哈密顿向量场 (Hamiltonian vector field)

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Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§16.5 · zh-CN。

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§16.5 · zh-CN · translation · unreviewed

对所有向量场 $Y$。若存在 $M$ 上的函数 $H$，使得 $X=\overline{\mathrm{d}H}$，或等价地 $\overline{X}=\mathrm{d}H$，则称向量场 $X$ 为 哈密顿向量场(Hamiltonian vector field)。函数 $H$ 称为生成该向量场的哈密顿算子。若函数 $f$ 是哈密顿向量场 $X=\overline{\mathrm{d}H}\mathrm{if}Xf=0$ 所生成相位流的第一积分，则称其为该相位流的第一积分。哈密顿算子 $H$ 是相位流的第一积分，因为

§16.5 · en · original_transcription · unreviewed

for all vector fields $Y$. A vector field $X$ is said to be a Hamiltonian vector field if there exists a function $H$ on $M$ such that $X=\overline{\mathrm{d}H}$ , or equivalently $\overline{X}=\mathrm{d}H$ . The function $H$ is called the Hamiltonian generating this vector field. A function $f$ is said to be a first integral of the phase flow generated by the Hamiltonian vector field $X=\overline{\mathrm{d}H}\mathrm{if}Xf=0$ The Hamiltonian $H$ is a first integral of the phase flow, for

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§15.2 · zh-CN。

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定义（哈密顿向量场）

若 $M={\mathbf{R}}^2$ 上的向量场具有下列形式

$$X_f=\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial }{\partial q}-\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial }{\partial p}=-\{f,\cdot \},$$

其中 $f$ 是 $M$ 上的函数，则称它为哈密顿向量场，记作 $X_f$。在更高维的情形下，$M={\mathbf{R}}^{2d}$ 上的哈密顿向量场具有如下形式：

$$X_f=\sum _{j=1}^d\left(\frac{\partial f}{\partial p_j}\frac{\partial }{\partial q_j}-\frac{\partial f}{\partial q_j}\frac{\partial }{\partial p_j}\right)=-\{f,\cdot \}.\text{\hspace{1em}(15.2)}$$

其中 $f$ 是 $M$ 上的函数。最简单的非零哈密顿向量场来自线性函数 $f$。设 $c_q,c_p$ 为常数，并令

§15.2 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

Definition (Hamiltonian vector field)

A vector field on $M={\mathbf{R}}^2$ of the form

$$X_f=\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial }{\partial q}-\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial }{\partial p}=-\{f,\cdot \}$$

for a function $f$ on $M$ is called a Hamiltonian vector field and is denoted $X_f$. In higher dimensions, Hamiltonian vector fields on $M={\mathbf{R}}^{2d}$ have the form

$$X_f=\sum _{j=1}^d\left(\frac{\partial f}{\partial p_j}\frac{\partial }{\partial q_j}-\frac{\partial f}{\partial q_j}\frac{\partial }{\partial p_j}\right)=-\{f,\cdot \}.\text{\hspace{1em}(15.2)}$$

Here $f$ is a function on $M$.The simplest nonzero Hamiltonian vector fields arise from linear functions $f$. For constants $c_q,c_p$, let

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