16.5 经典力学

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经典分析力学有两种基本形式：拉格朗日形式或哈密顿算子形式。两者都可以用微分几何的语言自然地表述，本节将对此作一概述。更多细节可参见 [2, 10–14] 和 [4, 第13章]。

变分法

读者至少应对变分法有初步了解，可参阅诸如[15]等应用数学标准教材。以下是对该主题的简要介绍，内容涉及流形上的参数曲线。

图 16.1 切丛

设 $M$ 为任意微分流形，$TM$ 为其切丛（参见 15.3 节；见图 16.1）。若 $\gamma :\mathbb{R}M$ 是 $M$ 上的一条光滑曲线，则定义其到 $TM$ 的提升为由该曲线的切向量所描绘出的曲线 $\dot{\gamma }:\mathbb{R}\to TM$，使得 $\dot{\gamma }(t)$ 是该曲线在 $\gamma (t)$ 处的切向量，且 $\pi (\dot{\gamma }(t))=\gamma (t)$

随文练习

证明：若 $X(t)$ 是曲线 $\dot{\gamma }(t)$ 的切线，则 ${\pi }_{\ast }X(t)=\dot{\gamma }(t)\in T_{\gamma (t)}(M)$

一个函数 $L:TM\to \mathbb{R}$ 称为 拉格朗日函数(Lagrangian function)，并且对于任意参数曲线 $\gamma :[t_0,t_1]\to M$，我们定义相应的 作用量(action) 为

$$S[\gamma ]={\int }_{t_0}^{t_1}L(\dot{\gamma }(t))dt.\text{\hspace{1em}(16.21)}$$

若 $(q^1,\dots ,q^n)$ 是 $M$ 上的局部坐标，则切丛 $TM$ 上诱导的局部坐标可写为 $(q^1,\dots ,q^n,{\dot{q}}^1,\dots ,{\dot{q}}^n)$。这种记号可能会让读者略感困惑，但物理学家非常喜欢它——量 ${\dot{\mathbf{q}}}^i$ 是相互独立的量，不应被视为 $q^i$ 的“导数”，除非给定一条具有坐标表示 $q^i=q^i(t)$ 的具体曲线 $\gamma$。在这种情况下，并且只有在这种情况下，我们沿曲线的 $lift\dot{\gamma }(t)$ 得到 ${\dot{q}}^i(t)=\mathrm{d}{q}^i(t)/\mathrm{d}t$。否则，${\dot{\mathbf{q}}}^i$ 指的是 $M$ 中坐标为 $q^j.\mathrm{A}$ 的点处切向量的所有可能分量。拉格朗日量可以写成 2$n$ 个变量的函数，$L(q^1,\dots ,q^n,{\dot{q}}^1,\dots ,{\dot{q}}^n)$

给定曲线 $\gamma :[t_0,t_1]\to M$ 的一个变分（见图 16.2）是指单参数曲线族 $\gamma :[t_0,t_1]\times [-a,a]M$，使得对于所有 $\lambda \in [-a,a]$

$$\gamma (t_0,\lambda )=\gamma (t_0)\text{ and }\gamma (t_1,\lambda )=\gamma (t_1)$$

图 16.2 曲线的变分

而由$\lambda =0$定义的族中的成员即为给定的曲线$\gamma$，

$$\gamma (t,0)=\gamma (t)\text{ for all }{t}_0\le t\le t_1.$$

对值域 $[t_0,t_1]$ 中的每个 $t$，我们通过 ${\gamma }_t(\lambda )=\gamma (t,\lambda )$ 定义连接曲线 ${\gamma }_t:[-a,a]M$。其沿曲线 $\lambda =0$ 的切向量记作 $\delta \gamma$，该切向量在 $t\in \left[t_0,t_1\right]$ 处的值由对任意函数 $f:M\to \mathbb{R}$ 的作用确定。

$$\delta {\gamma }_t(f)=\frac{\partial f({\gamma }_t(\lambda ))}{\partial \lambda }{|}_{\lambda =0}.\text{\hspace{1em}(16.22)}$$

这被称为沿曲线的变分域。在传统文献中，它被简称为“曲线的变分”。由于该族的所有曲线都在端点 $t=t_0,t_1$ 处相交，故式 (16.22) 右端的量消失，

$$\delta {\gamma }_{t_0}=\delta {\gamma }_{t_1}=0.\text{\hspace{1em}(16.23)}$$

变分场到切丛的提升是一条曲线 $\delta \dot{\gamma }:[t_0,t_1]\to T{M}_{:}$ ，它始于 $\gamma (t_0)$ 上方纤维中的零向量，并终止于 $\gamma (t_1)$ 上方纤维中的零向量。在坐标中。

$$\delta \dot{\gamma }(t)=\left(\delta q^1(t),\dots ,\delta q^n(t),\delta {\dot{q}}^1(t),\dots ,\delta {\dot{q}}^n(t)\right)$$

其中

$$\delta q^i(t)={\frac{\partial q^i(t,\lambda )}{\partial \lambda }|}_{\lambda =0},\delta {\dot{q}}^i(t)={\frac{\partial {\dot{q}}^i(t,\lambda )}{\partial \lambda }|}_{\lambda =0}=\frac{\partial \delta q^i(t)}{\partial t}.$$

作用量 $S[\gamma ]$ 成为 $\lambda$ 的函数，如果 $\gamma$ 被其变分 ${\gamma }_{\lambda }$ 替换。我们说曲线 $\gamma :[t_0,t_1]\to M$ 是极值曲线，如果对曲线的每一个变分

$$\delta S\equiv {\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}\lambda }|}_{\lambda =0}={\int }_{t_0}^{t_1}\delta L\mathrm{d}t=0\text{\hspace{1em}(16.24)}$$

其中

$$\begin{array}{l}\delta L\equiv \frac{\partial L({\dot{\gamma }}_{\lambda })}{\partial \lambda }{|}_{\lambda =0}\\ =⟨\mathrm{d}L|\delta \dot{\gamma }⟩\\ =\frac{\partial L}{\partial q^i}\delta q^i+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^i}\delta {\dot{q}}^i.\end{array}$$

