自由阿贝尔群 (free Abelian group)

Nakahara Definition 3.1：自由阿贝尔群。完整条件以所列原文节点为准；不将同框中作为前提提及的概念视为被定义。

别名：rank

词性：名词

已登记的原文定义

Nakahara · second-edition-local · §3.1.2 · PDF 第115页

Definition 3.1. If  $G$  is finitely generated by  $r$  linearly independent elements,  $G$  is called a free Abelian group of rank  $r$ .

Nakahara Definition 3.1：自由阿贝尔群。完整条件以所列原文节点为准；不将同框中作为前提提及的概念视为被定义。

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来源短摘录与定位

§3.1 · zh-CN · machine_draft · unreviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

§3.3 · zh-CN · machine_draft · unreviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

§3.4 · zh-CN · machine_draft · unreviewed

由于$Z_r(K)$与$B_r(K)$都是自由阿贝尔群$C_r(K)$的子群，所以它们本身也是自由阿贝尔群。但这并不意味着$H_r(K)=Z_r(K)/B_r(K)$也是自由阿贝尔群。事实上，根据定理 3.2，$H_r(K)$最一般的形式为

§4.4 · zh-CN · machine_draft · unreviewed

例 4.4

设 $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}=\{x^n{y}^m|n,m\in \mathbb{Z}\}$ 是由 $X=\{x,y\}$ 生成的自由阿贝尔群。于是有 $xy=yx$。由于 $xy{x}^{-1}{y}^{-1}=1$，我们得到关系 $r=xy{x}^{-1}{y}^{-1}$。$\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ 的表现是 $(x,y:xy{x}^{-1}{y}^{-1})$。

§4.4 · zh-CN · machine_draft · unreviewed

注意 $H_1(2$ 花束）是自由阿贝尔群(free Abelian group)，而 ${\pi }_1(2$ 花束）是自由群。下面的定理把 ${\pi }_1(|K|)$ 与 $H_1(K)$ 联系起来。

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“01-section-3-1.md#definition-3-1”
• href=“01-section-3-1.md#example-3-3”
• href=“03-section-3-3.md#definition-3-2”
• href=“01-section-3-1.md#bound-definition-13c6252e147d5e7e497b347d”
• href=“01-section-3-1.md#bound-definition-13c6252e147d5e7e497b347d”
• [定理 3.2](01-section-3-1.md#theorem-3-2)
• href=“04-section-4-4.md#example-4-4”
• href=”../chapter-03/01-section-3-1.md#bound-definition-13c6252e147d5e7e497b347d”

机器入库的作者陈述（未经人工审阅）

机器入库 · 未经人工审阅

以下由语义核糖体自动读取原著生成并入库。引文逐字取自 OCR，概念归属、角色与依赖均为模型判断；可按运行整体撤销。

Nakahara · second-edition-local

• 引入：若 $G$ 由 $r$ 个线性无关的元素有限生成，则称 $G$ 为秩为 $r$ 的自由阿贝尔群。
• 回指：群 ${\mathbb{Z}}_2=\{0,1\}$ 由 1 有限生成，但不是自由的，因为 1 不是线性无关的（注意 $1+1=0$）。
• 回指：$C_r(K)$ 是一个秩为 $I_r$ 的自由阿贝尔群。

机器推断的依赖（5）

• $r$-链群 → 自由阿贝尔群 · 模型判断为使用 · 按最近的同概念前文推断
• $r$-链群 → 自由阿贝尔群 · 模型判断为使用 · 按最近的同概念前文推断
• 自由阿贝尔群 → 自由阿贝尔群 · 模型判断为使用 · 按最近的同概念前文推断
• 链复形 → 自由阿贝尔群 · 模型判断为使用 · 按最近的同概念前文推断
• 有限生成阿贝尔群基本定理 → 自由阿贝尔群 · 模型判断为回指 · 按最近的同概念前文推断

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

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永久身份：urn:uuid:b405e339-ed38-485b-be7b-b30aab2271a7。

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