19.1 李群

English

在第 10.8 节中，我们将拓扑群定义为一个群 $G$，它同时也是一个拓扑空间，使得映射 $\psi :(g,h)\mapsto g{h}^{-1}$ 连续。如果 $G$ 具有可微流形的结构且 $\psi$ 是光滑映射，则称其为 李群(Lie group)。第 10.8 节中给出的用以证明映射 $\varphi :(g,h)\mapsto gh$ 和 $\tau :g\mapsto g^{-1}$ 均连续的论证，可以容易地推广以证明在李群的情形下二者均可微。映射 $\tau$ 显然是 $G$ 的微分同胚，因为 ${\tau }^{-1}=\tau$。李群理论中证明的细节有时会变得相当技术化。当完整证明不具过多启发性时，我们常常 采用 概述性的证明。细节可在许多文献中找到，例如 [1–7]。沃纳 [6] 在这方面特别有用。

例 19.1

例 10.20 中描述的加法群 ${\mathbb{R}}^n$ 是一个 $n$ 维阿贝尔李群，$n$ 环面 $T^n={\mathbb{R}}^n/{\mathbb{Z}}^n$ 也是如此

例 19.2

$n\times n$ 实矩阵的集合 $M_n(\mathbb{R})$ 是一个可微流形，微分同胚于 ${\mathbb{R}}^{n^2}$，具有整体坐标 $x^i{}_j(\mathsf{A})=A^i{}_j$，其中 $A$ 是矩阵 $[A^i{}_j]$。一般线性群 $GL(n,\mathbb{R})$ 是一个 $n^2$ 维李群，它是 $M_n(\mathbb{R})$ 的开子流形，并且是一个李群，因为函数 $\psi$ 由下式给出

$$x_j^i(\psi (\mathsf{A},\mathsf{B}))=x_k^i(\mathsf{A})x_j^k({\mathsf{B}}^{-1}),$$

这是可微的，因为 $x_j^k({\mathsf{B}}^{-1})$ 是分量 $B_j^i$ 的有理多项式函数，且在 $\det$ ${}^{-1}(\dot{\mathbb{R}})$ 上分母不为零。类似地，$GL(n,\mathbb{C})$ 是李群，因为它是 $M_n(\mathbb{C})\cong {\mathbb{C}}^{n^2}\cong {\mathbb{R}}^{2n^2}$ 的开子流形。

左不变向量场

若 $G$ 是李群，则由 $L_{g}h\equiv L_g(h)=gh$ 定义的 左平移(left translation) $L_g:G\to G$ 的运算是 $G$ 到自身的微分同胚。类似地，由 $R_{g}h=h_g$ 定义的 右平移(right translation) $R_g:G\to G$ 的运算也是微分同胚。

左平移 $L_g$ 诱导了向量场模上的一个映射 $L_{g\ast }:T(M)\to T(M)$，其定义为

$$(L_{g\ast }X{)}_a=L_{g\ast }{X}_{g^{-1}a}\text{\hspace{1em}(19.1)}$$

其中 $X$ 是任意光滑向量场。在式 (19.1) 的右端，$L_{g\ast }$ 是点 $g^{-1}a$ 处的切映射。若对一切 $g\in G$ 均有 $L_{g\ast }X=X$，则称 $G$ 上的向量场 $X$ 为 左不变向量场(left-invariant vector field)

给定单位元处的一个切向量 $A$ ，即 $A\in T_e(G)$ ，通过 $X_g=L_{g\ast }A$ 定义 $G$ 上的向量场 $X$ 。由式（15.17），该向量场是左不变的，

$$L_{g\ast }{X}_h=L_{g\ast }\circ L_{h\ast }A=(L_g\circ L_h{)}_{\ast }A=L_{gh\ast }A=X_{gh}.$$

显然，它是 $G$ 上唯一的左不变向量场，使得 $X_e=A$。然而，我们必须证明 $X$ 是可微向量场。在单位元 $e$ 处的局部坐标卡 $(U,\phi ;x^i)$ 中，设复合法则由 $n$ 个可微函数 ${\psi }^i$ 表示：$\phi (U)\times \phi (U)\to \phi (U)$

$$x^i(g{h}^{-1})={\psi }^i(x^1(g),\dots ,x^n(g),x^1(h),\dots ,x^n(h))\text{ where }{\psi }^i=x^i\circ \psi .$$