将其代入式（16.24）并进行分部积分，得到

$$0=\delta S={\int }_{t_0}^{t_1}\left[\frac{\partial L}{\partial q^i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^i}\right)\right]\mathrm{d}t+{\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^i}\delta q^i|}_{t_0}^{t_1}.$$

最后一项由于 $\delta q^i=0\mathrm{at}t=t_0,t_1$ 而消失，并且由于 $\delta q^i(t)$ 本质上是区间 $[t_0,t_1]$ 上满足端点约束的任意函数，可以证明被积函数中的该项必须消失，

$$\frac{\partial L}{\partial q^i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^i}\right)=0.\text{\hspace{1em}(16.25)}$$

这些被称为欧拉–拉格朗日方程(Euler–Lagrange equations)。

例 16.5

在平面中，两个固定点之间的最短曲线是一条直线。为证明这一点，以长度作为作用量

$$S={\int }_{t_0}^{t_1}\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}dt.$$

令 $t=x$ 并用以替换˙，则只有一个变量 ${\mathbf{q}}^1=\mathbf{y}$，且拉格朗日量为 $L=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}$。欧拉–拉格朗日方程为

$$\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}}\right)=0$$

附解答

$$\frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}}=\text{ const. }$$

因此，对于某个常数 ${}^{a,}$，有 $y^{\prime }=a$，且极值曲线是一条直线 $y=ax+b$

拉格朗日力学

在牛顿力学中，一个由 $N$ 个粒子组成的动力系统由称为粒子质量的正实标量 $m_1,m_2,...,m_N$ 以及参数曲线 $t\mapsto {\mathbf{r}}_a={\mathbf{r}}_a(t)(a=1,2,...,N)$ 定义，其中每个 ${\mathbf{r}}_a\in {\mathbb{R}}^3$ 。参数 $t$ 被解释为时间。

系统的动能定义为

$$T=\frac{1}{2}\sum _{a=1}^N{m}_a{\dot{\mathbf{r}}}_a^2\text{ where }{\dot{\mathbf{r}}}_a=\frac{\mathrm{d}{\mathbf{r}}_a}{\mathrm{d}t}\text{ and }{\dot{\mathbf{r}}}_a^2={\dot{x}}_a^2+{\dot{y}}_a^2+{\dot{z}}_a^2.$$

我们还将假设保守系统，其中牛顿第二定律表述为

$$m_a{\ddot{\mathbf{r}}}_a=-{\nabla }_{a}U\equiv -\frac{\partial U({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2,\dots ,{\mathbf{r}}_N)}{\partial {\mathbf{r}}_a},\text{\hspace{1em}(16.26)}$$

其中给定函数 $U:{\mathbb{R}}^{3N}\to r$ 称为系统的势能。

一个约束系统由一个牛顿动力学系统、一个维数为$n\le 3N$的流形$M$以及一个称为约束的映射$C:M\to {\mathbb{R}}^{3N}$组成。在$M$上的局部坐标系$(V;(q^1,q^2,\dots ,q^n))$中，约束可以写成一组函数

$${\mathbf{r}}_a={\mathbf{r}}_a(q^1,q^2,\dots ,q^n)$$

$n$称为该约束系统的自由度数目。坐标$q^i(i=1,\dots ,n)$通常称为该约束系统的广义坐标(generalized coordinate)。它们甚至可用于无约束系统，此时$n=3N$且$V$是${\mathbb{R}}^{3N}$的开子流形；在这种情况下，我们本质上是用一般坐标表示原来的牛顿动力系统。始终假定$(M,C)$是${\mathbb{R}}^{3N}$的嵌入子流形，从而切映射$C_{\ast }$处处为单射。这意味着矩阵$[\partial {\mathbf{r}}_a/\partial q^i]$处处具有秩$n$（无临界点）。

使用链式法则

$${\dot{\mathbf{r}}}_a=\frac{\partial {\mathbf{r}}_a}{\partial q^i}{\dot{q}}^i\text{ where }{\dot{q}}^i=\frac{\mathrm{d}{q}^i}{\mathrm{d}t}$$

受约束系统的动能可写为

$$T=\frac{1}{2}{g}_{ij}{\dot{q}}^i{\dot{q}}^j\text{\hspace{1em}(16.27)}$$

其中

$$g_{ij}=\sum _{a=1}^N{m}_a\frac{\partial {\mathbf{r}}_a}{\partial q^i}\cdot \frac{\partial {\mathbf{r}}_a}{\partial q^j}.\text{\hspace{1em}(16.28)}$$

这是一个在坐标邻域 $V$ 上的 (0, 2) 型张量场，因为

$$g_{i^{\prime }{j}^{\prime }}^{\prime }=\sum _{a=1}^N{m}_a\frac{\partial {\mathbf{r}}_a}{\partial q^{\prime i^{\prime }}}\cdot \frac{\partial {\mathbf{r}}_a}{\partial q^{\prime j^{\prime }}}=g_{ij}\frac{\partial q^i}{\partial q^{\prime i^{\prime }}}\frac{\partial q^j}{\partial q^{\prime j^{\prime }}}.$$

在$q\in M$的每一点，我们都可以在切空间$T_q$上定义一个内积

$$g(u,v)\equiv u\cdot v=g_{ij}{u}^i{v}^j\text{ where }u=u^i\frac{\partial }{\partial q^i},v=v^j\frac{\partial }{\partial q^j},$$

它是正定的，因为

$$g(u,u)=\sum _{a=1}^N{m}_a{\left(\frac{\partial {\mathbf{r}}_a}{\partial q^i}{u}^i\right)}^2\ge 0$$

而值 0 仅当 ${\dot{u}}^i=0$ 时才可能，因为约束映射是嵌入且没有临界点。一个处处定义了正定内积的流形 $M$ 称为 黎曼流形(Riemannian manifold)；关于此类流形的进一步讨论将在第 18 章中找到。相关联的对称张量场 $g=g_{ij}:\mathrm{d}{q}^i\otimes \mathrm{d}{q}^j$ 称为度量张量。这些评述为以下定义提供了动机。

