1.1 分析力学

我们介绍拉格朗日形式与哈密顿形式的一些基本原理，这些原理是理解量子力学所必需的。

1.1.1 牛顿力学

考虑一个质量为 $m$ 的质点在三维空间中的运动，设 $x(t)$ 表示 $m$ 在时刻 $t$¹ 的位置。假设该质点在外力 $F(x)$ 的作用下运动，则 $x(t)$ 满足二阶微分方程

$$m\frac{{\mathrm{d}}^2\mathbf{x}(t)}{\mathrm{d}{t}^2}=\mathbf{F}(\mathbf{x}(t))\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

该方程称为牛顿方程(Newton’s equation)，或运动方程(equation of motion)。

若力 $F(x)$ 可用标量函数 $V(x)$ 表示为 $F(x)=-\nabla V(x)$，则称该力为保守力(conserved force)，并称函数 $V(x)$ 为势能(potential energy)，或简称为势(potential)。当 $F$ 为保守力时，组合量

$$E=\frac{m}{2}{\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}\right)}^2+V(\mathbf{x})\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

是守恒的。事实上，

$$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\sum _{k=x,y,z}\left[m\frac{\mathrm{d}{x}_k}{\mathrm{d}t}\frac{{\mathrm{d}}^2{x}_k}{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{\partial V}{\partial x_k}\frac{\mathrm{d}{x}_k}{\mathrm{d}t}\right]=\sum _k\left(m\frac{{\mathrm{d}}^2{x}_k}{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{\partial V}{\partial x_k}\right)\frac{\mathrm{d}{x}_k}{\mathrm{d}t}=0$$

其中用到了运动方程。函数 $E$ 通常等于动能与势能之和，称为能量(energy)。

例 1.1 · 一维谐振子

设坐标为 $x$，并设作用在 $m$ 上的力为 $F(x)=-kx$，其中 $k$ 为常数。该力是保守力。事实上，由 $V(x)=\frac{1}{2}k{x}^2$ 可得 $F(x)=-\mathrm{d}V(x)/\mathrm{d}x=-kx$。一般地，任何只依赖于 $x$ 的一维力 $F(x)$ 都是保守力，其势能由下式给出

$$V(x)=-{\int }^{x}F(\xi )\mathrm{d}\xi .$$

非保守力的一个例子是摩擦力 $F=-\eta \mathrm{d}x/\mathrm{d}t$。以下我们只讨论保守力。

1.1.2 拉格朗日形式

牛顿力学存在以下困难：

1. 这种形式建立在矢量式 (1.1)之上，除非采用正交坐标系，否则不太容易处理。
2. 牛顿方程是二阶方程，系统的整体性质不易看出。
3. 对称性的分析并不容易。
4. 约束难以纳入考虑。

此外，量子力学无法直接由牛顿力学导出。为克服这些困难，下面引入拉格朗日形式。

考虑一个系统，其状态（例如各质点的位置）由 $N$ 个参数 $\{q_i\}$（$1\le i\le N$）描述。该参数是某个空间 $M$² 中的元素。空间 $M$ 称为位形空间(configuration space)，而 $\{q_i\}$ 称为广义坐标(generalized coordinate)。例如，若考虑一个在圆周上运动的质点，则广义坐标 $q$ 是一个角度 $\theta$，而位形空间 $M$ 是一个圆周。广义速度(generalized velocity)定义为 ${\dot{q}}_i=\mathrm{d}{q}_i/\mathrm{d}t$。

拉格朗日量 $L(q,\dot{q})$ 是一个函数，其定义将在后面由哈密顿原理给出。我们大多只限于一维空间，但推广到高维空间应当是显然的。考虑一个质点的轨迹 $q(t)$（$t\in [t_i,t_f]$），并满足条件 $q(t_i)=q_i$ 与 $q(t_f)=q_f$。考虑一个泛函³

$$S[q(t),\dot{q}(t)]={\int }_{t_i}^{t_f}L(q,\dot{q})\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

称为作用量(action)。给定轨迹 $q(t)$ 与 $\dot{q}(t)$，作用量 $S[q,\dot{q}]$ 就给出一个实数。哈密顿原理又称最小作用量原理，它断言：物理上实际实现的轨迹对应于作用量的一个极值。于是，拉格朗日量必须选得使哈密顿原理得到满足。

