12.5 符号复形

12.5.1 Hirzebruch 符号差

设 $M$ 是偶维的紧可定向流形，$m=2l$。设 $[\omega ]$ 与 $[\eta ]$ 是“中间”上同调群 $H^l(M;\mathbb{R})$ 中的元素。我们考虑由下式定义的一个双线性形式 $H^l(M;\mathbb{R})\times H^l(M;\mathbb{R})\to \mathbb{R}$：

$$\sigma ([\omega ],[\eta ])\equiv {\int }_M\omega \wedge \eta \text{\hspace{1em}(12.52)}$$

参见例 11.8。该定义与 $[\omega ]$ 和 $[\eta ]$ 的选取无关。当 $l$ 为偶数（$m\equiv 0\mathrm{mod}4$）时，形式 $\sigma$ 是对称的；当 $l$ 为奇数（$m\equiv 2\mathrm{mod}4$）时，它则是反对称的。由庞加莱对偶可知，双线性形式 $\sigma$ 具有最大秩 $b^l=\dim H^l(M;\mathbb{R})$，因而非退化。若 $l\equiv 2k$ 为偶数，则对称形式 $\sigma$ 具有实特征值，其中 $b^{+}$ 个为正、$b^{-}$ 个为负（$b^{+}+b^{-}=b^l$）。Hirzebruch 符号差定义为

$$\tau (M)\equiv b^{+}-b^{-}.\text{\hspace{1em}(12.53)}$$

若 $l$ 为奇数，则规定 $\tau (M)$ 为零（反对称形式的特征值纯虚）。以下我们取 $l=2k$。

当霍奇 $\ast$ 作用在 $4k$ 维流形 $M$ 上的 $2k$-形式上时，满足 ${\ast }^2=1$，因此 $\ast$ 的特征值为 $\pm 1$。设 ${\mathrm{Harm}}^{2k}(M)$ 为 $M$ 上调和 $2k$-形式的集合。我们注意到 ${\mathrm{Harm}}^{2k}(M)\cong H^{2k}(M;\mathbb{R})$，且 $H^{2k}(M;\mathbb{R})$ 中每个元素都有唯一的调和代表元。${\mathrm{Harm}}^{2k}(M)$ 可分解为互不相交的子空间，

$${\mathrm{Harm}}^{2k}(M)={\mathrm{Harm}}_{+}^{2k}(M)\oplus {\mathrm{Harm}}_{-}^{2k}(M)\text{\hspace{1em}(12.54)}$$

这是按 $\ast$ 的特征值来划分的。这一分解使双线性形式 $\sigma$ 成为分块对角形式。事实上，对 ${\omega }^{\pm }\in {\mathrm{Harm}}_{\pm }^{2k}(M)$，有

$$\sigma \left({\omega }^{+},{\omega }^{+}\right)={\int }_M{\omega }^{+}\wedge {\omega }^{+}={\int }_M{\omega }^{+}\wedge \ast {\omega }^{+}=\left({\omega }^{+},{\omega }^{+}\right)>0$$

其中 $({\omega }^{+},{\omega }^{+})$ 是由(7.181)所定义的正定内积。我们还得到

$$\begin{array}{rl}& \sigma ({\omega }^{-},{\omega }^{-})=-{\int }_M{\omega }^{-}\wedge \ast {\omega }^{-}=-({\omega }^{-},{\omega }^{-})<0\\ & \sigma ({\omega }^{+},{\omega }^{-})=-{\int }_M{\omega }^{+}\wedge \ast {\omega }^{-}=-{\int }_M{\omega }^{-}\wedge \ast {\omega }^{+}=-\sigma ({\omega }^{+},{\omega }^{-})=0\end{array}$$

这里我们已注意到，对任意形式 $\alpha$ 与 $\beta$ 都有 $\alpha \wedge \ast \beta =\beta \wedge \ast \alpha$。因此，$\sigma$ 关于 ${\mathrm{Harm}}_{+}^{2k}(M)\oplus {\mathrm{Harm}}_{-}^{2k}(M)$ 是分块对角的，而且 $b^{\pm }={\dim }_{\mathbb{R}}{\mathrm{Harm}}_{\pm }^{2k}(M)$。现在，$\tau (M)$ 可表示为

$$\tau (M)=\dim {\mathrm{Harm}}_{+}^{2k}(M)-\dim {\mathrm{Harm}}_{-}^{2k}(M).\text{\hspace{1em}(12.55)}$$

