6.5 李代数与李群

English

一类重要的非结合代数归功于挪威数学家索菲斯·李（1842–1899）。李关于曲面变换（称为接触变换）的工作产生了一类连续群，现在称为李群。这些群本质上涵盖了数学物理中出现的所有重要群，例如正交群、酉群和辛群。这门学科主要是微分几何的一个分支，详细讨论将出现在第19章中。李的主要发现是李群与一类非结合代数相关，而这类代数反过来又相当容易分类。这些代数后来被称为李代数。关于李代数理论更完整的讨论，特别是半单李代数的嘉当–迪金分类，可以在[3–5]中找到。

李代数

一个李代数(Lie algebra)是一个实或复向量空间，带有一种复合律或括号积(bracket product) $[X,Y]$，满足

(LA1) $[X,Y]=-[Y,X](\mathrm{antisymmetry})$.

(LA2) $[X,aY+bZ]=a[X,Y]+b[X,Z]$（分配律）。

(LA3) $[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$（雅可比恒等式）。

由(LA1)，括号积对第一个自变量也是分配的，

$$[aX+bY,Z]=-[Z,aX+bY]=-a[Z,X]-b[Z,Y]=a[X,Z]+b[Y,Z].$$

因此，李代数是通常意义下的代数，因为括号积满足式（6.1）。雅可比恒等式取代了结合律。

例 6.7

任何结合代数，例如例6.2中讨论的$n\times n$矩阵的代数${\mathcal{M}}_n$，都可以通过将括号积定义为两个元素的交换子而转化为李代数

$$[X,Y]=XY-YX.$$

条件(LA1)和(LA2)容易验证，而雅可比恒等式(LA3)则是直接的：

$$\begin{array}{l}[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]\\ =X(YZ-ZY)-(YZ-ZY)X+Y(ZX-XZ)\\ -(ZX-XZ)Y+Z(XY-YX)-(XY-YX)Z\\ =XYZ-XZY-YZX+ZYX+YZX-YXZ\\ -ZXY+XZY+ZXY-ZYX-XYZ+YXZ\\ =0.\end{array}$$

括号与交换子之间的联系引出了如下术语：若一个李代数 $\mathcal{L}$ 的所有括号积均为零，即对所有 $X$、$Y\in \mathcal{L}$ 都有 $[X,Y]=0$，则称其为 阿贝尔李代数(abelian Lie algebra)。

给定 $\mathcal{L}$, 的一个基 $X_1,\dots ,X_n$，设 $C_{ij}^k=-C_{ji}^k$ 为该基下的结构常数，

$$[X_i,X_j]=C_{ij}^k{X}_k.\text{\hspace{1em}(6.21)}$$

给定结构常数，就可以计算任意一对向量 $A=a^i{X}_i$ 与 $B=b^j{X}_j$ 的括号积：

$$[A,B]=a^i{b}^j[X_i,X_j]=a^i{b}^j{C}_{ij}^k{X}_k.\text{\hspace{1em}(6.22)}$$

因此，一个李代数当且仅当其所有结构常数都为零时才是阿贝尔的。需要注意的是，结构常数依赖于基的选择，并且在另一个基 $X_i^{\prime }={A^{\prime }}_i^j{X}_j$ 中通常不同。

例 6.8

考虑实数上三角 $2\times 2$ 矩阵的集合 ${\mathcal{T}}_2$，其形式为

$$\mathsf{A}=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right).$$

由于

$$\left[\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}d& e\\ 0& f\end{array}\right)\right]=\left(\begin{array}{cc}0& ae+bf-bd-ce\\ 0& 0\end{array}\right),\text{\hspace{1em}(6.23)}$$

这些矩阵关于交换子乘积构成一个李代数。以下三个矩阵构成该李代数的一个基：

$${\mathsf{X}}_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),{\mathsf{X}}_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),{\mathsf{X}}_3=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$$

具有交换子关系

$$[{\mathrm{X}}_1,{\mathrm{X}}_2]=-{\mathrm{X}}_1,[{\mathrm{X}}_1,{\mathrm{X}}_3]={\mathrm{X}}_1,[{\mathrm{X}}_2,{\mathrm{X}}_3]=\mathrm{O}.$$

