42.2 庞加莱e群的不可约表示

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 群表示 · 不可约表示 · 希尔伯特空间 · 群在集合上的作用 · 舒尔引理

我们希望构造庞加莱e群的酉不可约表示。这些表示将由希尔伯特空间 $H_{1}$ 上的酉算符 $u (a, Λ)$ 给出，而该空间将被解释为单粒子相对论量子态空间。在类似的非相对论情形中，我们构造了 $E (3)$ （或其双覆盖 $E \sim (3))$ ）的酉不可约表示，作为

• 质量为 $m,$ 且具有固定能量 $E$ 的自由粒子的波函数空间（第19章）。这些是以下方程的解

D ψ = E ψ

其中

D = - \frac{1}{2 m} \nabla^{2}

而 $ψ$ 是单分量波函数。 $E (3)$ 通过下式作用于波函数：

ψ \to u (a, R) ψ (x) = ψ (R^{- 1} (x - a))

• 泡利-薛定谔方程“平方根”的解空间（见 34.2 节）。这些是以下方程的解

D ψ = \pm 2 m E ψ

其中

D = - i σ \cdot \nabla

而 $ψ$ 是二分量波函数。 $E (3)$ 通过下式作用于波函数：

ψ \to u (a, Ω) ψ (x) = Ω ψ (R^{- 1} (x - a))

（其中 $R$ 是双覆盖中对应于 $Ω \in S U (2)$ 的 $S O (3)$ 元素）。

在两种情形下，群作用都与微分算符对易，或者等价地有 $u D u^{- 1} = D,$ ，这确保了算符 $u (a, Ω)$ 将解映为解。

为了构造 $P,$ 的表示，我们希望将这一构造从 $R^{3}$ 推广到闵可夫斯基空间 $M^{4}$ 。为此，首先定义 $P$ 对 $n$ 分量波函数的作用，其定义为

ψ \to u (a, Λ) ψ (x) = S (Λ) ψ (Λ^{- 1} (x - a))

这就是通过将 $n$ 分量波函数等同于

(functions on M^{4}) \otimes C^{n}

并在张量积的第一个因子上使用函数上的诱导作用，在第二个因子上取 $S (Λ)$ 为洛伦兹群的 $n$ 维表示。

然后选取一个作用在 $n$ 分量波函数上的微分算符 $D$ ，它需与群作用对易，因此

u (a, Λ) D u (a, Λ)^{- 1} = D

于是 $u (a, Λ)$ 给出了波动方程解空间上 $P$ 的一个表示

D ψ = c ψ

对于某个常数 $c$ ，在某些情况下这会给出一个不可约表示。如果解空间不是不可约的，则可以使用一组额外的“辅助条件”来挑选出一个解的子空间，使得表示在该子空间上不可约。在后面的章节中，我们将考虑这种构造的几个例子，但现在将转向 $P$ 的表示的一般分类。

回忆一下，在 $E (3)$ 情形中，我们有两个卡西米尔算符：

P^{2} = P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}

和

J \cdot P

这里 $P_{j}$ 是李代数表示的表示算符，对应于沿 $j$ 方向的无穷小平移。 $J_{j}$ 是绕 $j$ 轴的无穷小旋转的算符。 $E (3)$ 的李代数对易关系确保这两个算符与 $E (3)$ 的作用对易，因此，根据舒尔引理，它们在不可约表示上作为标量作用。注意，第一个卡西米尔算符在位置空间中是微分算符，并且与 $E (3)$ 作用对易，这一事实意味着特征值方程

P^{2} ψ = c ψ

具有一个解空间，该解空间是一个 $E (3)$ 表示，并且可能是不可约的。在庞加莱e群的情形中，我们可以容易地识别：

定义（卡西米尔算符）

庞加莱e群的卡西米尔（或第一卡西米尔）算符是算符
$P^{2} = - P_{0}^{2} + P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}$

利用庞加莱e李代数对易关系进行的直接计算表明， $P^{2}$ 是一个卡西米尔算符，因为人们有

[P_{0}, P^{2}] = [P_{j}, P^{2}] = [J_{j}, P^{2}] = [K_{j}, P^{2}] = 0

对于 $j = 1, 2, 3$ 。这里 $J_{j}$ 是对应于 $l_{j}$ 的李代数表示算符，而 $K_{j}$ 是对应于 $k_{j}$ 的算符

第二个卡西米尔算符在庞加莱e情形中比在 $E (3)$ 情形中更难识别。为找到它，首先定义：

定义（泡利-卢班斯基算符）

泡利-卢班斯基算符是四分量算符
$W_{0} = - P \cdot J, W = - P_{0} J + P \times K$

通过利用对易关系，可以证明 $W_{μ}$ 的分量表现得像一个四维向量，即，

[W_{μ}, P_{ν}] = 0

而与 $J_{j}$ 和 $K_{j}$ 的交换关系，对于 $W_{μ}$ 与对于 $P_{μ}$ 是相同的。于是可以定义：

定义（第二卡西米尔算符）

庞加莱e李代数的第二卡西米尔算符是
$W^{2} = - W_{0}^{2} + W_{1}^{2} + W_{2}^{2} + W_{3}^{2}$

利用对易关系可以证明

[P_{0}, W^{2}] = [P_{j}, W^{2}] = [J_{j}, W^{2}] = [K_{j}, W^{2}] = 0

因此 $W^{2}$ 是一个卡西米尔算符。

为对庞加莱e群表示进行分类，我们有两种可用工具。我们可以使用两个卡西米尔算符 $P^{2}$ 和 $W^{2}$ ，并通过其特征值来刻画不可约表示。此外，回忆第20章的内容：半直积 $N \times K$ 的不可约表示与一对对象相关联，即对于 $α \in \hat{N}$ 的 $K$ -轨道 $O_{o}$ ，以及相应小群 $K_{α}$ 的一个不可约表示。

对于庞加莱e群， $\hat{N} = R^{4}$ 是闵可夫斯基空间平移群的特征标（一维表示）空间。元素 $α$ 由

p = (p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3})

其中 $p_{μ}$ 是能量-动量算符 $P_{μ}$ 的特征值。对于波函数上的表示，这些特征值将对应于表示空间中具有时空依赖性的元素。

e^{i (- p_{0} x_{0} + p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + p_{3} x_{3})}

给定一个不可约表示，算符 $P^{2}$ 将按标量作用

- p_{0}^{2} + p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + p_{3}^{2}

其值可为正、负或零，因此由 $m^{2}, - m^{2}, 0$ 对不同的 $m$ 给出。标量的值在轨道上处处相同，所以在能量-动量空间中，轨道将满足三个方程之一

- p_{0}^{2} + p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + p_{3}^{2} = ⎩ ⎨ ⎧ - m^{2} m^{2} 0

该表示可以通过以下两种方式之一进一步刻画：

• 按第二卡西米尔算符 $W^{2}$ 的值

• 通过稳定子群 $K_{p}$ 在动量算符的特征值为 $p .$ 的特征子空间上的表示

在轨道上的点 $p$ 处，Pauli-Lubanski 算符具有分量

W_{0} = - p \cdot J, W = - p_{0} J + p \times K

在下一章中，我们将找出可能的轨道，然后在每条轨道上选取一点 $p$ ，并考察该点处的稳定化子群 $K_{p}$ 和泡利-卢班斯基算符是什么。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

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来源版本：2025-10-20

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