对于任意光滑函数 $f:G\to \mathbb{R}$

$$\begin{array}{l}Xf=(L_{g\ast }A)f=A(f\circ L_g)\\ =A^i\frac{\partial f\circ L_g}{\partial x^i}{|}_{x^i(e)}\\ =A^i\frac{\partial }{\partial y^i}\hat{f}({\psi }^1(x^1(g),\dots ,x^n(g),\mathbf{y}),\dots ,{\psi }^n(x^1(g),\dots ,x^n(g),\mathbf{y})){|}_{y^i=x^i(e)}\end{array}$$

其中 $\hat{f}=f\circ {\phi }^{-1}$。因此 $Xf$ 在 $e$ 处可微，因为它在邻域 $U$ 上可微。若 $g$ 是 $G$ 的任意一点，则 $gU$ 是 $g$ 的开邻域，且每一点 $h\in gU$ 都可写成 $h=g{g}^{\prime }$，其中 $g^{\prime }\in U$，从而

$$\begin{array}{l}(Xf)(h)=A(f\circ L_h)\\ =A(f\circ L_g\circ L_{g^{\prime }})\\ =X(f\circ L_g)(g^{\prime })\\ =X(f\circ L_g)\circ L_{g^{-1}}(h).\end{array}$$

因此，在 $gU$ 上 $Xf=X(f\circ L_g)\circ L_{g^{-1}}$，并且由此可知 $Xf$ 在 $g.$ 处可微。

因此，$X$ 是 $G$ 上处处唯一可微的左不变向量场，使得 $X_e=A$。于是，$G$ 上的左不变向量场与 $e,$ 处的切向量一一对应，并构成一个维数为 $n$ 的向量空间，记作 $\mathcal{G}$。

李群的李代数

给定流形 $M$ 与 $M^{\prime }$ 之间的光滑映射 $\phi :M\to N$，若对每个 $p\in M$ 都有 ${\phi }_{\ast }{X}_p=X_{\phi (p)}^{\prime }$，则称 $M$ 上的向量场 $X$ 与 $M^{\prime }$ 上的向量场 $X^{\prime }$ 是 $\phi$-相关的。一般而言，除非 $\phi$ 是微分同胚（见 15.4 节），否则 $M$ 上不存在与 $M$ 上给定向量场 $X$ 为 $\phi$-相关的向量场。

引理 19.1 · 相关向量场的李括号 (Lie brackets of related vector fields)

若 $\phi :M\to M^{\prime }$ 是光滑映射，且 $X$ 与 $Y$ 是 $M$ 上的两个向量场，分别与 $M^{\prime }$ 上的 $X^{\prime }$ 和 $Y^{\prime }$ 是 $\phi$ 相关的，则它们的李括号 $[X,Y]$ 与 $[X^{\prime },Y^{\prime }]$ 是 $\phi$ 相关的。

证明

若 $f:M^{\prime }\to \mathbb{R}$ 是 $M^{\prime }$ 上的光滑映射，则对任意 $p\in M$

$$(X^{\prime }f)\circ \phi =X(f\circ \phi )$$

由于 $X_{\phi (p)}^{\prime }f=({\phi }_{\ast }{X}_p)f=X_p(f\circ \phi )$。因此

$$\begin{array}{rl}[X^{\prime },Y^{\prime }{]}_{\phi (p)}f& =X_{\phi (p)}^{\prime }(Y^{\prime }f)-Y_{\phi (p)}^{\prime }(X^{\prime }f)\\ & =X_p((Y^{\prime }f)\circ \phi )-Y_p((X^{\prime }f)\circ \phi )\\ & =X_p(Y(f\circ \phi ))-Y_p(X(f\circ \phi ))\\ & =[X,Y{]}_p(f\circ \phi )\\ & ={\phi }_{\ast }[X,Y{]}_{p}f,\end{array}$$

