转置 (transpose)

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Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§2.3 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§2.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§3.7	zh-CN · 英文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§2.3 · zh-CN · translation · unreviewed

以下例子都采用矩阵乘法，因此结合律自动成立。我们会经常使用矩阵的转置(transpose) ${\mathsf{A}}^T$，它由沿主对角线翻转矩阵得到：

§3.7 · zh-CN · translation · unreviewed

习题 3.19

若 $A:V\to V$ 是线性算符，则定义其转置(transpose)为线性映射 $A^{\prime }$ : $V^{\ast }\to V^{\ast }$，使得

$$A^{\prime }\omega (u)=\omega (Au),\forall u\in V,\omega \in V^{\ast }.$$

证明该关系唯一地定义了线性算符 $A^{\prime }$，并且

$$O^{\prime }=O,({\mathrm{id}}_V{)}^{\prime }={\mathrm{id}}_{V^{\ast }},(aB+bA{)}^{\prime }=a{B}^{\prime }+b{A}^{\prime },\forall a,b\in \mathbb{K}.$$

(a) 证明 $(BA{)}^{\prime }=A^{\prime }{B}^{\prime }$

(b) 若 $A$ 是可逆算子，则证明 $(A^{\prime }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\prime }$

(c) 若 $V$ 是有限维的，则证明 $A^{\prime \prime }=A.$，其中我们对 $V^{\ast \ast }$ 与 $V$ 作自然等同。

(d) 证明转置映射 $A$ 在对偶基下的分量矩阵是 $A,{\mathsf{A}}^{\prime }={\mathsf{A}}^T$ 的矩阵的转置

(e) 利用问题 3.16 证明 $\ker A^{\prime }=(\mathrm{im}A{)}^{\perp }$

(f) 利用式 (3.10) 证明 $A^{\prime }$ 的秩等于 $A$ 的秩。

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#problem-3-19”
• href=“05-bases-of-a-vector-space#equation-3-10”

来源覆盖、定位与记录

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永久身份：urn:uuid:68e0c96d-dfe2-418d-b27a-df73bf8da23b。

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