把哈密顿原理写成微分方程这样的局部形式会很方便。设 $q(t)$ 是使 $S$ 取极值的一条路径。考虑轨迹的一个变分 $\delta q(t)$，并满足 $\delta q(t_i)=\delta q(t_f)=0$。在这一变分下，作用量的改变为

$$\begin{array}{rl}\delta S& ={\int }_{t_i}^{t_f}L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q})dt-{\int }_{t_i}^{t_f}L(q,\dot{q})dt\\ & ={\int }_{t_i}^{t_f}\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\delta q\mathrm{d}t\end{array}\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

它必须为零，因为 $q$ 使 $S$ 取极值。由于这对任意的 $\delta q$ 都成立，(1.4) 最后一行的被积函数必须为零。于是便得到欧拉-拉格朗日方程(Euler-Lagrange equation)

$$\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

若有 $N$ 个自由度，则得到

$$\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}=0(1\le k\le N).\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

若引入与坐标 $q_k$ 共轭的广义动量(generalized momentum)，定义为

$$p_k=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}\text{\hspace{1em}(1.7)}$$

则欧拉-拉格朗日方程取如下形式

$$\frac{\mathrm{d}{p}_k}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial L}{\partial q_k}.\text{\hspace{1em}(1.8)}$$

要求这一方程约化为牛顿方程，便可很快确定普通力学中质点拉格朗日量的可能形式。令 $L=\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2-V(q)$。把该拉格朗日量代入欧拉-拉格朗日方程，容易证明它约化为牛顿运动方程，

$$m{\ddot{q}}_k+\frac{\partial V}{\partial q_k}=0.\text{\hspace{1em}(1.9)}$$

以一维谐振子为例。其拉格朗日量为

$$L(x,\dot{x})=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}k{x}^2\text{\hspace{1em}(1.10)}$$

由此可得 $m\ddot{x}+kx=0$

为便于后文讨论，引入泛函导数的概念是方便的。为简单起见，考虑只有一个自由度的情况。定义 $S$ 对 $q$ 的泛函导数为

$$\frac{\delta S[q,\dot{q}]}{\delta q(s)}\equiv \underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\left\{S[q(t)+\epsilon \delta (t-s),\dot{q}(t)+\epsilon \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta (t-s)]-S[q(t),\dot{q}(t)]\right\}}{\epsilon }.\text{\hspace{1em}(1.11)}$$

由于

$$\begin{array}{rl}& S\left[q(t)+\epsilon \delta (t-s),\dot{q}(t)+\epsilon \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta (t-s)\right]\\ & =\int \mathrm{d}tL\left(q(t)+\epsilon \delta (t-s),\dot{q}(t)+\epsilon \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta (t-s)\right)\\ & =\int \mathrm{d}tL(q,\dot{q})+\epsilon \int \mathrm{d}t\left(\frac{\partial L}{\partial q}\delta (t-s)+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta (t-s)\right)+\mathcal{O}({\epsilon }^2)\\ & =S[q,\dot{q}]+\epsilon \left(\frac{\partial L}{\partial q}(s)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(s)\right)+\mathcal{O}({\epsilon }^2),\end{array}$$

欧拉-拉格朗日方程便可写成

$$\frac{\delta S}{\delta q(s)}=\frac{\partial L}{\partial q}(s)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)(s)=0.\text{\hspace{1em}(1.12)}$$

下面我们在拉格朗日形式体系的框架下考察对称性。设拉格朗日量 $L$ 不依赖于某个坐标 $q_k$⁴。这样的坐标称为循环坐标(cyclic coordinate)。与循环坐标共轭的动量是守恒的。事实上，条件 $\partial L/\partial q_k=0$ 导致

$$\frac{\mathrm{d}{p}_k}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}=\frac{\partial L}{\partial q_k}=0.\text{\hspace{1em}(1.13)}$$

