11 傅里叶分析与自由粒子

自由粒子的量子理论不仅需要状态空间 $H,$ ，还需要 $H$ 上的一个内积，该内积应当是平移不变的，以使平移作为酉变换作用。这样的内积将由积分给出

⟨ ψ_{1}, ψ_{2} ⟩ = C \int_{R^{3}} \overline{ψ_{1} (q)} ψ_{2} (q) d^{3} q

对于归一化常数 $C,$ 的某种选择，通常取为 $C = 1$ 。 $H$ 将是 $R^{3}$ 上平方可积复值函数的空间 $L^{2} (R^{3})$

然而，如果我们试图计算某个动量本征态 |k⟩ 的范数平方，就会出现一个问题。我们发现

⟨ k ∣ k ⟩ = C \int_{R^{3}} (e^{- i k \cdot q}) (e^{i k \cdot q}) d^{3} q = C \int_{R^{3}} 1 d^{3} q = \infty

因此，不存在使这些态具有有限范数的 $C$ 值，它们不在预期的态空间中。有限维谱定理 4.1 保证，给定一个自伴算符，我们可以找到其特征向量的正交标准基，这一定理将不再成立。其他问题也会出现，因为我们的动量算符 $P_{j}$ 可能将 $H$ 中的态变为不在 $H (i.e.$ 2 中的态，即非平方可积的态。

我们将考虑处理这些问题的两种不同方式，为简单起见，只处理一个空间维数的情形。在第一种方式中，我们施加周期边界条件，从而有效地将空间变成一个有限长度的圆，而将圆的尺寸趋于无穷大的问题留待以后处理。平移群作用于是变成绕该圆的 $U (1)$ 群旋转作用。它作用于态空间 $H = L^{2} (S^{1})$ ，这一情形可以用傅里叶级数理论来分析。动量本征态现在位于 $H$ 中，并由一个整数标记。

尽管这处理了特征向量不在 $H,$ 中的问题，却破坏了自由粒子量子系统的一个重要几何结构，因为它对位置（取值于圆）和动量（取值于整数）的处理方式截然不同。在后续章节中我们将看到，像自由粒子这样的物理系统最好通过将位置和动量视为单一向量空间上的实值坐标来研究，该空间称为相空间。为此，需要一种将动量视为与位置变量同等地位的实值变量的形式体系。

傅里叶分析理论提供了所需的形式体系，其中傅里叶变换将依赖于位置的波函数构成的状态空间 $L^{2} (R)$ 与一个使用依赖于动量的波函数的酉等价空间相互交换。动量算符 $P$ 的定义域问题及其本征函数不在 $L^{2} (R)$ 中的问题仍需处理。这可以通过引入

• 一个由充分良态函数构成的、使 $P$ 有良好定义的函数空间 $S (R) \subset L^{2} (R)$ ，以及

• 一个“广义函数”空间 $S^{'} (R) \supset L^{2} (R)$ ，也称为分布，它将包含 $P .$ 的特征向量

薛定谔方程的解可以在三种

S (R) \subset L^{2} (R) \subset S^{'} (R)

每个语境都将被傅里叶变换保持，并允许人们将位置变量和动量变量同等对待。

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来源版本：2025-10-20

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