练习 12.2

设 $\dim M=4k$。证明

$$\tau (M)=\chi (M)\mathrm{mod}2.\text{\hspace{1em}(12.56)}$$

[提示：利用庞加莱对偶证明 $\chi (M)=b^{2k}$ 模 2。]

12.5.2 符号复形与Hirzebruch符号定理

设 $M$ 是一个 $m$ 维的、无边的紧致黎曼流形，并设 $g$ 为给定的度量。考虑算子

$$\mathfrak{D}\equiv \mathrm{d}+{\mathrm{d}}^{†}.\text{\hspace{1em}(12.57)}$$

$\mathfrak{D}$ 是拉普拉斯算符的一个平方根：${\mathfrak{D}}^2=\mathrm{d}{\mathrm{d}}^{†}+{\mathrm{d}}^{†}\mathrm{d}=\Delta$。要证明 $\mathfrak{D}$ 是椭圆的，只需验证 $\Delta$ 是椭圆的，因为算子乘积的符号等于符号的乘积。下面来计算 $\Delta$ 的符号。至于 $\mathrm{d}$，有 $\sigma (\mathrm{d},\xi )\omega =\xi \wedge \omega$。至于 ${\mathrm{d}}^{†}$，可以证明（Palais 1965, pp77-8）

$$\sigma \left({\mathrm{d}}^{†},\xi \right)=-i_{\xi }.\text{\hspace{1em}(12.58)}$$

这里 $i_{\xi }:{\Omega }_p^r(M)\to {\Omega }_p^{r-1}(M)$ 是由（参见 (5.79)）定义的内积运算

$$\begin{array}{rl}& i_{\xi }\left({\mathrm{dx}}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge {\mathrm{dx}}^{{\mu }_r}\right)\\ & \equiv \sum _{j=1}^r(-1{)}^{j+1}{\mathrm{g}}^{{\mu }_j\mu }{\xi }_{\mu }\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{\hat{x}}^{{\mu }_j}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_r}\end{array}$$

其中省略了 $\hat{\xi }$ 下的那个一次形式，并令 $\xi ={\xi }_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }$。现在由 (12.58) 得到拉普拉斯算符的符号为

$$\begin{array}{rl}\sigma (\Delta ,\xi )\omega & =\sigma \left(\mathrm{d}{\mathrm{d}}^{†}+{\mathrm{d}}^{†}\mathrm{d},\xi \right)\omega =-\left[\xi \wedge i_{\xi }(\omega )+i_{\xi }(\xi \wedge \omega )\right]\\ & =-i_{\xi }(\xi )\wedge \omega =-\Vert \xi {\Vert }^2\omega \end{array}$$

其中 $\omega$ 是任意的 $r$ 次微分形式，范数 $\Vert \cdot \Vert$ 是相对于给定的黎曼度量取的。最后我们得到

$$\sigma (\Delta ,\xi )=-\Vert \xi {\Vert }^2.\text{\hspace{1em}(12.59)}$$

因此，拉普拉斯算符 $\Delta$ 是椭圆的，$\mathfrak{D}=\mathrm{d}+{\mathrm{d}}^{†}$ 也是椭圆的。

由于拉普拉斯算符 $\Delta ={\mathfrak{D}}^2$ 在 ${\Omega }^{\ast }(M)$ 上是自对偶的，$\Delta$ 的指标平凡地为零。还可以看出，$\mathfrak{D}={\mathfrak{D}}^{†}$ 在 ${\Omega }^{\ast }(M)$ 上成立，因而 $\mathrm{ind}\mathfrak{D}=0$。为了构造一个非平凡的指标定理，我们必须找到一个使 $\mathfrak{D}\ne {\mathfrak{D}}^{†}$ 的复形。

练习 12.3

考虑 $\mathfrak{D}$ 到偶形式上的限制 ${\mathfrak{D}}^{\mathrm{e}}$，即 ${\mathfrak{D}}^{\mathrm{e}}:{\Omega }^{\mathrm{e}}(M{)}^{\mathbb{C}}\to {\Omega }^{\mathrm{o}}(M{)}^{\mathbb{C}}$，其中 ${\Omega }^{\mathrm{e}}(M{)}^{\mathbb{C}}\equiv \oplus {\Omega }^{2i}(M{)}^{\mathbb{C}}$，${\Omega }^{\mathrm{o}}(M{)}^{\mathbb{C}}\equiv \oplus {\Omega }^{2i+1}(M{)}^{\mathbb{C}}$。${\mathfrak{D}}^{\mathrm{e}}$ 的伴随为 ${\mathfrak{D}}^{\mathrm{o}}\equiv {\mathfrak{D}}^{\mathrm{e}†}:{\Omega }^{\mathrm{o}}(M{)}^{\mathrm{C}}\to {\Omega }^{\mathrm{e}}(M{)}^{\mathrm{C}}$。证明

$$\mathrm{ind}{\mathfrak{D}}^{\mathrm{e}}=\dim \ker {\mathfrak{D}}^{\mathrm{e}}-\dim \ker {\mathfrak{D}}^{\mathrm{o}}=\chi (M).$$