这一论证可以在数学上进一步展开如下。设拉格朗日量 $L$ 具有一个可连续参数化的对称性。更确切地说，这意味着作用量 $S=\int \mathrm{d}tL$ 在作用于 $q_k(t)$ 的对称操作下不变。考虑路径 $q_k(t)$ 上的一个无穷小对称操作 $q_k(t)\to q_k(t)+\delta q_k(t)$⁵。这意味着，若 $q_k(t)$ 是使作用量取极值的路径，则 $q_k(t)\to q_k(t)+\delta q_k(t)$ 也对应一个极值。由于 $S$ 在这一变换下不变，由此可得

$$\delta S={\int }_{t_i}^{t_f}\sum _k\delta q_k\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}\right)+\sum _k{\left[\delta q_k\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}\right]}_{t_i}^{t_f}=0.$$

中间表达式的第一项为零，因为 $q$ 是欧拉-拉格朗日方程的解。于是我们得到

$$\sum _k\delta q_k\left(t_i\right)p_k\left(t_i\right)=\sum _k\delta q_k\left(t_f\right)p_k\left(t_f\right)\text{\hspace{1em}(1.14)}$$

这里用到了 $p_k=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}$ 的定义。由于 $t_i$ 与 $t_f$ 都是任意的，该式表明量 ${\sum }_k\delta q_k(t)p_k(t)$ 实际上与 $t$ 无关，因而是守恒的。

例 1.2

考虑一个质量为 $m$ 的质点，它在由球对称势 $V(r)$ 产生的力作用下运动，其中 $r,\theta ,\varphi$ 是三维极坐标。拉格朗日量为

$$L=\frac{1}{2}m[{\dot{r}}^2+r^2({\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta {\dot{\varphi }}^2)]-V(r).$$

注意 $q_k=\varphi$ 是循环坐标，由此得到守恒定律

$$\delta \varphi \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}\propto m{r}^2{\sin }^2\theta \dot{\varphi }=\text{常数}.$$

这正是绕 $z$ 轴的角动量。用类似的论证可以证明，绕 $x$ 轴和 $y$ 轴的角动量也是守恒的。

下面作几点说明：

- 设 $Q(q)$ 是 $q$ 的任意函数。那么拉格朗日量 $L$ 与 $L+\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t$ 给出相同的欧拉-拉格朗日方程。事实上，

$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial }{\partial q_k}\left(L+\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}\right)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_k}\left(L+\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}\right)\right]\\ & =\frac{\partial L}{\partial q_k}+\frac{\partial }{\partial q_k}\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_k}\left(\sum _j\frac{\partial Q}{\partial q_j}{\dot{q}}_j\right)\\ & =\frac{\partial }{\partial q_k}\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial Q}{\partial q_k}=0.\end{array}$$

- 一个有趣的观察是：牛顿力学被表述为作用量的极值，但作用量本身对任意轨迹都有定义。这一事实在量子理论的路径积分表述中起着重要作用。

1.1.3 哈密顿形式

拉格朗日形式给出的是二阶常微分方程（ODE）。与此相反，哈密顿形式给出的运动方程对时间导数而言是一阶的，因此我们可以在后文定义的相空间中引入流。

然而更重要的是，在哈密顿形式中我们可以使辛结构显现出来，这一点将在后文如例 5.12所示。

设给定一个拉格朗日量 $L$。那么相应的哈密顿量(Hamiltonian)通过变量的勒让德变换引入，即

$$H(q,p)\equiv \sum _k{p}_k{\dot{q}}_k-L(q,\dot{q}),\text{\hspace{1em}(1.15)}$$

其中利用动量的定义 $p_k=\partial L(q,\dot{q})/\partial {\dot{q}}_k$，在左端（LHS）用 $p$ 消去了 $\dot{q}$。为使这一变换有定义，雅可比行列式必须满足

$$\det \left(\frac{\partial p_i}{\partial {\dot{q}}_j}\right)=\det \left(\frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\dot{q}}_i{\dot{q}}_j}\right)\ne 0.$$

以 $(q_k,p_k)$ 为坐标的空间称为相空间。

下面考虑由 $\delta q_k$ 和 $\delta p_k$ 引起的哈密顿量的无穷小变化，

$$\begin{array}{rl}\delta H& =\sum _k\left[\delta p_k{\dot{q}}_k+p_k\delta {\dot{q}}_k-\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k-\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}\delta {\dot{q}}_k\right]\\ & =\sum _k\left[\delta p_k{\dot{q}}_k-\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k\right].\end{array}$$

