6.2 德拉姆上同调群

6.2.1 定义

定义 6.1 上闭链群、上边缘群

设 $M$ 是一个 $m$ 维可微流形。闭 $r$ 形式的集合称为第 $r$ 上闭链群(cocycle group)，记作 $Z^r(M)$。恰当 $r$ 形式的集合称为第 $r$ 上边缘群(coboundary group)，记作 $B^r(M)$。它们都是以 $\mathbb{R}$ 为系数的向量空间。由 ${\mathrm{d}}^2=0$ 可得 $Z^r(M)\supset B^r(M)$。

(a) 若 $\omega \in Z^r(M)$ 且 $\psi \in Z^s(M)$，则 $\omega \wedge \psi \in Z^{r+s}(M)$；
(b) 若 $\omega \in Z^r(M)$ 且 $\psi \in B^s(M)$，则 $\omega \wedge \psi \in B^{r+s}(M)$；以及

(c) 若 $\omega \in B^r(M)$ 且 $\psi \in B^s(M)$，则 $\omega \wedge \psi \in B^{r+s}(M)$。

定义 6.2 德拉姆上同调群

第 $r$ 德拉姆上同调群(de Rham cohomology group)定义为

$$H^r(M;\mathbb{R})\equiv Z^r(M)/B^r(M).\text{\hspace{1em}(6.11)}$$

若 $r\le -1$ 或 $r\ge m+1$，则可规定 $H^r(M;\mathbb{R})$ 为平凡的。以下我们省略对 $\mathbb{R}$ 系数的明确标注。

设 $\omega \in Z^r(M)$，则 $[\omega ]\in H^r(M)$ 就是等价类 $\{{\omega }^{\prime }\in Z^r(M)|{\omega }^{\prime }=\omega +\mathrm{d}\psi ,\psi \in {\Omega }^{r-1}(M)\}$。相差一个恰当形式的两个形式称为上同调的(cohomologous)。我们以后会看到，$H^r(M)$ 与 $H_r(M)$ 同构。下面的例子将阐明德拉姆上同调群的思想。

例 6.1

当 $r=0$ 时，$B^0(M)$ 没有意义，因为不存在 $(-1)$ 形式。我们规定 ${\Omega }^{-1}(M)$ 为空集，从而 $B^0(M)=0$。于是 $H^0(M)=Z^0(M)=\{f\in {\Omega }^0(M)=\mathcal{F}(M)|\mathrm{d}f=0\}$。若 $M$ 连通，则条件 $\mathrm{d}f=0$ 成立当且仅当 $f$ 在 $M$ 上为常数。因此，$H^0(M)$ 同构于向量空间 $\mathbb{R}$，

$$H^0(M)\cong \mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(6.12)}$$

若 $M$ 有 $n$ 个连通分支，则 $\mathrm{df}=0$ 成立当且仅当 $f$ 在每个连通分支上为常数，因此它由 $n$ 个实数确定，

$$H^0(M)\cong \underset{n}{\underbrace{\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}}}.\text{\hspace{1em}(6.13)}$$

例 6.2

设 $M=\mathbb{R}$。由例 6.1可知 $H^0(\mathbb{R})=\mathbb{R}$。下面我们来求 $H^1(\mathbb{R})$。设 $x$ 为 $\mathbb{R}$ 的坐标。由于 $\dim \mathbb{R}=1$，任意一次形式 $\omega \in {\Omega }^1(\mathbb{R})$ 都是闭形式，即 $\mathrm{d}\omega =0$。设 $\omega =f\mathrm{d}x$，其中 $f\in \mathcal{F}(\mathbb{R})$。定义函数 $F(x)$ 为

$$F(x)={\int }_0^{x}f(s)\mathrm{d}s\in \mathcal{F}(\mathbb{R})={\Omega }^0(\mathbb{R}).$$