一个拉格朗日力学系统由一个$n$维黎曼流形$(M,g)$（称为位形空间(configuration space)）以及一个称为该系统拉格朗日量的函数$L:TM\to \mathbb{R}$组成。假定该拉格朗日量具有形式$L=T-U$，其中，对于任意$u=(q^i,{\dot{q}}^j)\in TM$

$$T(u)=\frac{1}{2}g(u,u)=\frac{1}{2}{g}_{ij}(q^1,\dots ,q^n){\dot{q}}^i{\dot{q}}^j$$

和

$$U(u)=U(\pi (u))=U(q^1,\dots ,q^n).$$

至于变分法，通常将写作 $L(q^1,\dots ,q^n,{\dot{q}}^1,\dots ,{\dot{q}}^n)$

前面的讨论表明，每个约束系统都可以视为一个拉格朗日力学系统，其 $U(q^1,\dots ,q^n)=U({\mathbf{r}}_1(q^i),\dots ,{\mathbf{r}}_N(q^i))$ 。代替牛顿定律式 (16.26)，我们假设哈密顿原理，即系统的每个运动 $t\mapsto \gamma (t)\equiv q^i(t)$ 都是由拉格朗日量 $L$ 确定的作用量的极值。

$$\delta S={\int }_{t_0}^{t_1}\delta L\mathrm{d}t=0.$$

运动方程于是为二阶微分方程，即式（16.25），

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^i}=0,L=T-U\text{\hspace{1em}(16.29)}$$

称为拉格朗日方程。

例 16.6

一个由$N$个无约束粒子组成的牛顿系统，${\mathbf{r}}_a=(x_a,y_a,z_a)$也可以视为一个具有$3N$个自由度的拉格朗日系统，如果我们设定

$$q^1=x_1,q^2=y_1,q^3=z_1,q^4=x_2,\dots ,q^{3N}=z_N.$$

度量张量是对角的，其中 $g_{11}=m_1,g_{22}=m_1,...,g_{44}=m_2,...,$ 等。拉格朗日方程 式 (16.29) 对于 $i=3a-2(a=1,2,\dots ,N)$ 读作

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_a}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_a}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m_a{\dot{x}}_a\right)+\frac{\partial U}{\partial x_a}=0,$$

即，

$$m_a{\ddot{x}}_a=-\frac{\partial U}{\partial x_a}$$

类似地

$$m_a{\ddot{y}}_a=-\frac{\partial U}{\partial y_a},m_a{\ddot{z}}_a=-\frac{\partial U}{\partial z_a}$$

与式（16.26）一致。

对于单个粒子，在球极坐标中，$q^1=r>0,0<q^2=\theta <\pi ,0<q^3=\varphi <2\pi$

$$x=r\sin \theta \cos \varphi ,y=r\sin \theta \sin \varphi ,z=r\cos \theta$$

动能是

$$T=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2\right)=\frac{m}{2}\left({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2+r^2{\sin }^2\theta {\dot{\varphi }}^2\right).$$

因此，度量张量$g$具有分量

$$[g_{ij}]=\left(\begin{array}{ccc}m{\dot{r}}^2& 0& 0\\ 0& m{r}^2{\dot{\theta }}^2& 0\\ 0& 0& m{r}^2{\sin }^2\theta {\dot{\varphi }}^2\end{array}\right)$$

中心势 $U=U(r)$ 的拉格朗日方程可写为

$$\begin{array}{c}m\ddot{r}-mr{\dot{\theta }}^2-mr{\sin }^2\theta {\dot{\varphi }}^2+\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}=0,\\ m\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r^2\dot{\theta })-m{r}^2\sin \theta \cos \theta {\dot{\varphi }}^2=0,\\ m\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r^2{\sin }^2\theta \dot{\varphi })=0.\end{array}$$

随文练习

写出约束在平面 $z=0$ 上的粒子在极坐标 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ 下的运动方程

例 16.7

平面摆的位形空间为 $M=S^1$，即一维圆周，可用两个图卡覆盖，$0<{\varphi }_1<2\pi$ 与 $-\pi <{\varphi }_2<\pi$，使得在重叠区域上它们由下式相联系

$$\begin{array}{l}{\theta }_2={\theta }_1\text{ for }0<{\theta }_1\le \pi \\ {\theta }_2={\theta }_1-2\pi \text{ for }\pi \le {\theta }_1<2\pi \end{array}$$

将该流形嵌入${\mathbb{R}}^3$的约束函数为

$$\begin{array}{ll}x=0,& y=-a\sin {\theta }_1,z=-a\cos {\theta }_1;\\ x=0,& y=-a\sin {\theta }_2,z=-a\cos {\theta }_2.\end{array}$$

对于 $\theta ={\theta }_1$ 或 $\theta ={\theta }_2$，我们有

$$T=\frac{m}{2}{a}^2{\dot{\theta }}^2,U=mgz=-mga\cos \theta ,L(\theta ,\dot{\theta })=T-U$$

并将其代入拉格朗日方程 式 (16.29)，其中 ${\mathbf{q}}^1=\mathbf{\theta }$，得到

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta }=m{a}^2\ddot{\theta }+mga\sin \theta =0.$$

对于较小的$\nabla \cdot {\theta }_{:}$值，摆接近竖直悬挂时，该方程近似为简谐振子方程

$$\ddot{\theta }+\frac{g}{a}\theta =0$$

周期为$\tau =2\pi \sqrt{g/a}$

图 16.3 双摆

例 16.8

球面摆与平面摆类似，但其位形流形是二维球面$S^2$。在球极坐标中，约束为

$$x=a\sin \theta \cos \varphi ,y=a\sin \theta \sin \varphi ,z=-a\cos \theta$$

至于例 16.6，我们发现

$$T=\frac{m}{2}{a}^2({\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta {\dot{\varphi }}^2),U=mgz=-mga\cos \theta .$$