相应的结构常数为

$$C_{12}^1=-C_{21}^1=-1,C_{13}^1=-C_{31}^1=1,\text{ all other }{C}_{jk}^i=0.$$

考虑基变换为

$${\mathbf{X}}_1^{\prime }={\mathbf{X}}_2+{\mathbf{X}}_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$$ $${\mathbf{X}}_2^{\prime }={\mathbf{X}}_1+{\mathbf{X}}_3=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right),$$ $${\mathsf{X}}_3^{\prime }={\mathsf{X}}_1+{\mathsf{X}}_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right).$$

交换关系为

$$[{\mathrm{X}}_1^{\prime },{\mathrm{X}}_2^{\prime }]=\mathrm{O},[{\mathrm{X}}_1^{\prime },{\mathrm{X}}_3^{\prime }]=\mathrm{O},[{\mathrm{X}}_2^{\prime },{\mathrm{X}}_3^{\prime }]=-2{\mathrm{X}}_1={\mathrm{X}}_1^{\prime }-{\mathrm{X}}_2^{\prime }-{\mathrm{X}}_3^{\prime },$$

相应的结构常数为

$$C_{23}^{\prime 1}=-C_{23}^{\prime 2}=-C_{23}^{\prime 3}=1,\text{ all other }{C}_{jk}^{\prime i}=0.$$

如前所述，李代数 $\mathcal{L}$ 的理想是子集 $\mathcal{I}$，使得对所有 $X\in \mathcal{L}$ 和所有 $Y\in \mathcal{I}$ 都有 $[X,Y]\in \mathcal{I}$，这一条件更简要地写作 $[\mathcal{L},\mathcal{I}]\subseteq \mathcal{I}$。由 (LA1) 显然可知，任何右理想或左理想都必须是双侧的。若 $\mathcal{I}$ 是 $\mathcal{L}$ 的理想，则可以在陪集空间 $X+\mathcal{I}$ 上构造一个 商李代数(factor Lie algebra)，其括号积定义为

$$[X+\mathcal{I},Y+\mathcal{I}]=[X,Y]+\mathcal{I}.$$

该乘积与从陪集$X+\mathcal{I}$和$Y+\mathcal{I}$中所选代表元的选取无关，因为

$$[X+\mathcal{I},Y+\mathcal{I}]=[X,Y]+[X,\mathcal{I}]+[\mathcal{I},Y]+[\mathcal{I},\mathcal{I}]\subseteq [X,Y]+\mathcal{I}.$$

例 6.9

在例6.8中，令$\mathcal{B}$为形如下的矩阵的子集

$$\left(\begin{array}{cc}0& x\\ 0& 0\end{array}\right).$$

由乘积法则式 (6.23) 可知，$\mathcal{B}$ 构成 ${\mathcal{T}}_2$ 的一个理想。每个陪集 $\mathsf{X}+\mathbf{B}$ 显然都有一个对角代表元

$$\mathsf{X}=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right),$$

并且由于对角矩阵总是彼此可交换，因子代数 是交换的，

$$[\mathsf{X}+\mathcal{B},\mathsf{Y}+\mathcal{B}]=\mathsf{O}+\mathcal{B}.$$

由下式定义的线性映射 $\phi :{\mathcal{T}}_2\to {\mathcal{T}}_2/\mathcal{B}$

$$\phi :\left(\begin{array}{cc}a& x\\ 0& b\end{array}\right)⟼\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)+\mathcal{B}$$

是李代数同态，因为由式 (6.23) 可知，对于任意一对上三角矩阵 $X$ 和 $Y$，都有 $[\mathsf{X},\mathsf{Y}]\in B$，并且

$$\phi ([\mathsf{X},\mathsf{Y}])=\mathsf{O}+\mathcal{B}=[\phi (\mathsf{X}),\phi (\mathsf{Y})].$$