由这一关系可得

$$\frac{\partial H}{\partial p_k}={\dot{q}}_k,\frac{\partial H}{\partial q_k}=-\frac{\partial L}{\partial q_k}\text{\hspace{1em}(1.16)}$$

这不过就是独立变量的替换而已。若利用欧拉-拉格朗日方程替换第二式的左端（LHS），便可由这些方程得到哈密顿运动方程，

$${\dot{q}}_k=\frac{\partial H}{\partial p_k}{\dot{p}}_k=-\frac{\partial H}{\partial q_k}.\text{\hspace{1em}(1.17)}$$

例 1.3

考虑一个一维谐振子，其拉格朗日量为 $L=\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2-\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2$，其中 ${\omega }^2=k/m$。与 $q$ 共轭的动量为 $p=\partial L/\partial \dot{q}=m\ddot{q}$，由此可解出 $\dot{q}$，得到 $\dot{q}=p/m$。经典哈密顿函数为

$$H(q,p)=p\dot{q}-L(q,\dot{q})=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2.\text{\hspace{1em}(1.18)}$$

哈密顿运动方程为：

$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=-m{\omega }^{2}q\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=\frac{p}{m}.\text{\hspace{1em}(1.19)}$$

设 $A(q,p)$ 与 $B(q,p)$ 是定义在经典哈密顿函数 $H$ 的相空间上的两个函数，则泊松括号 $[A,B]$ 定义为⁶

$$[A,B]=\sum _k\left(\frac{\partial A}{\partial q_k}\frac{\partial B}{\partial p_k}-\frac{\partial A}{\partial p_k}\frac{\partial B}{\partial q_k}\right).\text{\hspace{1em}(1.20)}$$

练习 1.1

证明泊松括号是一种李括号，即它满足

$$[A,c_1{B}_1+c_2{B}_2]=c_1[A,B_1]+c_2[A,B_2]\text{线性性}\text{\hspace{1em}(1.21a)}$$

$$[A,B]=-[B,A]\text{反对称性}\text{\hspace{1em}(1.21b)}$$

$$[[A,B],C]+[[C,A],B]+[[B,C],A]=0\text{雅可比恒等式。}\text{\hspace{1em}(1.21c)}$$

基本的泊松括号为

$$[p_i,p_j]=[q_i,q_j]=0[q_i,p_j]={\delta }_{ij}.\text{\hspace{1em}(1.22)}$$

值得注意的是，物理量 $A(q,p)$ 的时间演化可以用泊松括号表示为

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}& =\sum _k\left(\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}{q}_k}\frac{\mathrm{d}{q}_k}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}{p}_k}\frac{\mathrm{d}{p}_k}{\mathrm{d}t}\right)\\ & =\sum _k\left(\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}{q}_k}\frac{\partial H}{\partial p_k}-\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}{p}_k}\frac{\partial H}{\partial q_k}\right)\\ & =[A,H].\end{array}\text{\hspace{1em}(1.23)}$$

若出现 $[A,H]=0$ 的情形，则量 $A$ 是守恒的，即 $\mathrm{d}A/\mathrm{d}t=0$。哈密顿运动方程本身也可写成

$$\frac{\mathrm{d}{p}_k}{\mathrm{d}t}=\left[p_k,H\right]\frac{\mathrm{d}{q}_k}{\mathrm{d}t}=\left[q_k,H\right].\text{\hspace{1em}(1.24)}$$

定理 1.1 · 诺特定理

设 $H(q_k,p_k)$ 是在无穷小坐标变换 $q_k\to q_k^{\prime }=q_k+\epsilon f_k(q)$ 下不变的经典哈密顿函数，则

$$Q=\sum _k{p}_k{f}_k(q)\text{\hspace{1em}(1.25)}$$

是守恒量。

证明

由定义有 $H(q_k,p_k)=H(q_k^{\prime },p_k^{\prime })$。由 $q_k^{\prime }=q_k+\epsilon f_k(q)$ 可知，与该坐标变换相联系的雅可比行列式为

$${\Lambda }_{ij}=\frac{\partial q_i^{\prime }}{\partial q_j}\simeq {\delta }_{ij}+\epsilon \frac{\partial f_i(q)}{\partial q_j}$$