按要求。

随文练习

证明：若 $X$ 是左不变向量场，则 $(Xf)\circ L_g=X(f\circ L_g)$

若 $X$ 和 $Y$ 是李群 $G$ 上的左不变向量场，则由引理 19.1 可得

$$L_{g\ast }[X,Y]=[X,Y].\text{\hspace{1em}(19.2)}$$

因此，向量空间 $\mathcal{G}$ 构成一个 $n$ 维李代数，称为 李群的李代数(Lie algebra of a Lie group) $G.$。由于 $\mathcal{G}$ 与 $T_e(G)$ 之间存在一一对应，对任意一对 $A$、$B\in T_e(G)$ 写出 $[A,B]$ 是有意义的，而李代数结构可以视为施加在单位元处的切空间 $e.$ 上。

设 $A_1,\dots ,A_n$ 是单位元处切空间 $T_e(G)$ 的一组基，而 $X_1,\dots ,X_n$ 是相应的左不变向量场集合，构成 $\mathcal{G}.$ 的一组基。如第 6.5 节所定义，结构常数(structure constants) $C_{ij}^k=-C_{ji}^k$ 由

$$[X_i,X_j]=C_{ij}^k{X}_k.$$

随文练习

证明雅可比恒等式（15.24）等价于

$$C_{mi}^k{C}_{jl}^m+C_{mj}^k{C}_{li}^m+C_{ml}^k{C}_{ij}^m=0.\text{\hspace{1em}(19.3)}$$

例 19.3

设 ${\mathbb{R}}^n$ 为例 19.1 的加法阿贝尔李群。由切向量 $A=A^i{\left({\partial }_{x^i}\right)}_{ϵ}$ 生成的向量场 $X$ 具有分量

$$X^i(g)=(X{x}^i)(g)=(L_{g\ast }A)x^i=A(x^i\circ L_g).$$

现在 $x^i\circ L_g=g^i+x^i$，其中 $g^i=x^i(g)$，因此

$$X^i(g)=A^j\frac{\partial }{\partial x^j}(g^i+x^i){|}_{x^i=0}=A^j{\delta }_j^i=A^i.$$

若 $X=A^i{\partial }_{x^i}$ $i$ 与 $Y=B^j{\partial }_{x^j}$ 是左不变向量场，则对任意函数 $f$

$$\begin{array}{c}[X,Y]f=A^i\frac{\partial }{\partial x^i}\left(B^j\frac{\partial f}{\partial x^j}\right)-B^j\frac{\partial }{\partial x^j}\left(A^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)\\ =A^i{B}^j(f_{,ji}-f_{,ij})=0.\end{array}$$

因此，对于所有左不变向量场，$[X,Y]=0$。阿贝尔李群${\mathbb{R}}^n$的李代数是交换的。

例 19.4

设 $A$ 为 $GL(n,\mathbb{R})$ 的恒等元处的切向量

$$A=A_j^i{\left(\frac{\partial }{\partial x_j^i}\right)}_{\mathsf{X}=\mathsf{I}}.$$

因此，在 $e=1$ 处的切空间与 $n\times n$ 实矩阵 $M_n(\mathbb{R})$ 的向量空间同构。由该切向量生成的左不变向量场 $X$ 是

$$X=X_j^i\frac{\partial }{\partial x_j^i}$$

带有分量

$$\begin{array}{l}{X}_j^i(\mathsf{G})=(L_{\mathsf{G}\ast }A)x_j^i\\ =A(x_j^i\circ L_{\mathsf{G}})\\ =A_q^p\frac{\partial }{\partial x_q^p}\left(G_k^i{x}_j^k\right){|}_{\mathsf{X}=\mathsf{I}}\text{where}{G}_j^i=x_j^i(\mathsf{G})\\ =A_q^p{G}_k^i{\delta }_p^k{\delta }_j^q\\ =x_k^i(\mathsf{G})A_j^k.\end{array}$$