同态$\phi$的核由那些对角元为零的矩阵组成，

$$\ker \phi =\mathcal{B}.$$

本示例是定理 6.1 的一个说明。

矩阵李群

在第19章中我们将给出李群的严格定义，但就目前的目的而言，我们可以把李群视为一个群，其元素连续依赖于 $n$ 个实参数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ 。为简单起见，我们将假定该群为矩阵群，其元素通常可以写成

$$\mathsf{A}=\Gamma ({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n).$$

该恒等元取为对应于原点${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdot \cdot \cdot ={\lambda }_n=0$的元素

$$\mathsf{I}=\Gamma (0,0,\dots ,0).$$

例 6.10

旋转群的一般元素是一个正交的 $3\times 3$ 矩阵 $A$，它可以用三个角 $\psi ,\theta ,\varphi$. 表示。

$$\mathsf{A}=\left(\begin{array}{ccc}\cos \varphi \cos \psi & \cos \varphi \sin \psi & -\sin \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi \cos \psi -\cos \theta \sin \psi & \sin \theta \sin \varphi \sin \psi +\cos \theta \cos \psi & \sin \theta \cos \varphi \\ \cos \theta \sin \varphi \cos \psi +\sin \theta \sin \psi & \cos \theta \sin \varphi \sin \psi -\sin \theta \cos \psi & \cos \theta \cos \varphi \end{array}\right).$$

按照要求，恒等元 $I$ 对应于 $\theta =\varphi =\psi =0$ 。这些角与经典力学中的标准欧拉角相似但不完全相同，后者在恒等元处具有不幸的退化性。恒等元附近的群元素具有形式 $\mathsf{A}=\mathsf{I}+ϵ\mathsf{X}\left(ϵ\ll 1\right)$ ，其中

$$\mathsf{I}={\mathsf{AA}}^T=(\mathsf{I}+ϵ\mathsf{X})(\mathsf{I}+ϵ{\mathsf{X}}^T)=\mathsf{I}+ϵ(\mathsf{X}+{\mathsf{X}}^T)+O({ϵ}^2).$$

若在该方程中仅保留一阶项，则 $X$ 必须是对称的；$\mathsf{X}=-{\mathsf{X}}^T$

尽管两个反对称矩阵的乘积一般不是反对称的，但 $n\times n$ 反对称矩阵的集合对于换位子乘积是闭的，并构成一个李代数：

$$[\mathrm{X},\mathrm{Y}{]}^T=(\mathrm{XY}-\mathrm{YX}{)}^T={\mathrm{Y}}^T{\mathrm{X}}^T-{\mathrm{X}}^T{\mathrm{Y}}^T=(-\mathrm{Y})(-\mathrm{X})+\mathrm{X}(-\mathrm{Y})=\mathrm{YX}-\mathrm{XY}=-[\mathrm{X},\mathrm{Y}].$$

$3\times 3$ 反对称矩阵的李代数可视为表示“无穷小旋转”，或“接近单位元”的正交矩阵。每个 $3\times 3$ 反对称矩阵 $X$ 都可写成如下形式

$$\mathsf{X}=\left(\begin{array}{ccc}0& x^3& -x^2\\ -x^3& 0& x^1\\ x^2& -x^1& 0\end{array}\right)=\sum _{i=1}^3{x}^i{\mathsf{X}}_i$$

其中

$${\mathsf{X}}_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& -1& 0\end{array}\right),{\mathsf{X}}_2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right),{\mathsf{X}}_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(6.24)}$$

基元素${\mathsf{X}}_i$称为该群的无穷小生成元(infinitesimal generator)，并满足以下对易关系：

$$[{\mathsf{X}}_1,{\mathsf{X}}_2]=-{\mathsf{X}}_3,[{\mathsf{X}}_2,{\mathsf{X}}_3]=-{\mathsf{X}}_1,[{\mathsf{X}}_3,{\mathsf{X}}_1]=-{\mathsf{X}}_2.\text{\hspace{1em}(6.25)}$$

这个例子是从“接近单位元”的群元素构造李代数的典型过程。更一般地，如果$G$是一个矩阵李群，其元素依赖于$n$个连续参数

$$\mathsf{A}=\Gamma ({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)\text{ with }\mathsf{I}=\Gamma (0,0,\dots ,0),$$