随文练习

写出球面摆的拉格朗日方程

例 16.9

双摆由两个平面摆组成，其长度分别为 $a$、$b$，质量均为 $m$，一个悬挂在另一个的末端（见图 16.3）。其位形流形为二维环面 $M=S^1\times S^1=T^2$，约束函数为

$$x_1=x_2=0,y_1=-a\sin {\theta }_1,z_1=-a\cos {\theta }_1,$$ $$y_2=-a\sin {\theta }_1-b\sin {\theta }_2,z_2=-a\cos {\theta }_1-b\cos {\theta }_2.$$

动能是

$$\begin{array}{l}T=\frac{m}{2}\left({\dot{y}}_1^2+{\dot{z}}_1^2+{\dot{y}}_2^2+{\dot{z}}_2^2\right)\\ =\frac{m}{2}\left(2a^2{\dot{\theta }}_1^2+b^2{\dot{\theta }}_2^2+2ab\cos ({\theta }_1-\theta -2){\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2\right)\end{array}$$

而势能为 $U=-2mga$ $\cos$ ${\theta }_1-mgb$ $\cos$ ${\theta }_2$。

随文练习

写出本例双摆的拉格朗日方程

随文练习

写出质量不等的双摆的拉格朗日量，$m_1$ 和 $m_2$。

图16.4 刚体的自由度

例 16.10

刚体是一个受约束的粒子系统，约束条件为粒子间所有距离恒定，$|{\mathbf{r}}_a-{\mathbf{r}}_b|=c_{ab}=\mathrm{const}$。这些方程并非独立，因为其数目一般远大于${\mathbf{r}}_a$中分量的数目。自由度数目一般为六，可由以下论证看出。固定物体$A$中的一点，例如其质心，并赋予它三个直角坐标$\mathbf{R}=(X,Y,Z)$。刚体的任意其他点$B$与$A$的距离固定，因此被约束在围绕$A$的球面上运动。可以像球面摆那样赋予它两个球面角$\theta$、$\varphi$。唯一剩余的自由度是绕轴$AB$旋转一个角度，例如$\psi$。一旦指定这三个角，刚体的每一点便都确定了（见图16.4）。因此，刚体的位形流形是六维流形${\mathbb{R}}^3\times S^2\times S^1$。或者，刚体绕点$A$的自由度可由旋转群$SO(3)$的一个元素确定，而该元素可由三个欧拉角指定。这些是刚体最常用的广义坐标。细节可参见[12, 第6章]。

给定切向量 $u=\dot{\gamma }={\dot{q}}^i{\partial }_{q^i}$，与 $u$ 共轭的动量 1-形式定义为

$$⟨{\omega }_u,v⟩=g(u,v)=g_{ij}{\dot{q}}^i{v}^j.$$

令 ${\omega }_u=p_i\mathrm{d}{q}^i$，我们看到

$$p_i=g_{ij}{\dot{q}}^j=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^i}.\text{\hspace{1em}(16.30)}$$

最后一步要么通过对$L=\frac{1}{2}{g}_{ij}{\dot{q}}^i{\dot{q}}^j-U(q)$直接求导得到，要么通过对$T(q^j,\lambda {\dot{q}}^i)={\lambda }^{2}T(q^j,{\dot{q}}^i)$应用齐次函数的欧拉定理得到。动量1-形式的分量$p_i$由式(16.30)给出，称为与广义坐标$q^i$共轭的广义动量(generalized momentum)

随文练习

对于一般的拉格朗日量 $L$，不必具有 $T-U,$ 的形式，证明 $\omega =(\partial L/\partial {\dot{q}}^i)\mathrm{d}{q}^i$ 是 $M$ 上定义良好的 1-形式。

例 16.11

无约束粒子的广义动量 $\begin{array}{r}L=\frac{1}{2}m{\dot{\mathbf{r}}}^2-\end{array}U(\mathbf{r})$ 由下式给出

$$p_x=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x},p_y=\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=m\dot{y},p_z=\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}=m\dot{z},$$

它们是标准动量$\mathbf{p}=(p_x,p_y,p_z)=m\dot{\mathbf{r}}.$的分量

在球极坐标中

$$L=\frac{m}{2}({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2+r^2{\sin }^2\theta {\dot{\varphi }}^2)-U(r,\theta ,\varphi ),$$

因此

$$p_{\varphi }=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}=m{r}^2\dot{\varphi }{\sin }^2\theta .$$

这可以与角动量的$z$分量等同起来，

$$L_z=\mathbf{r}\times \mathbf{p}\cdot \hat{\mathbf{z}}=m(x\dot{y}-y\dot{x})=m\dot{\varphi }{r}^2{\sin }^2\theta .$$

一个普遍结果是，关于固定轴的角坐标的共轭动量就是关于该轴的角动量。

随文练习

前一个例子中的角 $\theta$ 没有固定的定义轴，除非 $\varphi =\mathrm{const}.$。在这种情况下，证明 $p_{\theta }=\mathbf{L}\cdot (-\cos \varphi ,\sin \varphi ,0)$ 并作几何解释。

例 16.12

如果拉格朗日量不显含某个特定的广义坐标 $q^k$，从而 $\partial L/\partial q^k=0$，则称该坐标为可遗坐标或 循环坐标(cyclic coordinate)。此时相应的广义动量 $p_k$ 是一个运动常量，因为第 $k$ 个拉格朗日方程为

$$0=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^k}-\frac{\partial L}{\partial q_k}=\frac{\mathrm{d}{p}_k}{\mathrm{d}t}.$$

这是更一般命题的一个特例，该命题称为诺特定理。

设 ${\phi }_s:M\to M$ 是 $M$ 上的局部单参数运动群，由下式生成向量场 $X$：

$$X_{q}f=\frac{\partial f({\phi }_s(q))}{\partial s}{|}_{s=0}.$$

切映射 ${\phi }_{\ast s}$ 在切丛上诱导出一个局部流，因为 ${\phi }_{\ast s}\circ {\phi }_{\ast t}=({\phi }_s{\phi }_t{)}_{\ast }={\phi }_{\ast (s+t)}$，并且如果对所有 $u\in TM$ 都有 $L({\phi }_{\ast s}u)=L(u)$，则称拉格朗日量在该局部单参数群下不变。诺特定理断言，量 $⟨{\omega }_u,X⟩$ 此时是一个运动常量。该结果在 $TM$ 上的自然坐标中最容易证明。