[提示：证明 $\ker {\mathfrak{D}}^{\mathrm{e}}=\oplus {\mathrm{Harm}}^{2i}(M)$ 与 $\ker {\mathfrak{D}}^{\mathrm{o}}=\oplus {\mathrm{Harm}}^{2i+1}(M)$。这个复形虽然非平凡，却不会给出任何新东西。]

若 $\dim M=m=2l$，则对 $\eta \in {\Omega }^r(M{)}^{\mathbb{C}}$ 有 $\ast \ast \eta =(-1{)}^r\eta$。我们定义算符 $\pi :{\Omega }^r(M{)}^{\mathbb{C}}\to {\Omega }^{m-r}(M{)}^{\mathbb{C}}$ 为

$$\pi \equiv {\mathrm{i}}^{r(r-1)+l}\ast \text{\hspace{1em}(12.60)}$$

注意 $\pi$ 是 $(-1{)}^r\ast \ast =1$ 的一个“平方根”。事实上，对 $\omega \in {\Omega }^r(M{)}^{\mathbb{C}}$，有

$$\begin{array}{rl}{\pi }^2\omega & ={\mathrm{i}}^{r(r-1)+l}\pi (\ast \omega )={\mathrm{i}}^{r(r-1)+l+(2l-r)(2l-r-1)+l}\ast \ast \omega \\ & ={\mathrm{i}}^{2r^2}\ast \ast \omega =(-1{)}^r\ast \ast \omega =\omega \end{array}\text{\hspace{1em}(12.61)}$$

这里我们已注意到 $r\equiv r^2\mathrm{mod}2$。我们容易验证（留作练习）

$$\{\pi ,\mathfrak{D}\}=\pi \mathfrak{D}+\mathfrak{D}\pi =0.\text{\hspace{1em}(12.62)}$$

让 $\pi$ 作用在 ${\Omega }^{\ast }(M{)}^{\mathbb{C}}=\oplus {\Omega }^r(M{)}^{\mathbb{C}}$ 上。由于 ${\pi }^2=1$，$\pi$ 的特征值为 $\pm 1$。于是我们把 ${\Omega }^{\ast }(M{)}^{\mathbb{C}}$ 分解为 $\pi$ 的 $\pm 1$ 特征子空间 ${\Omega }^{\pm }(M)$ 的直和：

$${\Omega }^{\ast }(M{)}^{\complement }={\Omega }^{+}(M)\oplus {\Omega }^{-}(M).\text{\hspace{1em}(12.63)}$$

由于 $\mathfrak{D}$ 与 $\pi$ 反交换，$\mathfrak{D}$ 在 ${\Omega }^{+}(M)$ 上的限制定义了一个椭圆复形，称为符号复形(signature complex)，

$${\mathfrak{D}}_{+}:{\Omega }^{+}(M)\to {\Omega }^{-}(M)\text{\hspace{1em}(12.64)}$$

其中 ${\mathfrak{D}}_{+}\equiv \mathfrak{D}{|}_{{\Omega }^{+}(M)}$。符号复形的指标为

$$\begin{array}{rl}\mathrm{ind}{\mathfrak{D}}_{+}& =\dim \ker {\mathfrak{D}}_{+}-\dim \ker {\mathfrak{D}}_{-}\\ & =\dim \mathrm{Harm}(M{)}^{+}-\dim \mathrm{Harm}(M{)}^{-}\end{array}\text{\hspace{1em}(12.65)}$$

其中 ${\mathfrak{D}}_{-}\equiv {\mathfrak{D}}_{+}^{†}:{\Omega }^{-}(M)\to {\Omega }^{+}(M)$，$\mathrm{Harm}(M{)}^{\pm }\equiv \{\omega \in {\Omega }^{\pm }(M)|{\mathfrak{D}}_{\pm }\omega =0\}$。在 (12.65) 的右端，除来自调和 $l$ 形式的贡献外，其余各项都相互抵消。为看出这一点，我们把 $\ker {\mathfrak{D}}_{+}$ 与 $\ker {\mathfrak{D}}_{-}$ 分离为

$$\ker {\mathfrak{D}}_{\pm }={\mathrm{Harm}}^l(M{)}^{\pm }\oplus \sum _{0\le r<l}[{\mathrm{Harm}}^r(M{)}^{\pm }\oplus {\mathrm{Harm}}^{m-r}(M{)}^{\pm }]$$