由于 $\mathrm{d}F(x)/\mathrm{d}x=f(x)$，故 $\omega$ 是恰当形式，

$$\omega =f\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}F.$$

因此，任意一次形式既是闭形式又是恰当形式。我们已证明

$$H^1(\mathbb{R})=\{0\}.\text{\hspace{1em}(6.14)}$$

例 6.3

设 $S^1=\{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }|0\le \theta <2\pi \}$。由于 $S^1$ 是连通的，故有 $H^0(S^1)=\mathbb{R}$。下面我们来计算 $H^1(S^1)$。设 $\omega =f(\theta )\mathrm{d}\theta \in {\Omega }^1(S^1)$，它是否

可以写成 $\omega =\mathrm{d}F$，其中 $F\in \mathcal{F}(S^1)$？让我们重复上一例中的分析。若 $\omega =\mathrm{d}F$，则 $F\in \mathcal{F}(S^1)$ 必定由

$$F(\theta )={\int }_0^{\theta }f\left({\theta }^{\prime }\right)d{\theta }^{\prime }.$$

要使 $F$ 在 $S^1$ 上有唯一的定义，$F$ 必须满足周期性条件 $F(2\pi )=F(0)(=0)$。也就是说，$F$ 必须满足

$$F(2\pi )={\int }_0^{2\pi }f({\theta }^{\prime })\mathrm{d}{\theta }^{\prime }=0.$$

若我们定义一个映射 $\lambda :{\Omega }^1(S^1)\to \mathbb{R}$ 为

$$\lambda :\omega =fd\theta \mapsto {\int }_0^{2\pi }f\left({\theta }^{\prime }\right)d{\theta }^{\prime }\text{\hspace{1em}(6.15)}$$

则 $B^1(S^1)$ 就等同于 $\ker \lambda$。现在由定理 3.1可得

$$H^1\left(S^1\right)={\Omega }^1\left(S^1\right)/\ker \lambda =\mathrm{im}\lambda =\mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(6.16)}$$

这也可以由下面的考虑得到。设 $\omega$ 与 ${\omega }^{\prime }$ 都是非恰当的闭形式。虽然 $\omega -{\omega }^{\prime }$ 一般说来不是恰当形式，但我们可以证明存在一个数 $a\in \mathbb{R}$，使得 ${\omega }^{\prime }-a\omega$ 是恰当形式。事实上，若令

$$a={\int }_0^{2\pi }{\omega }^{\prime }/{\int }_0^{2\pi }\omega$$

便有

$${\int }_0^{2\pi }({\omega }^{\prime }-a\omega )=0.$$

这表明，给定一个非恰当的闭形式 $\omega$，任意闭形式 ${\omega }^{\prime }$ 都与某个 $a\omega$ 上同调，其中 $a\in \mathbb{R}$。因此，每个上同调类都由一个实数 $a$ 确定，从而 $H^1(S^1)=\mathbb{R}$。

练习 6.3

习题 6.3　设 $M={\mathbb{R}}^2-\{0\}$。定义一次形式 $\omega$ 为

$$\omega =\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy.\text{\hspace{1em}(6.17)}$$

(a) 证明 $\omega$ 是闭的。
(b) 定义一个“函数” $F(x,y)={\tan }^{-1}(y/x)$。证明 $\omega =\mathrm{d}F$。$\omega$ 是恰当的吗？

6.2.2　$H_r(M)$ 与 $H^r(M)$ 的对偶性；德拉姆定理

顾名思义，上同调群是同调群的对偶空间，这种对偶性由斯托克斯定理给出。我们先在 $M$ 上定义 $r$-形式与 $r$-链的内积。设 $M$ 是 $m$ 维流形，$C_r(M)$ 是 $M$ 的链群。取 $c\in C_r(M)$ 与 $\omega \in {\Omega }^r(M)$，其中 $1\le r\le m$。定义内积(inner product) $(\cdot ,\cdot ):C_r(M)\times {\Omega }^r(M)\to \mathbb{R}$ 为

$$c,\omega \mapsto (c,\omega )\equiv {\int }_c\omega .\text{\hspace{1em}(6.18)}$$