通过下式定义无穷小生成元

$${\mathbf{X}}_i={\frac{\partial \Gamma }{\partial {\lambda }_i}|}_{\lambda =0}(\lambda \equiv ({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)),\text{\hspace{1em}(6.26)}$$

使得接近单位元的元素可以写成

$$\mathsf{A}=\mathsf{I}+\sum _{i=1}^nϵa^i{\mathsf{X}}_i+O({ϵ}^2).$$

$G$ 的群结构意味着 ${\mathsf{X}}_i$ 的对易子总是 ${\mathsf{X}}_i$ 的线性组合，并对某组结构常数 $C_{ji}^k=-C_{ij}^k$ 满足式 (6.21)。证明将在第 19 章给出。

单参数子群

李群 $G$ 的 单参数子群(one-parameter subgroup) 是实数加法群到 $G$ 的同态 $\phi :\mathbb{R}\to G$ 的像 $\phi (\mathbb{R})$。将矩阵李群的单参数子群的元素简单地写成 $\begin{array}{r}\mathbf{A}(t)=\Gamma (a^1(t),a^2(t),\dots ,a^n(t))\end{array}$ 时，同态性质要求

$$\mathsf{A}(t+s)=\mathsf{A}(t)\mathsf{A}(s).\text{\hspace{1em}(6.27)}$$

可以证明，对于李群单位元邻域中的每个元素 $g$，都存在一个单参数子群 $\phi$，使得 $g=\phi (1)$。

将运算${\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}|}_{s=0}$作用于方程(6.27)得到

$${\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\mathsf{A}(t+s)|}_{s=0}={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathsf{A}(t+s)|}_{s=0}=\mathsf{A}(t)\frac{\mathrm{d}\mathsf{A}(s)}{\mathrm{d}s}{|}_{s=0}.$$

因此

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathsf{A}(t)=\mathsf{A}(t)\mathsf{X}\text{\hspace{1em}(6.28)}$$

其中

$$\begin{array}{rl}\mathsf{X}& ={\frac{\mathrm{d}A(s)}{\mathrm{d}s}|}_{s=0}={\sum }_i{\frac{\partial \Gamma (\lambda )}{\partial {\lambda }^i}|}_{\lambda =0}{\frac{\mathrm{d}{a}^i(s)}{\mathrm{d}s}|}_{s=0}\\ & ={\sum }_i{\frac{\mathrm{d}{a}^i}{\mathrm{d}s}|}_{s=0}{X}_i.\end{array}$$

微分方程 式 (6.28) 的满足边界条件 $\mathsf{A}(0)=\mathsf{I}$ 的唯一解是 $\mathsf{A}(t)={\mathrm{e}}^{t\mathsf{X}}$，其中矩阵 $t\mathsf{X}$ 的指数由幂级数定义

$${\mathrm{e}}^{t\mathsf{X}}=\mathsf{I}+t\mathsf{X}+\frac{1}{2!}{t}^2{\mathsf{X}}^2+\frac{1}{3!}{t}^3{\mathsf{X}}^3+\dots$$

群性质 ${\mathrm{e}}^{(t+s)\mathsf{X}}={\mathrm{e}}^{t\mathsf{X}}{\mathrm{e}}^{s\mathsf{X}}$ 可由以下事实推出：若 $A$ 与 $B$ 是任意一对可交换矩阵 $\mathsf{AB}=\mathsf{BA}$，则 ${\mathrm{e}}^{\mathsf{A}}{\mathrm{e}}^{\mathsf{B}}={\mathrm{e}}^{\mathsf{A}+\mathsf{B}}$

在由所有通过单参数子群与单位元相连的群元素构成的单位元邻域内，可知任意群元素 ${\mathsf{A}}_1$ 都可写成李代数元素的指数。

$${\mathrm{A}}_1=\mathrm{A}(1)={\mathrm{e}}^{\mathrm{X}}=1+\mathrm{X}+\frac{1}{2!}{\mathrm{X}}^2+\frac{1}{3!}{\mathrm{X}}^3+\dots \text{ where }\mathrm{X}\in \mathcal{G}.$$