其中 ${\mathrm{Harm}}^r(M{)}^{\pm }\equiv \mathrm{Harm}(M{)}^{\pm }\cap {\Omega }^r(M)$。若 $\omega \in {\mathrm{Harm}}^r(M)$，则 $\omega \pm \pi \omega \in {\mathrm{Harm}}^r(M{)}^{\pm }\oplus {\mathrm{Harm}}^{m-r}(M{)}^{\pm }$。于是映射 $\omega +\pi \omega \to \omega -\pi \omega$ 定义了 ${\mathrm{Harm}}^r(M{)}^{+}\oplus {\mathrm{Harm}}^{m-r}(M{)}^{+}$ 与 ${\mathrm{Harm}}^r(M{)}^{-}\oplus {\mathrm{Harm}}^{m-r}(M{)}^{-}$ 之间的一个同构。现在指标简化为

$$\mathrm{ind}{\mathfrak{D}}_{+}=\dim {\mathrm{Harm}}^{2k}(M{)}^{+}-\dim {\mathrm{Harm}}^{2k}(M{)}^{-}\text{\hspace{1em}(12.66)}$$

其中如前一样令 $l=2k$（若 $l$ 为奇数，则指标为零）。重要的是要注意到 ${\mathrm{Harm}}^{2k}(M{)}^{\pm }={\mathrm{Harm}}_{\pm }^{2k}(M)$，因为在 ${\mathrm{Harm}}^{2k}(M)$ 中 $\pi =\ast$，见 (12.54)。于是指标 (12.66) 归结为 Hirzebruch 符号差，

$$\mathrm{ind}{\mathfrak{D}}_{+}=\tau (M).\text{\hspace{1em}(12.67)}$$

拓扑指标的推导相当技术化，我们直接引用 Shananan (1978) 的结果。设 ${\wedge }^{\pm }{T}^{\ast }{M}^{\mathbb{C}}$ 是 $\wedge T^{\ast }{M}^{\mathbb{C}}$ 中满足 ${\Omega }^{\pm }(M)=\Gamma (M,{\wedge }^{\pm }{T}^{\ast }{M}^{\mathbb{C}})$ 的子空间。于是有

$$\begin{array}{rl}\text{拓扑指标}& =(-1{)}^l{\int }_M\mathrm{ch}\left({\wedge }^{+}{T}^{\ast }{M}^{\mathbb{C}}-{\wedge }^{-}{T}^{\ast }{M}^{\mathbb{C}}\right)\frac{\mathrm{Td}(T{M}^{\mathbb{C}})}{e(TM)}{|}_{\text{v o l}}\\ & =2^l{\int }_M\prod _{i=1}^l\frac{x_i/2}{\tanh x_i/2}{|}_{\mathrm{vol}}={\int }_M\prod _{i=1}^l\frac{x_i}{\tanh x_i}{|}_{\mathrm{vol}}\end{array}$$

其中最后一个等式只对展开中的 $2l$ 形式成立，且 $x_i=x_i(T{M}^{\mathbb{C}})$。现在我们就得到了 Hirzebruch 符号差定理

$$\tau (M)={\int }_{M}L(TM){|}_{\text{v o l}}\text{\hspace{1em}(12.68)}$$

其中 $L$ 是由 (11.91) 定义的 Hirzebruch $L$ 多项式。由于 $L$ 关于 $x_i$ 是偶的，若 $m=2\mathrm{mod}4$，则 $\tau (M)$ 为零。例如，当 $m=2$ 时 $\tau (M)=0$。若 $m=4$，则有

$$\tau (M)={\int }_M\frac{1}{3}{p}_1(TM)=-\frac{1}{24{\pi }^2}\int \mathrm{tr}{\mathcal{R}}^2.\text{\hspace{1em}(12.69)}$$

与 多尔博复形的情形一样，我们可以扭曲符号复形，例如参见 Eguchi 等 (1980)。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF

来源版本：second-edition-local

来源 PDF SHA-256：fcd24c3371d092a8c699ccf5cf0765462924b6c48412804231076e8084b1940d

OCR 来源 SHA-256：0b6324f01172a3548cd34382e82fd8bfae574602b6b2cfaa357ba96bc2c35478

译稿产物 SHA-256：aab41d1edd3007b8f40e663807998cb7d8538ae0608e7059c9e922f46c330aac