44 对称性与相对论标量量子场

正如非相对论量子场的情形，自由相对论标量量子场论一开始也把运动方程解构成的无限维空间取作相空间。该相空间的量子化通过构造场算符来进行，这些场算符给出相应海森堡李代数的一个表示，所用的是巴格曼-福克构造的无限维版本。在两种情形中，运动方程都具有表示论意义：它是时空对称群的一个卡西米尔算符的特征值方程，从中挑出该群的一个不可约表示。在非相对论情形中，拉普拉斯算符$\Delta$就是卡西米尔算符，对称群是欧氏群$E(3)$，并且对固定能量得到一个不可约表示。在相对论情形中，卡西米尔算符则是拉普拉斯算符的闵可夫斯基空间版本

$$-\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}+\Delta$$

时空对称群是庞加莱e群，而卡西米尔算子的特征值是$m^2$

泊松e群作用在Klein-Gordon方程解的相空间上，并保持泊松括号不变。与有限维及非相对论量子场论情形相同的一般方法，可用于通过Heisenberg李代数表示（即由场算符给出的表示）的交织算符，得到泊松e群的一个表示。这些方法以场算符的二次组合给出泊松e群的李代数的一个表示。

不过，我们将从相空间上一个更简单的群作用情形开始，该作用来自多分量标量场的“内部对称性”，其中正交群或酉群作用在经典场取值的实或复向量空间上。对于场取值于 ${\mathbf{R}}^2$ 或 $\mathbf{C},$ 的最简单情形，人们得到带电相对论性粒子的理论，此时反粒子可与粒子区分开来（它们具有相反电荷）。

English contents

本章目录

• 44.1 内部对称性
  • 44.1.1 $SO(m)$ 对称性与实标量场
  • 44.1.2 U(1) 对称性与复标量场
• 44.2 庞加莱e对称性与标量域
  • 44.2.1 平移
  • 44.2.2 旋转
  • 44.2.3 推动变换
• 44.3 延伸阅读

上一章：43 克莱因-戈尔登方程与标量量子场

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来源版本：2025-10-20

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