双线性形式 (Bilinear forms)

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

§9.5 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

定义（双线性形式）

域$k$上的向量空间$V$上的双线性形式$B$是一个映射，其中本书取$k=\mathbf{R}$或$\mathbf{C}$：

$$B:V\times V\to k$$

它对两个自变量分别线性，即

$$\begin{array}{rlrl}B(v+v^{\prime },v^{\prime \prime })& =B(v,v^{\prime \prime })+B(v^{\prime },v^{\prime \prime }),& B(cv,v^{\prime })& =cB(v,v^{\prime }),\\ B(v,v^{\prime }+v^{\prime \prime })& =B(v,v^{\prime })+B(v,v^{\prime \prime }),& B(v,c{v}^{\prime })& =cB(v,v^{\prime }),\end{array}$$

其中$c\in k$。若$B(v^{\prime },v)=B(v,v^{\prime })$，则称$B$为对称形式；若$B(v^{\prime },v)=-B(v,v^{\prime })$，则称其为反对称形式。

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Definition (Bilinear forms)

A bilinear form $B$ on a vector space $V$ over a field $k$ (for us, $k=\mathbf{R}$ or $\mathbf{C}$) is a map

$$B:V\times V\to k,$$

that is linear in each argument; that is,

$$\begin{array}{rlrl}B(v+v^{\prime },v^{\prime \prime })& =B(v,v^{\prime \prime })+B(v^{\prime },v^{\prime \prime }),& B(cv,v^{\prime })& =cB(v,v^{\prime }),\\ B(v,v^{\prime }+v^{\prime \prime })& =B(v,v^{\prime })+B(v,v^{\prime \prime }),& B(v,c{v}^{\prime })& =cB(v,v^{\prime }),\end{array}$$

where $c\in k$. The form is symmetric if $B(v^{\prime },v)=B(v,v^{\prime })$, and antisymmetric if $B(v^{\prime },v)=-B(v,v^{\prime }).$

来源覆盖、定位与记录

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