44.2 庞加莱e对称性与标量域

44.2 庞加莱e对称性与标量域

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 复内积 · 李代数 · 李代数表示 · 酉表示 · 群在集合上的作用

回到单个实相对论场的情形，对偶相空间 $\mathcal{M}$ 带有庞加莱 e 群 $\mathcal{P},$ 的作用，而量子场论将伴随该群的一个酉表示，这与非相对论情形伴随欧氏群 $E(3)$ 的一个表示（见 38.3 节）十分相似。庞加莱 e 群作用于克莱因-戈尔登方程解的空间，因为它对时空函数的作用与卡西米尔算符对易

$$P^2=\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial x_3^2}$$

这个庞加莱e群对克莱因-戈尔登解的作用是通过对函数的通常作用实现的

$$\varphi \to u(a,\Lambda )\varphi =\varphi ({\Lambda }^{-1}(x-a))\text{\hspace{1em}(44.5)}$$

由闵可夫斯基空间上的群作用诱导而来。对域$\Phi (\mathbf{x})$，该作用为

$$\Phi \to u(a,\Lambda )\Phi =\Phi (\Lambda x+a)$$

量子化应给出酉算符$U(a,\Lambda )$，它们通过下式作用于场算符

$$\hat{\Phi }\to U(a,\Lambda )\hat{\Phi }(x)U(a,\Lambda {)}^{-1}=\hat{\Phi }(\Lambda x+a)\text{\hspace{1em}(44.6)}$$

$U(a,\Lambda )$ 将在量子场论态空间上给出 Poincar´e 群的酉表示，其作用由第 20 章有限维语境中讨论过的那类交织算符实现。我们希望用通常的方法构造这些算符：利用矩映射得到相空间上的二次多项式，量子化以得到李代数表示算符，然后取指数以得到 $U(a,\Lambda )$

这将要求相空间${\mathcal{H}}_1$上的辛结构是庞加莱e不变的。位置空间场上的泊松括号关系

$$\{\Phi (\mathbf{x}),\Pi ({\mathbf{x}}^{\prime })\}={\delta }^3(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }),\{\Phi (\mathbf{x}),\Phi ({\mathbf{x}}^{\prime })\}=\{\Pi (\mathbf{x}),\Pi ({\mathbf{x}}^{\prime })\}=0$$

容易看出，在空间平移和旋转的欧氏群作用下，它们是不变的，通过

$$\Phi (\mathbf{x})\to \Phi (R\mathbf{x}+\mathbf{a}),\Pi (\mathbf{x})\to \Pi (R\mathbf{x}+\mathbf{a})$$

（因为狄拉克函数是）。对于庞加莱e群的其余部分，情况就不那么简单了，因为$\Phi (\mathbf{x}),\Pi (\mathbf{x})$的定义基于对特定$t=0$超平面的选择。此外，相对论复结构$J_r$在这些坐标中的复杂形式（见方程43.15）使得难以看出它是否在庞加莱e变换下不变。

进行傅里叶变换，回忆克莱因-戈尔登方程的解可以写成（见 43.3）

$$\varphi (t,\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^4}\delta (p_0^2-{\omega }_{\mathbf{p}}^2)f(p)e^{i(-p_{0}t+\mathbf{p}\cdot \mathbf{x})}{d}^{4}p$$

因此，这些由正、负能量双曲面上的函数（实际上是分布）$f(\mathbf{p})$给出。复结构$J_r$在负能量双曲面上的函数上为+$i$，在正能量双曲面上的函数上为−$i$。Poincar´e群的作用保持$J_r,$，因为该群分别作用于负能量双曲面和正能量双曲面。它还保持厄米内积（见方程43.17和43.18），从而在${\mathcal{M}}_{J_r}^{+}={\mathcal{H}}_1$上给出酉作用。