因此

$$X=x_k^i{A}_j^k\frac{\partial }{\partial x_j^i}.$$

若 $X$ 与 $Y$ 是左不变向量场，使得 $X_e=A$ 且 $Y_e=B$，则它们的李括号具有分量

$$\begin{array}{c}[X,Y{]}_j^i=[X,Y]x_j^i=x_m^p{A}_q^m\frac{\partial }{\partial x_q^p}(x_k^i{B}_j^k)-x_m^p{B}_q^m\frac{\partial }{\partial x_q^p}(x_k^i{A}_j^k)\\ =x_m^i(A_k^m{B}_j^k-B_k^m{A}_j^k).\end{array}$$

因此在恒等元 $e=1$ 处，$[X,Y]$ 的分量由矩阵对易子乘积 $\mathsf{AB}-\mathsf{BA}$ 构成，其中 $\mathsf{A}=[A^i{}_j]$ 和 $\mathsf{B}=[B_j^i]$，而 $GL(n,\mathbb{R})$ 的李代数同构于由取自 $M_n(\mathbb{R})$ 的 $n\times n$ 矩阵取对易子所构成的李代数，称为 $\mathcal{G}\mathcal{L}(n,\mathbb{R})$

毛雷尔–卡当关系

我们称微分形式 $\alpha$ 是 左不变微分形式(left-invariant differential form)，如果对所有的 $g\in G$ 都有 $L_g^{\ast }\alpha =\alpha$。它的外微分 $d\alpha$ 也是左不变的，因为 $L_g^{\ast }\mathrm{d}\alpha =\mathrm{d}{L}_g^{\ast }\alpha =\mathrm{d}\alpha$。如果 $\omega$ 是左不变 1-形式，而 $X$ 是左不变向量场，那么 $⟨\omega ,X⟩$ 在 $G_{:}$ 上是常数，因为

$$⟨{\omega }_g,X_g⟩=⟨{\omega }_g,L_{g\ast }{X}_e⟩=⟨L_g^{\ast }{\omega }_g,X_e⟩=⟨{\omega }_e,X_e⟩.$$

由嘉当恒等式，即式（16.14），我们因此有

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{d}\omega (X,Y)=\frac{1}{2}[X(⟨Y,\omega ⟩)-Y(⟨X,\omega ⟩)-⟨\omega ,[X,Y]⟩]\\ & =-\frac{1}{2}⟨\omega ,[X,Y]⟩.\end{array}\text{\hspace{1em}(19.4)}$$

设 $E_1,\dots ,E_n$ 为一组左不变向量场，构成李代数 $\mathcal{G}$ 的基，而 ${\epsilon }^1,\dots ,{\epsilon }^n$ 为对偶基微分 1-形式，使得

$$⟨{\epsilon }^i,E_i⟩={\delta }_j^i.$$

这些1-形式是左不变的，对于 $L_g^{\ast }{\epsilon }^i={\epsilon }^i$ 对于 $i=1,\dots ,n$ 如

$$⟨L_g^{\ast }{\epsilon }^i,E_j⟩=⟨{\epsilon }^i,L_{g\ast }{E}_j⟩=⟨{\epsilon }^i,E_j⟩={\delta }_j^i.$$

因此，由式（19.4），

$$\mathrm{d}{\epsilon }^i(E_j,E_k)=-\frac{1}{2}⟨{\epsilon }^i,[E_j,E_k]⟩=-\frac{1}{2}⟨{\epsilon }^i,C_{jk}^l{E}_l⟩=-\frac{1}{2}{C}_{jk}^i,$$

由此我们可以推导出毛雷尔–卡当关系(Maurer–Cartan relations)

$$\mathrm{d}{\epsilon }^i=-\frac{1}{2}{C}_{jk}^i{\epsilon }^j\wedge {\epsilon }^k.\text{\hspace{1em}(19.5)}$$

随文练习

证明：对 莫雷尔–嘉当 关系取外微分，即可得到 雅可比 恒等式，即式 (19.3)。

定理 19.2 · 零结构常数与局部交换性 (Vanishing structure constants and local commutativity)

