3.4 同调群的一般性质

3.4.1 连通性与同调群

设 $K=\{p_0\}$，$L=\{p_0,p_1\}$。由例 3.6 与习题 3.1 可知，$H_0(K)=\mathbb{Z}$，$H_0(L)=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$。更一般地，我们有如下定理。

定理 3.6

设 $K$ 是 $N$ 个连通分支的不交并，即 $K=K_1\cup K_2\cup \cdots \cup K_N$，其中 $K_i\cap K_j=\varnothing$。则

$$H_r(K)=H_r\left(K_1\right)\oplus H_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus H_r\left(K_N\right).\text{\hspace{1em}(3.52)}$$

证明

首先注意到，$r$-链群可以一致地分解为 $N$ 个 $r$-链子群的直和。令

$$C_r(K)=\left\{\sum _{i=1}^{I_r}{c}_i{\sigma }_{r,i}|c_i\in \mathbb{Z}\right\}$$

其中 $I_r$ 是 $K$ 中线性无关的 $r$-单形的个数。我们总可以重新排列 ${\sigma }_i$，使位于 $K_1$ 中的那些 $r$-单形排在前面，位于 $K_2$ 中的那些紧随其后，依此类推。于是 $C_r(K)$ 被分解为若干子群的直和，

$$C_r(K)=C_r\left(K_1\right)\oplus C_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus C_r\left(K_N\right).$$

对 $Z_r(K)$ 与 $B_r(K)$ 也作同样的分解，即

$$Z_r(K)=Z_r\left(K_1\right)\oplus Z_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus Z_r\left(K_N\right)$$

$$B_r(K)=B_r\left(K_1\right)\oplus B_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus B_r\left(K_N\right).$$

现在对每个连通分支 $K_i$ 定义同调群(homology group)：

$$H_r\left(K_i\right)=Z_r\left(K_i\right)/B_r\left(K_i\right).$$

由于 $Z_r(K_i)\supset B_r(K_i)$，这一做法是良定义的。最后我们得到

$$\begin{array}{rl}{H}_r(K)& =Z_r(K)/B_r(K)\\ & =Z_r\left(K_1\right)\oplus \cdots \oplus Z_r\left(K_N\right)/B_r\left(K_1\right)\oplus \cdots \oplus B_r\left(K_N\right)\\ & =\left\{Z_r\left(K_1\right)/B_r\left(K_1\right)\right\}\oplus \cdots \oplus \left\{Z_r\left(K_N\right)/B_r\left(K_N\right)\right\}\\ & =H_r\left(K_1\right)\oplus \cdots \oplus H_r\left(K_N\right).\end{array}$$

推论 3.1

(a) 设 $K$ 是 $N$ 个连通分支 $K_1,\dots ,K_N$ 的不交并，则可得

$$H_0(K)\cong \underset{N\text{个因子}}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}.\text{\hspace{1em}(3.53)}$$

(b) 若 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$，则 $K$ 是连通的。[结合定理 3.5，我们得出结论：$H_0(K)\cong \mathbb{Z}$ 当且仅当 $K$ 连通。]

3.4.2 同调群的结构

由于$Z_r(K)$与$B_r(K)$都是自由阿贝尔群$C_r(K)$的子群，所以它们本身也是自由阿贝尔群。但这并不意味着$H_r(K)=Z_r(K)/B_r(K)$也是自由阿贝尔群。事实上，根据定理 3.2，$H_r(K)$最一般的形式为

$$H_r(K)\cong \underset{f}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}\oplus {\mathbb{Z}}_{k_1}\oplus \cdots \oplus {\mathbb{Z}}_{k_p}.\text{\hspace{1em}(3.54)}$$

从我们的经验可以清楚地看出，$H_r(K)$ 的生成元的个数计数的正是 $|K|$ 中 $(r+1)$ 维洞的个数。前 $f$ 个因子构成一个秩为 $f$ 的自由阿贝尔群，而后面的 $p$ 个因子则称为 $H_r(K)$ 的挠子群。例如，实射影平面有 $H_1(K)\cong {\mathbb{Z}}_2$，克莱因瓶有 $H_1(K)\cong \mathbb{Z}\oplus {\mathbb{Z}}_2$。在某种意义上，挠子群刻画了多面体 $|K|$ 中的“扭转”。下面我们说明为什么以 $\mathbb{Z}$ 为系数的同调群比以 ${\mathbb{Z}}_2$ 或 $\mathbb{R}$ 为系数的同调群更可取。由于 ${\mathbb{Z}}_2$ 没有非平凡子群，挠子群永远无法被识别出来。同样，若采用 $\mathbb{R}$ 系数，我们也看不到挠子群，因为对任意 $m\in \mathbb{Z}-\{0\}$ 都有 $\mathbb{R}/m\mathbb{R}\cong \{0\}$。[对任意 $a,b\in \mathbb{R}$，都存在数 $c\in \mathbb{R}$ 使得 $a-b=mc$。]若 $H_r(K;\mathbb{Z})$ 由 (3.54) 给出，则 $H_r(K;\mathbb{R})$ 为

$$H_r(K;\mathbb{R})\cong \underset{f}{\underbrace{\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}}}.\text{\hspace{1em}(3.55)}$$