设 $q^i(t)$ 为拉格朗日方程的任意解，并令 $\mathbf{q}(s,t)={\phi }_s\mathbf{q}(t)$。对 $t$ 求导，我们得到

$$\dot{\mathbf{q}}(s,t)={\phi }_s\dot{\mathbf{q}}(t)=\frac{\partial \mathbf{q}(s,t)}{\partial t}$$

而拉格朗日量的不变性意味着，在 $s=0$ 处使用拉格朗日方程

$$\begin{array}{l}0=\frac{\partial L}{\partial s}{|}_{s=0}=\frac{\partial }{\partial s}(L(\mathbf{q}(s,t),\dot{\mathbf{q}}(s,t))){|}_{s=0}\\ =(\frac{\partial L}{\partial q^i}\frac{\partial q^i}{\partial s}+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^i}\frac{\partial {\dot{q}}^i}{\partial s}){|}_{s=0}\\ =\left(\frac{\partial }{\partial t}\right(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^i})\frac{\partial q^i}{\partial s}+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^i}\frac{{\partial }^2{q}^i}{\partial s\partial t}){|}_{s=0}\\ =\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^i}\frac{\partial q^i}{\partial s}\right){|}_{s=0}\\ =\frac{\partial }{\partial t}(p_i{X}^i).\end{array}$$

因此，沿着拉格朗日方程的任何解，我们都有一个运动积分

$$⟨{\omega }_u,X⟩=g_{ij}{\dot{q}}^i{X}^j=p_i{X}^j=\text{ const }.$$

单参数群常被称为系统的对称群，而诺特定理揭示了对称性与守恒定律之间的关系。

如果$q^k$是可忽略坐标，则单参数运动群

$${\phi }_s(\mathbf{q})=(q^1,\dots ,q^{k-1},q^k+s,q^{k+1},\dots ,q^n)$$

是拉格朗日量的一个不变群。它生成向量场 $X^i=\partial ({\phi }_s(\mathbf{q}){)}^i/\partial s{|}_{s=0}={\delta }_k^i$，而相应的运动常量是与可遗坐标共轭的广义动量 $p_i{X}^i=p_i{\delta }_k^i=p_k$。

哈密顿力学

一个2-形式$\Omega$被称为在$p\in M$处非退化，如果

$${\Omega }_p(X_p,Y_p)=0\text{ for all }{Y}_p\in T_p(M)⟹X_p=0.$$

至于内积的非奇异性概念（第5章），其为真当且仅当$\mathrm{if}$

$${\Omega }_p=A_{ij}{\left(\mathrm{d}{x}^i\right)}_p\wedge {\left(\mathrm{d}{x}^j\right)}_p\text{ where }{A}_{ij}=-A_{ji},\det [A_{ij}]\ne 0.$$

随文练习

证明该命题。

若存在非退化 2-形式，则流形 $M$ 的维数必为偶数 $m=2n$，因为 $\det A\det {\mathbf{A}}^T=\det (-\mathbf{A})=(-1{)}^m\det A$。$2n$ 维流形 $M$ 上的 辛结构(symplectic structure) 是一个闭的可微 2-形式 $\Omega$，且处处非退化。回忆闭的意味着处处有 $\mathrm{d}\Omega =0$。带有辛结构的偶数维流形 $M$ 称为 辛流形(symplectic manifold)。

如同在例7.6和7.7中那样，一个辛形式$\Omega$诱导出一个同构映射$\bar{\Omega }$：$T_p(M)\to T_p^{\ast }(M)$，其中余向量$\overline{{\mathbf{X}}_{\mathbf{p}}}=\bar{\Omega }{\mathbf{X}}_{\mathbf{p}}$由下式定义

$$⟨\overline{X_p},Y_p⟩\equiv ⟨\bar{\Omega }{X}_p,Y_p⟩=\Omega (X_p,Y_p).\text{\hspace{1em}(16.31)}$$

我们可以自然地将这一对应关系推广为向量场与微分1-形式 $X\overline{X}$ 之间的对应关系，使得对任意向量场 $Y$

$$⟨\overline{X},Y⟩=\Omega (X,Y).$$

由$Eq.$式（16.10），我们对任意向量场得到

$$\overline{X}=\frac{1}{2}{\mathrm{i}}_X\Omega .\text{\hspace{1em}(16.32)}$$

在分量中，${\overline{X}}_i=A_{ji}{X}^j$

我们将用相同的记号 $\overline{\omega }={\bar{\Omega }}^{-1}\omega$ 表示对应于一个1-形式的向量场，使得

$$⟨\omega ,Y⟩=\Omega (\overline{\omega },Y)\text{\hspace{1em}(16.33)}$$

对所有向量场 $Y$。若存在 $M$ 上的函数 $H$，使得 $X=\overline{\mathrm{d}H}$，或等价地 $\overline{X}=\mathrm{d}H$，则称向量场 $X$ 为 哈密顿向量场(Hamiltonian vector field)。函数 $H$ 称为生成该向量场的哈密顿算子。若函数 $f$ 是哈密顿向量场 $X=\overline{\mathrm{d}H}\mathrm{if}Xf=0$ 所生成相位流的第一积分，则称其为该相位流的第一积分。哈密顿算子 $H$ 是相位流的第一积分，因为

$$X(H)=⟨\mathrm{d}H,X⟩=⟨\mathrm{d}H,\overline{\mathrm{d}H}⟩=\Omega (\overline{\mathrm{d}H},\overline{\mathrm{d}H})=0$$