李群 $G$ 的结构常数消失，当且仅当它在单位元的某个邻域内同构于阿贝尔群 ${\mathbb{R}}^n$。

证明

如果存在单位元的坐标邻域使得 $(gh{)}^i=g^i+h^i$，那么由例 $19.3[X,Y]=0$，在该邻域内处处成立。因此 $C_{jk}^i=0_{:}$，因为李代数结构仅在 ${\mathbf{\Pi }}_{e.}$ 的邻域内被要求。

反之，若所有结构常数均为零，则毛雷尔–卡当关系蕴含 $\mathrm{d}{\epsilon }^i=0$。由庞加莱引理 17.5，在单位元的邻域内存在函数 $y^i$，使得 ${\epsilon }^i=\mathrm{d}{\mathbf{y}}^i$。将这些函数用作 $e$ 处的局部坐标，我们可以假定单位元位于这些坐标的原点，$y^i(e)=0$。对于这些坐标的定义域中的任意 $a,g$

$$L_g^{\ast }({\epsilon }^i{)}_{L_{g}a}=({\epsilon }^i{)}_a=\mathrm{d}{a}^i\text{ where }{a}^i=y^i(a),$$

和

$$L_g^{\ast }({\epsilon }^i{)}_{L_{g}a}=L_g^{\ast }(\mathrm{d}{y}^i{)}_{ga}={\left(\mathrm{d}(y^i\circ L_g)\right)}_{ga}.$$

写出 $\varphi (g,h)=gh$，对于固定的 $g$，我们有

$$\mathrm{d}{a}^i=\mathrm{d}\left(y^i\circ \varphi (g,a)\right)=\frac{\partial {\varphi }^i\left(g^1,\dots ,g^n,a^1,\dots ,a^n\right)}{\partial a^j}\mathrm{d}{a}^j$$

其中 ${\varphi }^i=y^i\circ \varphi$ 。因此

$$\frac{\partial {\varphi }^i}{\partial a^j}={\delta }_j^i,$$

易于积分从而给出

$${\varphi }^i(g^1,\dots ,g^n,a^1,\dots ,a^n)=f^i(g^1,\dots ,g^n)+a^i.$$

若 $a=e,$，使得 $a^i=0$，则有 ${\varphi }^i(g^1,\dots ,g^n,0,\dots ,0)=f^i(g^1,\dots ,g^n)=g^i$。所需的与 ${\mathbb{R}}^n$ 的局部同构 $\mathrm{\Delta }\mathrm{re}-$ 随即成立，

$${\varphi }^i(g^1,\dots ,g^n,a^1,\dots ,a^n)=g^i+a^i.$$

习题

习题 19.1

设 $E_j^i$ 为这样的矩阵：其 $(i,j)$ 分量为 1，而所有其他分量均为零。证明这些矩阵构成 $\mathcal{G}\mathcal{L}(n,\mathbb{R})$ 的一组基，并具有对易关系

$$[E_j^i,E_l^k]={\delta }_l^i{E}_j^k-{\delta }_j^k{E}_l^i.$$

写出该代数在该基下的结构常数

习题 19.2

设 $E_j^i$ 为前一问题中定义的矩阵，且 $F_j^i=i{E}_j^i$，其中 $i=\sqrt{-1}$。证明这些矩阵构成 $\mathcal{G}\mathcal{L}(n,\mathbb{C})$ 的一组基，并写出 $\mathcal{G}\mathcal{L}(n,\mathbb{C})$ 的这些生成元之间的所有对易关系

习题 19.3

在群 $G,$ 上定义取值于 $T_e(G)$ 的1-形式 $\theta$，令

$${\theta }_g(X_g)=L_{g^{-1}\ast }{X}_g$$

对 $G$ 上任意向量场 $X$（不必是左不变的）。证明 $\theta$ 是左不变的，$L_a^{\ast }{\theta }_g={\theta }_{a^{-1}g}$ 对所有 $a,g\in G$

相对于左不变向量场的基 $E_i$ 及其对偶基 ${\epsilon }^i$，证明

$$\theta =\sum _{i=1}^n{\left(E_i\right)}_e{\epsilon }^i.$$