显然，$(c,\omega )$ 对 $c$ 与 $\omega$ 都是线性的，而 $(\omega ,\omega )$ 可以看作作用在 $c$ 上的线性映射，反之亦然，

$$\left(c_1+c_2,\omega \right)={\int }_{c_1+c_2}\omega ={\int }_{c_1}\omega +{\int }_{c_2}\omega \text{\hspace{1em}(6.19a)}$$

$$(c,{\omega }_1+{\omega }_2)={\int }_c({\omega }_1+{\omega }_2)={\int }_c{\omega }_1+{\int }_c{\omega }_2.\text{\hspace{1em}(6.19b)}$$

于是斯托克斯定理可以写成紧凑的形式：

$$(c,\mathrm{d}\omega )=(\partial c,\omega ).\text{\hspace{1em}(6.20)}$$

在这个意义上，外微分算子 $\mathfrak{d}$ 是边缘算子 $\partial$ 的伴随，反之亦然。

练习 6.4

习题 6.4　设 (i) $c\in B_r(M)$、$\omega \in Z^r(M)$，或 (ii) $c\in Z_r(M)$、$\omega \in B^r(M)$。证明在这两种情形下都有 $(c,\omega )=0$。

内积 $(\cdot ,\cdot )$ 自然地诱导出 $H_r(M)$ 与 $H^r(M)$ 的元素之间的一个内积 $\lambda$。下面我们证明 $H_r(M)$ 是 $H^r(M)$ 的对偶。设 $[c]\in H_r(M)$、$[\omega ]\in H^r(M)$，并定义内积 $\Lambda :H_r(M)\times H^r(M)\to \mathbb{R}$ 为

$$\Lambda ([c],[\omega ])\equiv (c,\omega )={\int }_c\omega .\text{\hspace{1em}(6.21)}$$

这是良定义的，因为 (6.21) 与代表元的选取无关。事实上，若取 $c+\partial c^{\prime }$、$c^{\prime }\in C_{r+1}(M)$，则由斯托克斯定理可得

$$(c+\partial c^{\prime },\omega )=(c,\omega )+\left(c^{\prime },\mathrm{d}\omega \right)=(c,\omega )$$

这里用到了 $\mathrm{d}\omega =0$。类似地，对于 $\omega +\mathrm{d}\psi ,\psi \in {\Omega }^{r-1}(M)$，有

$$(c,\omega +d\psi )=(c,\omega )+(\partial c,\psi )=(c,\omega )$$

因为 $\partial c=0$。注意 $\Lambda (\omega ,[c])$ 是线性映射 $H_r(M)\to \mathbb{R}$，而 $\Lambda ([c],\omega )$ 是线性映射 $H^r(M)\to \mathbb{R}$。为证明 $H_r(M)$ 与 $H^r(M)$ 的对偶性，我们只需

证明 $\Lambda (\mathbf{\Omega },[\omega ])$ 具有最大秩，即 $\dim H_r(M)=\dim H^r(M)$。我们不加证明地接受下面这个属于德拉姆的定理，它的证明相当不平凡。

定理 6.2 · 德拉姆定理

若 $M$ 是紧流形，则 $H_r(M)$ 与 $H^r(M)$ 都是有限维的。此外，映射

$$\Lambda :H_r(M)\times H^r(M)\to \mathbb{R}$$

是双线性的且非退化的。因此，$H^r(M)$ 是 $H_r(M)$ 的对偶向量空间。

闭 $r$-形式 $\omega$ 在闭链 $c$ 上的周期(period)定义为 $(c,\omega )={\int }_c\omega$。如练习 6.4所示，若 $\omega$ 是恰当形式，或 $c$ 是边缘，则该周期为零。由德拉姆定理容易推出下面的推论。