在式（16.33）中令$\omega =\mathrm{d}H$和$Y=\overline{\mathrm{d}H}$，并利用$\Omega$的反对称性。

任何函数 $f:M\to R$ 都称为 动力学变量(dynamical variable)。对于任意动力学变量 $f$，我们令 $X_f=\overline{\mathrm{d}}\overline{f}$ 为由 $f.$ 生成的哈密顿向量场。那么对于任意向量场 $Y$，

$$\Omega (X_f,Y)=⟨\overline{X_f},Y⟩=⟨\mathrm{d}f,Y⟩=Y(f),$$

并且我们有恒等式

$${\mathrm{i}}_{X_f}\Omega =2\mathrm{d}f.$$

定义两个动力学变量 $f$ 与 $g$ 的泊松括号为

$$(f,g)=\Omega (X_f,X_g),\text{\hspace{1em}(16.34)}$$

由此

$$(f,g)=⟨\mathrm{d}f,X_g⟩=X_{g}f=-X_{f}g=-(f,g).$$

在这些以及其他约定中，不同作者采用的符号约定几乎随意——因此要警惕此处给出的公式与其他书籍中的公式之间的任何差异！

由式 (16.13) 可得，$\mathrm{d}\Omega =0$ 蕴含

$${\mathcal{L}}_X\Omega ={\mathrm{i}}_X\mathrm{d}\Omega +\mathrm{d}\circ {\mathrm{i}}_X\Omega =\mathrm{d}({\mathrm{i}}_X\Omega ),$$

因此，辛形式沿任意哈密顿算子方向的李导数均为零，

$${\mathcal{L}}_{X_f}\Omega =2\mathrm{d}(\mathrm{d}f)=2{\mathrm{d}}^{2}f=0.$$

使用式 (16.12)，取 $X=X_f$ 和 $Y=Y_g$，我们得到

$${\mathrm{i}}_{[X_f,X_g]}\Omega ={\mathcal{L}}_{X_f}\left({\mathrm{i}}_{X_g}\Omega \right).$$

由式（16.8），

$${\mathrm{i}}_{[X_f,X_g]}\Omega =2{\mathcal{L}}_{X_f}\mathrm{d}g=2\mathrm{d}{\mathcal{L}}_{X_f}g=2\mathrm{d}(X_{f}g)={\mathrm{i}}_{X_{(g,f)}}\Omega ,$$

因此

$$[X_f,X_g]=X_{(g,f)}=-X_{(f,g)}.\text{\hspace{1em}(16.35)}$$

由雅可比恒等式（15.24）即可推出

$$((f,g),h)+((g,h),f)+((h,f),g)=0.\text{\hspace{1em}(16.36)}$$

随文练习

证明式（16.36）。

随文练习

证明 $(f,g)+(f,h)=(f,g+h)\mathrm{and}(f,gh)=g(f,h)+h(f,g).$

动力学变量 $f$ 沿哈密顿流的变化率由下式给出

$$\dot{f}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=X_{H}f=(f,H).\text{\hspace{1em}(16.37)}$$

因此，$f$ 是由哈密顿向量场 $X_H$ 生成的相位流的第一积分，当且仅当它与哈密顿算子“对易”，即其与 $H$ 的泊松括号为零，$(f,H)=0$。与量子力学（第14章）的类比是显而易见的。

随文练习

证明：若 $f$ 与 $g$ 均为第一积分，则 $(f,g)$ 也是第一积分。

例 16.13

设 $M={\mathbb{R}}^{2n}$，其坐标标记为 $(q^1,\dots ,q^n,p_1,\dots ,p_n)$。2-形式 $\Omega =2\mathrm{d}{q}^i\wedge \mathrm{d}{p}_i=\mathrm{d}{q}^i\otimes \mathrm{d}{p}_i-\mathrm{d}{p}_i\otimes \mathrm{d}{q}^i$ 具有常分量

$$\mathsf{A}=\left(\begin{array}{cc}\mathsf{O}& \mathsf{I}\\ -\mathsf{I}& \mathsf{O}\end{array}\right)$$

是一个辛结构，因为$\det \mathsf{A}=1$（一个简单的练习！）且它是闭的，

$$\mathrm{d}\Omega =2{\mathrm{d}}^2{q}^i\wedge \mathrm{d}{p}_i-\mathrm{d}{q}^i\wedge {\mathrm{d}}^2{p}_i=0.$$

若 $X$ 和 $Y$ 是分量构成的向量场

$$X={\xi }^i\frac{\partial }{\partial q^i}+{\xi }_j\frac{\partial }{\partial p_j},Y={\eta }^i\frac{\partial }{\partial q^i}+{\eta }_j\frac{\partial }{\partial p_j},$$

那么

$$⟨\overline{X},Y⟩=\Omega (X,Y)=(\mathrm{d}{q}^i\otimes \mathrm{d}{p}_i-\mathrm{d}{p}_i\otimes \mathrm{d}{q}^i)(X,Y)={\xi }^i{\eta }_i-{\xi }_i{\eta }^i$$

使得 1-形式 $\overline{\mathbf{X}}$ 具有分量

$$\overline{X}=-{\xi }_j\mathrm{d}{q}^j+{\xi }^i\mathrm{d}{p}_i.$$

哈密顿向量场$X$具有${\xi }_j=-\partial H/\partial q^i$和${\xi }^i=\partial H/\partial p_i$，因此

$$X=\overline{\mathrm{d}H}=X_H=\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial }{\partial q^i}-\frac{\partial H}{\partial q^j}\frac{\partial }{\partial p_j}.$$

曲线 $\gamma :\mathbb{R}M$ 是该向量场的积分曲线，如果函数 $q^i=q^i(t)p_j=p_j(t)$ 满足称为哈密顿方程的微分方程：

$$\frac{\mathrm{d}{q}^i}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial p_i},\frac{\mathrm{d}{p}_j}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial H}{\partial q^j}.\text{\hspace{1em}(16.38)}$$

泊松括号由下式给出

$$(f,g)=X_{g}f=(\frac{\partial g}{\partial p_i}\frac{\partial }{\partial q^i}-\frac{\partial g}{\partial q^j}\frac{\partial }{\partial p_j})f=\frac{\partial f}{\partial q^i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_j}\frac{\partial g}{\partial q^j}.$$

