42.1 庞加莱e群及其李代数

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定义（庞加莱e群）

庞加莱e群是半直积
$P = R^{4} ⋊ S O (3, 1)$

带双覆盖

\tilde{P} = R^{4} ⋊ S L (2, C)

$S O (3, 1)$ 或 $S L (2, C)$ 在 $R^{4}$ 上的作用，就是洛伦兹群在闵可夫斯基空间上的作用。

我们将这两个群都称为“庞加莱e群”，仅当涉及洛伦兹群的旋量表示而需要时，才意指其双重覆盖。这两个群具有相同的李代数，因此在仅涉及李代数的讨论中无需区分。群 $P$ 的元素将写成对 $(a, Λ)$ ，其中 $a \in δ R^{4}$ 和 $Λ \in S O (3, 1)$ 。群乘法为

(a_{1}, Λ_{1}) (a_{2}, Λ_{2}) = (a_{1} + Λ_{1} a_{2}, Λ_{1} Λ_{2})

李代数 Lie $P = L i e \tilde{P}$ 的维数为 10，其基为

t_{0}, t_{1}, t_{2}, t_{3}, l_{1}, l_{2}, l_{3}, k_{1}, k_{2}, k_{3}

其中前四个元素是平移群的李代数的一组基，接下来的六个元素是 so(3, 1) 的一组基， $l_{j}$ 给出空间旋转子群， $k_{j}$ 给出推动变换。我们已经知道平移子群的交换关系，该子群是交换的，因此

[t_{j}, t_{k}] = 0

我们在第 40 章已经看到， $so (3, 1)$ 的对易关系是

[l_{1}, l_{2}] = l_{3}, [l_{2}, l_{3}] = l_{1}, [l_{3}, l_{1}] = l_{2}

[k_{1}, k_{2}] = - l_{3}, [k_{3}, k_{1}] = - l_{2}, [k_{2}, k_{3}] = - l_{1}

或

[l_{j}, l_{k}] = ϵ_{j k l} l_{l}, [k_{j}, k_{k}] = - ϵ_{j k l} l_{l}

并且 $l_{j}$ 与 $k_{j}$ 之间的对易关系是

[l_{j}, k_{k}] = ϵ_{j k l} k_{l}

对应于 $k_{j}$ 在空间旋转下按向量变换这一事实。

庞加莱e群是第18章所讨论的那种半直积群，并且它可以像欧氏群 $E (3)$ 的元素可以用4乘4矩阵表示那样，用5乘5矩阵群来表示（见第19章）。将这个同构对李代数的一组基显式写出，我们有

l_{1} \leftrightarrow 000000000000010 00 - 1 00 00000 l_{2} \leftrightarrow 00000 000 - 1 0 000000100000000 l_{3} \leftrightarrow 0000000100 0 - 1 000 0000000000

k_{1} \leftrightarrow 0100010000000000000000000 k_{2} \leftrightarrow 0010000000100000000000000 k_{3} \leftrightarrow 0001000000000001000000000

t_{0} \leftrightarrow 0000000000000000000010000 t_{1} \leftrightarrow 0000000000000000000001000

t_{2} \leftrightarrow 0000000000000000000000100 t_{3} \leftrightarrow 0000000000000000000000010 (42.1)

我们可以使用这个显式矩阵表示来计算无穷小平移 $t_{j}$ 与无穷小旋转和推动变换 $(l_{j}, k_{j})$ 的对易子。 $t$ 与 $l_{j}$ 对易，并且 $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ 在旋转下按向量变换。对于旋转，人们发现

[l_{j}, t_{k}] = ϵ_{j k l} t_{l}

对于推动变换，有

[k_{j}, t_{0}] = t_{j}, [k_{j}, t_{j}] = t_{0}, [k_{j}, t_{k}] = 0 if j \neq = k, k \neq = 0 (42.2)

注意，无穷小推动变换与无穷小时间平移不对易，因此在量子化之后，推动变换将与哈密顿算子不对易。在相对论性理论中，推动变换将作用于单粒子波函数空间，在相对论量子域论中则作用于态，但它们并不是在保持能量本征态空间的意义上的对称性。

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash

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