J^{+}$ 将是一个描述单个相对论性粒子的态空间。

在本章中，我们将考虑一个非相对论理论，其波动方程为薛定谔方程。这里，复解的对偶相空间 $M$ 已经是一个复向量空间，我们可以使用 26.4 节中描述的巴格曼-福克量子化版本，因此 ${\mathcal{H}}_1=\mathcal{M}$。“二次量子化”这一术语是恰当的，因为我们把量子态空间 a 作为（对偶）经典相空间，并对其进行量子化。

36.1.2 费米子与费米振子

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对于费米子的情形，若${\mathcal{H}}_1$是单粒子的态空间，则任意数量的粒子将由态空间描述

$${\Lambda }^{\ast }({\mathcal{H}}_1)=\mathbf{C}\oplus {\mathcal{H}}_1\oplus ({\mathcal{H}}_1\otimes {\mathcal{H}}_1{)}^A\oplus \dots$$

其中（与玻色子情形不同），若${\mathcal{H}}_1$是有限维的，则这是一个有限和。可以像玻色子情形那样进行，只是用费米子振子态空间${\mathcal{H}}_F={\mathcal{F}}_d^{+}$代替${\mathcal{F}}_d$。这同样有三种同构的描述：

${\mathcal{F}}_d^{+}$ 具有一个正交标准基

$$|n_1,n_2,\dots ,n_d⟩$$

由数算符 $N_j$ 的特征值标记，其中 $j=1,\cdots ,d$ 满足 $n_j\in \{0,1\}$。这被称为 ${\mathcal{F}}_d^{+}$ 的“占据数”基。

${\mathcal{F}}_d^{+}$ 是 $d$ 个反交换复变量的多项式所构成的格拉斯曼代数 $\mathbf{C}[{\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_d]$（见 30.1 节），其正交标准基元素对应于占据数基，即各单项式

$${\theta }_1^{n_1}{\theta }_2^{n_2}\dots {\theta }_d^{n_d}\text{\hspace{1em}(36.4)}$$

${\mathcal{F}}_d^{+}$ 是反对称多重线性形式的代数

$${\Lambda }^{\ast }({\mathcal{V}}_J^{+})=\mathbf{C}\oplus {\mathcal{V}}_J^{+}\oplus ({\mathcal{V}}_J^{+}\otimes {\mathcal{V}}_J^{+}{)}^A\oplus \dots$$

在第9.6节中讨论，其乘积为楔积（见方程$9.6)$。这里${\mathcal{V}}_J^{+}$是向量空间$V={\mathbf{R}}^{2d}$（伪经典相空间）上复线性函数构成的空间，即复结构$J$的特征值为+$i$的特征向量。

对于 ${\mathcal{F}}_d^{+}$ 的每一种描述，我们都有可取为正交归一的基元素，从而在 ${\mathcal{F}}_d^{+}$ 上给出一个内积。我们还有一组 $d$ 个湮灭算符和产生算符 $a_{Fj},a_{F_j^{†}}$，它们互为伴随，并满足正则反交换关系。

$$[a_{Fj},a_{Fk}^{†}{]}_{+}={\delta }_{jk}$$

我们将把基态 $|n_1,n_2,\cdots ,n_d⟩$ 描述为包含 $n_1$ 个类型 1 的量子、$n_2$ 个类型 2 的量子等，以及总量子数

$$n=\sum _{j=1}^d{n}_j$$

与玻色子情形类似，可以利用 ${\mathcal{F}}_d^{+}$ 构造多粒子费米子理论，方法是取 ${\mathcal{V}}_J^{+}={\mathcal{H}}_1$ 这是二次量子化的费米子版本，其多粒子态空间由某个波动方程解构成的伪经典对偶相空间 $V$ 的量子化给出。该形式体系自动蕴含泡利原理（每个态至多一个量子），以及多费米子量子态的反对称性；而在我们早先将多粒子态描述为张量积时，反对称性是一个单独的公设。

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来源版本：2025-10-20

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