对于任意动力学变量 $f$，验证泊松括号关系是直接的

$$(q^i,f)=\frac{\partial f}{\partial p_i},(p_i,f)=-\frac{\partial f}{\partial q^i},\text{\hspace{1em}(16.39)}$$

由此可直接得到这些标准关系

$$(q^i,q^j)=0,(p_i,p_j)=0,(q^i,p_j)={\delta }_j^i.$$

拉格朗日力学与哈密顿力学之间的联系

若 $M$ 是任意维数 $n$ 的流形，则其由所有点处的全部余向量组成的余切丛 $T^{\ast }{M}_{:}$ 是 $2n$ 维流形。若 $(U;q^i)$ 是 $M,$ 上的任意坐标卡，则通过为 $q\in M$ 处的任意余向量 ${\omega }_q=p_i(\mathrm{d}{q}^i{)}_q$ 指定坐标 $(q^1,\dots ,q^n,p_1,\dots ,p_n)$，在 $T^{\ast }M$ 上生成一个坐标卡。自然投影映射 $\pi :T^{\ast }M\to M$ 的作用是将任意余向量送到其基点，$\pi ({\omega }_q)=q$。对应于该投影映射的切映射 ${\pi }_{\ast }:T_{{\omega }_q}(T^{\ast }M)\to T_q(M)$ 将每个切向量 $X_{{\omega }_q}\in T_{{\omega }_q}(T^{\ast }M)$ 映射为切向量 ${\pi }_{\ast }{X}_{{\omega }_q}\in T_q(M)$。在典范坐标中，令

$$X_{{\omega }_q}={\xi }^i\frac{\partial }{\partial q^i}+{\xi }_j\frac{\partial }{\partial p_j}$$

而对于任意函数 $f:M\to \mathbb{R}$，用坐标写为 $f(q^1,\dots ,q^n)$，我们有

$$\left({\pi }_{\ast }{X}_{{\omega }_q}\right)f(\mathbf{q})=X_{{\omega }_q}\left(f\circ \pi \right)(\mathbf{q},\mathbf{p})={\xi }^i\frac{\partial f(\mathbf{q})}{\partial q^i}+{\xi }_i\frac{\partial f(\mathbf{q})}{\partial p_i}$$

使得

$${\pi }_{\ast }{X}_{{\omega }_q}={\xi }^i\frac{\partial }{\partial q^i}.$$

这通过设定定义了 $T^{\ast }M$ 上的一个典范 1-形式 $\theta$

$${\theta }_{{\omega }_q}(X_{{\omega }_q})\equiv ⟨{\theta }_{{\omega }_q},X_{{\omega }_q}⟩=⟨{\omega }_q,{\pi }_{\ast }{X}_{{\omega }_q}⟩.$$

或者，我们可以将 $\theta$ 视为拉回 ${\theta }_{{\omega }_q}={\pi }^{\ast }{\omega }_q\in T{\ast }_{{\omega }_q}(T^{\ast }M)$，对于

$$⟨{\pi }^{\ast }{\omega }_q,X_{{\omega }_q}⟩=⟨{\omega }_q,{\pi }_{\ast }{X}_{{\omega }_q}⟩={\theta }_{{\omega }_q}(X_{{\omega }_q})$$

对于任意的 $X_{{\omega }_q}\in T_{{\omega }_q}(T^{\ast }M)$。写出 ${\omega }_q=p_i\mathrm{d}{q}^i$，我们于是有 $⟨{\theta }_{{\omega }_q},X_{{\omega }_q}⟩=p_i{\xi }^i$，因此在任意典范坐标图 $(U\times {\mathbb{R}}^n;q^1,\dots ,q^n,p_1,\dots ,p_n)$ 中

$$\theta =p_i\mathrm{d}{q}^i.\text{\hspace{1em}(16.40)}$$

2-形式

$$\Omega =-2\mathrm{d}\theta =2\mathrm{d}{q}^i\wedge \mathrm{d}{p}_i\text{\hspace{1em}(16.41)}$$

与例 16.13 中的形式相同，并在任意流形 $M$ 的余切丛上给出一个自然的辛结构。

给定一个具有位形空间 ($M$, $g$) 和拉格朗日函数 $L=T-U:TM\to \mathbb{R}$ 的拉格朗日系统，其中

$$T(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})=\frac{1}{2}{g}_{ij}(\mathbf{q}){\dot{q}}^i{\dot{q}}^j,U=U(\mathbf{q})$$

由 $M$ 上的动量 1-形式构成的余切丛 $T^{\ast }M$，称为系统的 相空间(phase space)。坐标 $p_i$ 与 ${\dot{q}}^j$ 由式 (16.30) 相联系，因此速度分量可以用广义动量表示，${\dot{q}}^j=g^{jk}{p}_k$，其中 $g^{jk}{g}_{ki}={\delta }_{i:}^j$，而拉格朗日方程 式 (16.29) 可以写成

$${\dot{p}}_i=\frac{\partial L}{\partial q^i}.$$

我们的首要任务是找到一个哈密顿算子 $H:T^{\ast }M\to \mathbb{R}$，记作 $H(q^1,\dots ,q^n{p}_1,\dots ,p_n)$，使得系统在相空间中的运动方程具有例 16.13 中哈密顿方程 式 (16.38) 的形式。哈密顿算子 $H$ 必须具有外微分

$$\begin{array}{l}\mathrm{d}H=\frac{\partial H}{\partial q^i}\mathrm{d}{q}^i+H{p}_i\mathrm{d}{p}_i\\ =-{\dot{p}}_i\mathrm{d}{q}^i+{\dot{q}}^i\mathrm{d}{p}_i\\ =-\frac{\partial L}{\partial q^i}\mathrm{d}{q}^i+\mathrm{d}({\dot{q}}^i{p}_i)-p_i\mathrm{d}{\dot{q}}^i\\ =\mathrm{d}({\dot{q}}^i{p}_i)-\left(\frac{\partial L}{\partial q^i}\mathrm{d}{q}^i+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^j}\mathrm{d}{\dot{q}}^j\right)\\ =\mathrm{d}({\dot{q}}^i{p}_i-L)\end{array}$$

