实辛群 (real symplectic group)

§2.3 uses real matrices preserving a nondegenerate antisymmetric form.

别名：symplectic group；辛群

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Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

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§2.3 · zh-CN · translation · unreviewed

例 2.13

设 $\mathsf{J}$ 为 $2n\times 2n$ 矩阵

$$\mathsf{J}=\left(\begin{array}{cc}\mathsf{O}& \mathsf{I}\\ -\mathsf{I}& \mathsf{O}\end{array}\right),$$

其中 $\mathsf{O}$ 和 $\mathsf{I}$ 分别是 $n\times n$ 零矩阵和单位矩阵。若 $2n\times 2n$ 实矩阵 $\mathsf{A}$ 满足

$${\mathsf{A}}^T\mathsf{JA}=\mathsf{J},\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

就称它为辛矩阵(symplectic matrix)。证明这些矩阵组成群的方法与刚才证明 $O(p,q)$ 的方法基本相同。由于 $\det \mathsf{J}=1$，式 (2.11) 立即给出 $\det \mathsf{A}=\pm 1$，因此 $\mathsf{A}$ 非奇异。这一群记作 $Sp(2n)$，称为$2n$ 阶辛群(symplectic group)。

Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

§5.3 · zh-CN · translation · unreviewed

在后续章节中，我们还会遇到其他矩阵李群，例如辛群(symplectic group) $Sp(2d,\mathbf{R})$（见第 16 章），以及伪正交群(pseudo-orthogonal group) $O(r,s)$（见第 29 章）。

§5.3 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

In later chapters, we will encounter other examples of matrix Lie groups, including the symplectic group $Sp(2d,\mathbf{R})$ (see chapter 16) and the pseudo-orthogonal groups $O(r,s)$ (see chapter 29).

§16 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

二次齐次多项式与一次齐次多项式之间的非零泊松括号，体现了辛群(symplectic group)通过自同构作用于海森堡群这一事实。这个事实的重要性会在后续章节中逐渐显现：我们将看到辛李代数中的一些有趣可观测量，它们是 $Q_j$ 和 $P_j$ 的二次式，不仅作用于态，也会非平凡地作用于 $Q_j$ 和 $P_j$ 这些可观测量本身。

§16 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

The nonzero Poisson brackets between homogeneous polynomials of degrees two and one reflect the fact that the symplectic group acts by automorphisms on the Heisenberg group. The importance of this fact will become clear in later chapters. There we will encounter interesting observables from the symplectic Lie algebra that are quadratic in $Q_j$ and $P_j$ and act nontrivially not only on states but also on the observables $Q_j$ and $P_j$ themselves.

§16.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

定义（辛群）

辛群(symplectic group) $\mathrm{Sp}(2d,\mathbf{R})$ 是 $\mathcal{M}={\mathbf{R}}^{2d}$ 上保持 $\Omega$ 的线性变换 $g$ 所构成的子群，即满足

$$\Omega (g{v}_1,g{v}_2)=\Omega (v_1,v_2)$$

对所有 $v_1,v_2\in \mathcal{M}$ 都成立。

§16.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

Definition (Symplectic group)

The symplectic group $\mathrm{Sp}(2d,\mathbf{R})$ is the subgroup of linear transformations $g$ of $\mathcal{M}={\mathbf{R}}^{2d}$ satisfying

$$\Omega (g{v}_1,g{v}_2)=\Omega (v_1,v_2)$$

for all $v_1,v_2\in \mathcal{M}$.

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#example-2-13”
• href=“#equation-2-11”
• [第 16 章](../chapter-16/index#section-16)
• [第 29 章](../chapter-29/index#section-29)
• [chapter 16](../chapter-16/index#section-16)
• [chapter 29](../chapter-29/index#section-29)

编辑导读与作者比较

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Woit 在第16.1节把实辛群描述为作用在 $\mathcal{M}={\mathbf{R}}^{2d}$ 上、保持决定相空间辛几何的反对称双线性形式 $\Omega$ 的线性变换群，其保形式条件写为：

$$\Omega (g{v}_1,g{v}_2)=\Omega (v_1,v_2)$$

Woit · §16.1

Szekeres 第2.3节采用矩阵约定：令 $\mathsf{J}$ 为标准分块矩阵，实矩阵的辛条件为：

$${\mathsf{A}}^T\mathsf{JA}=\mathsf{J}.\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

该书将满足条件的矩阵组成的群记为 $Sp(2n)$。这是本书的记号呈现，与 Woit 的保形式表述应分别按各自记号阅读。 Szekeres · §2.3

Woit 第5.3节仅将 $Sp(2d,\mathbf{R})$ 列为后文将遇到的矩阵李群，并指向第16章；群的正式定义见其第16.1节。 Woit · §5.3；Woit · §16.1

Woit · 作者条件与约定

第16.1节以保持决定相空间辛几何的反对称双线性形式的线性变换来界定 $Sp(2d,\mathbf{R})$。随后作者把作用从 $\mathcal{M}$ 传到由 $\Omega (u,\cdot )$ 表示的线性函数，并将式 (16.1) 写为：

$$\Omega (u,\cdot )\in M\to g\cdot \Omega (u,\cdot )=\Omega (u,g^{-1}(\cdot ))=\Omega (gu,\cdot )\in M\text{\hspace{1em}(16.1)}$$

作者说明第一个等号来自对偶表示的定义，第二个等号来自 $\Omega$ 的不变性。

条件：此处相空间为 $\mathcal{M}={\mathbf{R}}^{2d}$，$v_1,v_2\in \mathcal{M}$，所述变换保持 $\Omega$。

记号：Woit 记作 $Sp(2d,\mathbf{R})$；$\mathcal{M}$ 表示该节中的对偶相空间，$M$ 中的元素以 $\Omega (u,\cdot )$ 表示。

Woit · §16.1

Szekeres · 作者条件与约定

第2.3节先给出标准分块矩阵 $\mathsf{J}$，再称满足 ${\mathsf{A}}^T\mathsf{JA}=\mathsf{J}$ 的实矩阵为辛矩阵，并将组成的群记为 $Sp(2n)$。该呈现直接使用矩阵恒等式；Woit 第16.1节则直接以双线性形式不变性描述实辛群。

条件：Szekeres 的矩阵为 $2n\times 2n$ 实矩阵，$\mathsf{J}$ 的分块由零矩阵和单位矩阵组成。

记号：保留原书写法 $Sp(2n)$、$\mathsf{A}$、$\mathsf{J}$；Woit 该节写作 $Sp(2d,\mathbf{R})$。

Szekeres · §2.3

候选作者路径片段（未纳入已登记依赖）：

• 作者明确指出式 (16.1) 的第二个等号使用 Ω 不变性；前置的保形式定义正是规定这些变换保持 Ω，因此这是对定义性质的直接构造性使用。该边只记录这一处依赖。

来源覆盖、定位与记录

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