正如第25章中的有限维情形以及38.3节中的非相对论量子场论情形，对于作用群（此处为庞加莱e群$\mathcal{P})$）李代数的每个元素$L$，我们都可以找到$A(\mathbf{p}),\overline{A}(\mathbf{p})$中的一个二次表达式（这就是矩映射${\mu }_L)$）。量子化随后给出一个相应的正规序二次算符，用算符$a^{†}(\mathbf{p}),a(\mathbf{p})$表示。

44.2.1 平移

对于时间平移，我们已经找到了哈密顿算子 $\hat{H}$，它给出域上的无穷小平移作用，由下式给出

$$\frac{\partial \hat{\Phi }}{\partial t}=[\hat{\Phi },-i\hat{H}]$$

域算符在时间平移下的行为由算符的标准海森堡绘景关系给出

$$\hat{\Phi }(t+a_0)=e^{i{a}_0\hat{H}}\hat{\Phi }(t)e^{-i{a}_0\hat{H}}$$

对于空间平移在 ${\mathcal{H}}_1$ 上的无穷小作用，动量算符是通常的

$$\mathbf{P}=-i\nabla$$

哈密顿算子的约定是相反的符号$\begin{array}{r}H=i\frac{\partial }{\partial t})\end{array}$。在域上，无穷小作用量将由一个算符$\hat{\mathbf{P}}$给出，该算符满足对易关系

$$[-i\hat{\mathbf{P}},\hat{\mathbf{\Phi }}]=\nabla \hat{\mathbf{\Phi }}$$

（关于非相对论情形，见 38.3 节的讨论和方程 38.10）。有限空间平移 a 将按如下方式作用：

$$\hat{\Phi }(\mathbf{x})\to e^{-i\mathbf{a}\cdot \hat{\mathbf{P}}}\hat{\Phi }(\mathbf{x})e^{i\mathbf{a}\cdot \hat{\mathbf{P}}}=\hat{\Phi }(\mathbf{x}+\mathbf{a})$$

所需的算符是二次算符

$$\hat{\mathbf{P}}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}\mathbf{p}{a}^{†}(\mathbf{p})a(\mathbf{p})d^3\mathbf{p}\text{\hspace{1em}(44.7)}$$

就域而言，它由下式给出

$$\hat{\mathbf{P}}=-{\int }_{{\mathbf{R}}^3}:\hat{\Pi }(\mathbf{x})\nabla \hat{\Phi }(\mathbf{x}):d^3\mathbf{x}$$

可以看出，通过证明它满足与 $\hat{\Phi }.$ 的对易关系 38.10，并利用 $\hat{\Phi }$ 与 $\pi$ 的正则对易关系，即可说明这是正确的算符。

注意，这里同样可以使用矩映射方法来求动量算符的表达式。这与 38.3 节的计算类似，尽管需要跟踪一个由基本泊松括号关系为 −$i$ 这一事实所引起的因子。

$$\{\Phi (\mathbf{x}),\Pi (\mathbf{x})\}={\delta }^3(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })\mathrm{versus}\{\Psi (\mathbf{x}),\overline{\Psi }(\mathbf{x})\}=i{\delta }^3(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })$$

44.2.2 旋转

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 酉表示 · 不可约表示

我们可以使用与平移相同的方法，在$M$上找到对应于旋转群李代数的坐标二次组合，这些组合在量子化后将给出角动量算子。对Klein-Gordon解的作用将由这些算符给出

$$\begin{array}{rl}\mathbf{L}=\mathbf{X}\times \mathbf{P}=\mathbf{x}\times -i\nabla & \text{position space}\\ =-i{\nabla }_p\times \mathbf{p}& \text{momentum space}\end{array}$$

相应的二次算符将为

$$\begin{array}{rl}\hat{\mathbf{L}}& =-{\int }_{{\mathbf{R}}^3}:\hat{\pi }(\mathbf{x})(\mathbf{x}\times \nabla )\hat{\varphi }(\mathbf{x}):d^3\mathbf{x}\\ & ={\int }_{{\mathbf{R}}^3}{a}^{†}(\mathbf{p})(\mathbf{p}\times i{\nabla }_{\mathbf{p}})a(\mathbf{p})d^3\mathbf{p}\end{array}\text{\hspace{1em}(44.8)}$$