因此，在任意常数范围内

$$H={\dot{q}}^i{p}_i-L=g_{ij}{\dot{q}}^i{\dot{q}}^j-L=2T-(T-U)=T+U=E.$$

因此，哈密顿算子是系统的能量，用$T^{\ast }M$上的正则坐标表示。

除了将力学方程表示为一阶方程组之外，哈密顿观点的优点之一是，使辛形式取例 16.13 中给定形式的坐标不必局限于由切丛构造生成的典范坐标。例如，设 $(q^i,p_j)({\bar{q}}^i,{\bar{p}}_j)$ ) 为任意坐标变换，使得典范 1-形式 $\theta =p_i$ $\mathrm{d}{q}^i$ 与 $\bar{\theta }={\bar{p}}_i\mathrm{d}{\bar{q}}^i$ 生成相同的辛形式，

$$\bar{\Omega }=-2\mathrm{d}\bar{\theta }=\Omega =-2\mathrm{d}\theta$$

使得对于 $T^{\ast }M$ 上的某个函数 $F$，有 $\bar{\theta }=\theta -\mathrm{d}F$

随文练习

证明 ${\bar{p}}_i\frac{\partial {\bar{q}}^i}{\partial p_j}=-\frac{\partial F}{\partial p_j},{\bar{p}}_i\frac{\partial {\bar{q}}^i}{\partial q^j}=p_j-\frac{\partial F}{\partial q^j}.$

由于 $\Omega =\bar{\Omega }$，由任意动力学变量 $f,$ 生成的哈密顿向量场对于这两种形式是相同的，$X_f={\bar{X}}_f$，因为对于 $T^{\ast }M$ 上的任意向量场 $Y$

$$\bar{\Omega }({\bar{X}}_f,Y)=Yf=\Omega (X_f,Y).$$

因此，泊松括号在此坐标变换下保持不变，对于

$$(f,g{)}_{\bar{q},\bar{p}}={\bar{X}}_{g}f=X_{g}f=(f,g{)}_{g,p}.$$

这一结果通过变量替换可以直接证明，正如一些标准分析力学教材中所做的那样。利用式 式 (16.37) 和 式 (16.39)，我们于是有

$$\frac{\mathrm{d}{\bar{q}}^i}{\mathrm{d}t}=({\bar{q}}^i,H{)}_{q,p}=({\bar{q}}^i,H{)}_{\bar{q},\bar{p}}=\frac{\partial H}{\partial {\bar{p}}_i},$$ $$\frac{\mathrm{d}{\bar{p}}_i}{\mathrm{d}t}=({\bar{p}}_i,H{)}_{q,p}=({\bar{p}}_i,H{)}_{\bar{q},\bar{p}}=-\frac{\partial H}{\partial {\bar{q}}^i},$$

而哈密顿方程在此类变换下保持不变。这些变换称为齐次接触变换(homogeneous contact transformation)。

更一般地，设 $H(q^1,\dots ,q^n,p_1,\dots ,p_n,t)$ 是定义在扩展相空间 $T^{\ast }M\times \mathbb{R}$ 上的含时哈密顿算子，其中 $R$ 表示时间变量 $t$，并设 $\lambda$ 为接触1-形式，

$$\lambda =p_i\mathrm{d}{q}^i-H\mathrm{d}t.$$

若 $T^{\ast }\bar{M}\to \mathbb{R}$ 是另一个同维数的扩展相位，具有正则坐标 ${\bar{q}}^i,{\bar{p}}_i$ 和哈密顿算子 $\bar{H}(\bar{\mathbf{q}},\bar{\mathbf{p}},t)$，则微分同胚 $\varphi :T^{\ast }M\times \mathbb{R}\to T^{\ast }\bar{M}\to R$ 称为 接触变换(contact transformation) $i\dot{\phi }{\varphi }^{\ast }\mathbf{d}\bar{\lambda }=\mathbf{d}\lambda$。由于 ${\varphi }^{\ast }\circ \mathsf{d}=\mathsf{d}\circ \varphi$，在任意一点的邻域内存在 $T^{\ast }M\times \mathbb{R}$ 上的函数 $F$，使得 ${\varphi }^{\ast }\bar{\lambda }=\lambda -\mathrm{d}F$。若我们将函数 $F$ 写成依赖于变量 $q^i$ 和 ${\bar{q}}^i$ 的形式，这在局部通常是可能的，

$${\bar{p}}_i\mathrm{d}{\bar{q}}^i-\bar{H}\mathrm{d}t=p_i\mathrm{d}{q}^i-H\mathrm{d}t-\frac{\partial F}{\partial q^i}\mathrm{d}{q}^i-\frac{\partial F}{\partial {\bar{q}}^i}\mathrm{d}{\bar{q}}^i-\frac{\partial F}{\partial t}\mathrm{d}t$$

于是我们得到经典正则变换方程

$${\bar{p}}_i=-\frac{\partial F}{\partial {\bar{q}}^i},p_i=\frac{\partial F}{\partial q^i},\bar{H}=H+\frac{\partial F}{\partial t}.$$

若 $\bar{H}=0$，则哈密顿方程的解显然具有 ${\bar{q}}^i=const.,{\bar{p}}_i=$ 常数的形式。为求变换到该系统的函数 $F$，我们寻求一阶偏微分方程的通解，该方程称为 哈密顿–雅可比方程(Hamilton–Jacobi equation)，

$$\frac{\partial S(q^1,\dots ,q^n,c^1,\dots ,c^n,t)}{\partial t}+H\left(q^1,\dots ,q^n,\frac{\partial S}{\partial q^1},\dots ,\frac{\partial S}{\partial q^n}\right)=0,\text{\hspace{1em}(16.42)}$$

且集合 $F(q^1,\dots ,q^n,{\bar{q}}^1,\dots ,{\bar{q}}^n)=S(q^1,\dots ,q^n,{\bar{q}}^1,\dots ,{\bar{q}}^n)$