3.4.3 贝蒂数与欧拉-庞加莱定理

定义 3.6 贝蒂数

设 $K$ 是一个单纯复形。第 $r$ 个贝蒂数(Betti number) $b_r(K)$ 定义为

$$b_r(K)\equiv \dim H_r(K;\mathbb{R}).\text{\hspace{1em}(3.56)}$$

换言之，$b_r(K)$ 就是 $H_r(K;\mathbb{Z})$ 的自由阿贝尔部分的秩。

例如，环面 $T^2$ 的贝蒂数为（见例 3.12）

$$b_0(K)=1,b_1(K)=2,b_2(K)=1$$

而球面 $S^2$ 的贝蒂数为（习题 3.3）

$$b_0(K)=1,b_1(K)=0,b_2(K)=1.$$

下面的定理把欧拉示性数与贝蒂数联系起来。

定理 3.7 · 欧拉-庞加莱定理

设 $K$ 是一个 $n$ 维单纯复形，$I_r$ 为 $K$ 中 $r$ 维单形的个数。则

$$\chi (K)\equiv \sum _{r=0}^n(-1{)}^r{I}_r=\sum _{r=0}^n(-1{)}^r{b}_r(K).\text{\hspace{1em}(3.57)}$$

[注：第一个等式定义了一般多面体 $|K|$ 的欧拉示性数(Euler characteristic)。注意，这是第 2.4 节中为曲面定义的欧拉示性数的推广。]

证明

考虑边缘同态

$${\partial }_r:C_r(K;\mathbb{R})\to C_{r-1}(K;\mathbb{R})$$

其中 $C_{-1}(K;\mathbb{R})$ 定义为 $\{0\}$。由于 $C_{r-1}(K;\mathbb{R})$ 与 $C_r(K;\mathbb{R})$ 都是向量空间，可以应用定理 2.1，得到

$$\begin{array}{rl}{I}_r& =\dim C_r(K;\mathbb{R})=\dim (\ker {\partial }_r)+\dim (\mathrm{im}{\partial }_r)\\ & =\dim Z_r(K;\mathbb{R})+\dim B_{r-1}(K;\mathbb{R})\end{array}$$

其中 $B_{-1}(K)$ 定义为平凡的。我们还有

$$\begin{array}{rl}{b}_r(K)& =\dim H_r(K;\mathbb{R})=\dim \left(Z_r(K;\mathbb{R})/B_r(K;\mathbb{R})\right)\\ & =\dim Z_r(K;\mathbb{R})-\dim B_r(K;\mathbb{R}).\end{array}$$

由这些关系式，我们得到

$$\begin{array}{rl}\chi (K)& =\sum _{r=0}^n(-1{)}^r{I}_r=\sum _{r=0}^n(-1{)}^r(\dim Z_r(K;\mathbb{R})+\dim B_{r-1}(K;\mathbb{R}))\\ & =\sum _{r=0}^n\left\{(-1{)}^r\dim Z_r(K;\mathbb{R})-(-1{)}^r\dim B_r(K;\mathbb{R})\right\}\\ & =\sum _{r=0}^n(-1{)}^r{b}_r(K).\end{array}$$

由于贝蒂数是拓扑不变量，$\chi (K)$ 在同胚下也不变。特别地，若 $f:|K|\to X$ 与 $g:|K^{\prime }|\to X$ 是 $X$ 的两个三角剖分，则 $\chi (K)=\chi (K^{\prime })$。因此，用 $X$ 的任一三角剖分 $(K,f)$ 来定义 $X$ 的欧拉示性数 $\chi (K)$ 是有意义的。

3.1 最一般的可定向二维曲面是带有 $h$ 个柄和 $q$ 个洞的二维球面。求该曲面的同调群与欧拉示性数。 3.2 考虑一个带洞的球面，并按图 3.13 所示的方式将洞的边缘粘合起来。这样得到的曲面正是实射影平面 $\mathbb{R}{P}^2$。更一般地，考虑一个带有 $q$ 个这种“交叉帽”的球面，求该曲面的同调群与欧拉示性数。

图 3.13. $S^2$ 中的一个洞，其边按图示方式粘合。我们可以考虑带有 $q$ 个这样的洞的 $S^2$。

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