同样地，这可以通过矩映射方法找到，尽管我们在此不展开计算。利用正则对易关系可以验证，该算符的分量满足 so(3) 对易关系。

$$[-i{\hat{L}}_j,-i{\hat{L}}_k]={ϵ}_{jkl}(-i{\hat{L}}_l)\text{\hspace{1em}(44.9)}$$

并且，与动量算符$\hat{P},$一起，它们$\mathrm{give}$多粒子态空间上欧氏群$E(3)$的一个李代数表示。

注意，算符 $\hat{\mathbf{L}}$ 与哈密顿算子 $\hat{H}$ 对易，因此将作用于状态空间的能量本征态，从而在这些能量特征子空间上给出群 SO(3) 的酉表示。能量本征态将由它们所属的 $SO(3)$ 的不可约表示来表征，正如自旋 $s=0,s=1,..$ 态那样。

44.2.3 推动变换

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 群在集合上的作用 · 李括号

从物理理论的一个对称性对应于该理论上与时间平移对易的群作用的观点来看，洛伦兹推动变换不是对称性，因为它们不与时间平移对易（见方程 42.2 中的对易子）。然而从拉格朗日观点来看，推动变换是对称性，因为拉格朗日量在它们下不变。从我们的哈密顿算子观点来看，它们作用于相空间，保持辛结构。因此它们有一个矩映射，量子化将给出域算符中的一个二次表达式，该表达式在取指数后将给出多粒子态空间上的一个酉作用。

注意，推动变换不仅保持辛结构，还保持相对论复结构 $J_r,$，因为它们保持动量空间坐标分解为正能量双曲面和负能量双曲面上的独立坐标。因此，当用产生算符和湮灭算符表示时，二次推动变换算符 $\hat{\mathbf{K}}$ 将与算符 $\hat{\mathbf{P}}$ 和 $\hat{\mathbf{L}},$ 具有相同的形式，即一个涉及一个产生算符和一个湮灭算符的乘积的积分。推动变换算符将在动量空间中由

$$\hat{\mathbf{K}}=i{\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\omega }_{\mathbf{p}}{a}^{†}(\mathbf{p}){\nabla }_{\mathbf{p}}a(\mathbf{p})d^3\mathbf{p}\text{\hspace{1em}(44.10)}$$

可以验证，这给出了多粒子态空间上的一个庞加莱e李代数表示，方法是先计算洛伦兹群李代数的对易子，这些对易子与44.9一起为（回忆李括号关系40.1和40.2）

$$[-i{\hat{L}}_j,-i{\hat{K}}_k]={ϵ}_{jkl}(-i{\hat{K}}_l),[-i{\hat{K}}_j,-i{\hat{K}}_k]=-{ϵ}_{jkl}(-i{\hat{L}}_l)$$

与动量算符和哈密顿算子的对易子

$$[-i{\hat{K}}_j,-i{\hat{P}}_j]=-i\hat{H},[-i{\hat{K}}_j,-i\hat{H}]=-i{\hat{P}}_j$$

证明其余非零庞加莱e李代数括号关系（方程42.2）均得到满足。所有这些计算都可以很容易地使用表达式43.22、44.7、44.8和44.10来完成，对于$\hat{H},\hat{\mathbf{P}},\hat{\mathbf{L}},\hat{\mathbf{K}}$以及定理25.2（从求和推广到积分），这将计算归结为

$${\omega }_{\mathbf{p}},\mathbf{p},\mathbf{p}\times i{\nabla }_{\mathbf{p}},i{\omega }_{\mathbf{p}}{\nabla }_{\mathbf{p}}$$

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