精确到 $\mathcal{O}(\epsilon )$。动量在此坐标变换下变换为

$$p_i\to \sum _j{p}_j{\Lambda }_{ji}^{-1}\simeq p_i-\epsilon \sum _j{p}_j\frac{\partial f_j}{\partial q_i}.$$

于是可得

$$\begin{array}{rl}0& =H\left(q_k^{\prime },p_k^{\prime }\right)-H\left(q_k,p_k\right)\\ & =\frac{\partial H}{\partial q_k}\epsilon f(q)-\frac{\partial H}{\partial p_j}\epsilon p_i\frac{\partial f_i}{\partial q_j}\\ & =\epsilon \left[\frac{\partial H}{\partial q_k}{f}_k(q)-\frac{\partial H}{\partial p_j}{p}_i\frac{\partial f_i}{\partial q_j}\right]\\ & =\epsilon [H,Q]=\epsilon \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t},\end{array}$$

这表明 $Q$ 是守恒量。

$\square$

这个定理表明，求一个守恒量，等价于求一个使经典哈密顿函数保持不变的变换。

守恒量 $Q$ 就是所讨论的变换的“生成元”。事实上，

$$[q_i,Q]=\sum _k\left[\frac{\partial q_i}{\partial q_k}\frac{\partial Q}{\partial p_k}-\frac{\partial q_i}{\partial p_k}\frac{\partial Q}{\partial q_k}\right]=\sum _k{\delta }_{ik}{f}_k(q)=f_i(q)$$

这表明 $\delta q_i=\epsilon f_i(q)=\epsilon [q_i,Q]$ 。

下面举几个例子。设 $H=p^2/2m$ 为自由粒子的经典哈密顿函数。由于 $H$ 不依赖于 $q$ ，它在变换 $q\mapsto q+\epsilon \cdot 1$ 、$p\mapsto p$ 下不变。因此，$Q=p\cdot 1=p$ 是守恒量。这个守恒量 $Q$ 就是线动量(linear momentum)。

例 1.4

考虑一个质量为 $m$ 的粒子在二维平面内运动，所受势为轴对称势 $V(r)$ 。其拉格朗日量为

$$L(r,\theta )=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\varphi }}^2)-V(r).$$

正则共轭动量为：

$$p_r=m\dot{r}{p}_{\theta }=m{r}^2\dot{\theta }.$$

哈密顿函数为

$$H=p_r\dot{r}+p_{\theta }\dot{\theta }-L=\frac{p_r^2}{2m}+\frac{p_{\theta }^2}{2m{r}^2}+V(r).$$

这个哈密顿函数显然不依赖于 $\theta$ ，因而在变换

$$\theta \mapsto \theta +\epsilon \cdot 1,p_{\theta }\mapsto p_{\theta }.$$

下是不变的。相应的守恒量为

$$Q=p_{\theta }\cdot 1=m{r}^2\dot{\theta }$$

即角动量(angular momentum)。

尾注

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Footnotes

1. 我们把质量为 $m$ 的质点简称为“$m$ 的质点”。 ↩

2. 更确切地说，是一个流形，见第 5 章。 ↩

3. 泛函(functional)是函数的函数。函数 $f(\bullet )$ 对给定的数 $x$ 给出一个数 $f(x)$。类似地，泛函 $F[\bullet ]$ 对给定的函数 $f(x)$ 指定一个数 $F[f]$。 ↩

4. 当然，$L$ 可能依赖于 ${\dot{q}}_k$。否则，坐标 $q_k$ 就根本不是我们所关心的了。 ↩

5. 由于对称性是连续的，因此总可以定义这样的无穷小操作。不用说，在此情形下 $\delta q(t_i)$ 与 $\delta q(t_f)$ 一般并不为零。 ↩

6. 以后引入算符的$[A,B]$对易关系时，为避免混淆，泊松括号将记作$[A,B{]}_{\mathrm{PB}}$。 ↩