推论 6.1

设 $M$ 是紧流形，$k$ 是第 $r$ 个贝蒂数（见 3.4 节）。设 $c_1,c_2,\dots ,c_k$ 是 $Z_r(M)$ 中适当选取的元素，使得 $[c_i]\ne [c_j]$。

(a) 闭 $r$-形式 $\psi$ 是恰当形式，当且仅当

$${\int }_{c_i}\psi =0(1\le i\le k).\text{\hspace{1em}(6.22)}$$

(b) 对任意一组实数 $b_1,b_2,\dots ,b_k$，都存在闭 $r$-形式 $\omega$，使得

$${\int }_{c_i}\omega =b_i(1\le i\le k).\text{\hspace{1em}(6.23)}$$

证明

(a) 德拉姆定理指出，双线性形式 $\Lambda ([c],[\omega ])$ 是非退化的。因此，若把 $\Lambda ([c_i],\dots )$ 看作作用在 $H^r(M)$ 上的线性映射，则其核只含平凡元素，即恰当形式的上同调类。于是 $\psi$ 是恰当形式。

(b) 德拉姆定理保证，对应于同调基 $\{[c_i]\}$，我们可以选取 $H^r(M)$ 的对偶基 $\{[{\omega }_i]\}$，使得

$$\Lambda \left(\left[c_i\right],\left[{\omega }_j\right]\right)={\int }_{c_i}{\omega }_j={\delta }_{ij}.\text{\hspace{1em}(6.24)}$$

若定义 $\omega \equiv {\sum }_{i=1}^k{b}_i{\omega }_i$，则闭 $r$-形式 $\omega$ 满足

$${\int }_{c_i}\omega =b_i$$

这正是所要证的。

例如，我们观察到下列群之间的对偶性。

(a) 若 $M$ 有 $n$ 个连通分支，则 $H^0(M)\cong H_0(M)\cong \underset{n}{\underbrace{\mathbb{R}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}}}$。
(b) $H^1(S^1)\cong H_1(S^1)\cong \mathbb{R}.$

由于 $H^r(M)$ 与 $H_r(M)$ 同构，我们得到

$$b^r(M)\equiv \dim H^r(M)=\dim H_r(M)=b_r(M)\text{\hspace{1em}(6.25)}$$

其中 $b_r(M)$ 是 $M$ 的贝蒂数。欧拉示性数现在可写成

$$\chi (M)=\sum _{r=1}^m(-1{)}^r{b}^r(M).\text{\hspace{1em}(6.26)}$$

这是一个相当有趣的公式：左端纯粹是拓扑的，而右端却由分析条件给出（注意 $\mathrm{d}\omega =0$ 是一组偏微分方程）。我们将会经常遇到拓扑与分析之间的这种相互作用。

总之，我们有链复形 $C(M)$ 与德拉姆复形 ${\Omega }^{\ast }(M)$，

$$\begin{array}{rl}& \leftarrow C_{r-1}(M)\stackrel{{\partial }_r}{\leftarrow }{C}_r(M)\stackrel{{\partial }_{r+1}}{\leftarrow }{C}_{r+1}(M)\leftarrow \\ & ⟶{\Omega }^{r-1}(M)\stackrel{{\mathrm{d}}_r}{\to }{\Omega }^r(M)\stackrel{{\mathrm{d}}_{r+1}}{\to }{\Omega }^{r+1}(M)⟵\end{array}\text{\hspace{1em}(6.27)}$$

其第 $r$ 个同调群(homology group)定义为

$$H_r(M)=Z_r(M)/B_r(M)=\ker {\partial }_r/\mathrm{im}{\partial }_{r+1}$$

而第 $r$ 个德拉姆上同调群定义为

$$H^r(M)=Z^r(M)/B^r(M)=\ker {\mathrm{d}}_{r+1}/\mathrm{im}{\mathrm{d}}_r.$$

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