给定一个李代数，例如通过指定其结构常数，可以逆转这一过程并构造一个唯一李群的单位元的连通邻域。由于结构常数是一个有限集数，而不是指定群乘积所需的复杂函数集合，因此通常通过李代数对李群进行分类比通过群乘积容易得多。

例 6.11

在例 6.10 中，由无穷小生成元 ${\mathsf{X}}_1$ 生成的一参数群 ${\mathrm{e}}^{t{\mathsf{X}}_1}$ 是通过计算前几个幂次得到的

$${\mathsf{X}}_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& -1& 0\end{array}\right),{\mathsf{X}}_1^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right),{\mathsf{X}}_1^3=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=-{\mathsf{X}}_1,$$

由于所有更高次幂都遵循一条简单规则

$${\mathsf{X}}_1^4=-{\mathsf{X}}_1^2,{\mathsf{X}}_1^5={\mathsf{X}}_1,{\mathsf{X}}_1^6={\mathsf{X}}_1^2,\text{etc.}$$

由指数展开

$${\mathrm{e}}^{t{\mathsf{X}}_1}=\mathsf{I}+t{\mathsf{X}}_1+\frac{1}{2!}{t}^2{\mathsf{X}}_1^2+\frac{1}{3!}{t}^3{\mathsf{X}}_1^3+\dots$$

可以计算所有分量

$${\left({\mathrm{e}}^{t{\mathsf{X}}_1}\right)}_{11}=1$$ $${\left({\mathrm{e}}^{t{\mathrm{X}}_1}\right)}_{22}=1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}-\cdots =\cos t$$ $${\left({\mathrm{e}}^{t{X}_1}\right)}_{23}=0+t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}-\cdots =\sin t,\text{ etc. }$$

因此

$${\mathrm{e}}^{t{X}_1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos t& \sin t\\ 0& -\sin t& \cos t\end{array}\right),$$

它表示绕$x$轴旋转角度$t$。验证单参数群定律是直接的

$${\mathrm{e}}^{t{\mathsf{X}}_1}{\mathrm{e}}^{s{\mathsf{X}}_1}={\mathrm{e}}^{(t+s){\mathsf{X}}_1}.$$

随文练习

证明 ${\mathsf{e}}^{t{\mathsf{X}}_2}$ 与 ${\mathrm{e}}^{t{\mathsf{X}}_3}$ 分别表示绕 $y$ 轴和 $z$ 轴旋转角度 $t$。

复李代数

尽管上述讨论大多假定实李代数，但它同样适用于复李代数。如 第 6.2 节所述，总是可以通过简单地将标量域限制为实数，把复向量空间 $\mathcal{G}$ 视为维数为其两倍的实空间 ${\mathcal{G}}^R$。这样，任何维数为 $n$ 的复李代数也可以视为维数为 $2n$ 的实李代数。重要的是要意识到所讨论的是给定李代数的实版本还是复版本。

例 6.12

在第2章的例2.15中已经看到，$2\times 2$酉矩阵构成一个群$SU(2)$。对于接近恒等元的酉矩阵，$\mathsf{U}=\mathsf{I}+ϵ\mathsf{A}$

$$\mathsf{I}={\mathsf{UU}}^{†}=\mathsf{I}+ϵ(\mathsf{A}+{\mathsf{A}}^{†})+O({ϵ}^2).$$

因此 $A$ 必须是反厄米的，

$$\mathsf{A}+{\mathsf{A}}^{†}=\mathsf{O}.$$

特殊酉矩阵还要求满足进一步限制，即其行列式为1，

$$\det \mathsf{U}=\left|\begin{array}{cc}1+ϵa_{11}& ϵa_{12}\\ ϵa_{12}& 1+ϵa_{22}\end{array}\right|=1+ϵ(a_{11}+a_{22})+O({ϵ}^2),$$

并且矩阵 $A$ 必须是无迹的，同时也是反厄米的，

$$\mathsf{A}=\left(\begin{array}{cc}ic& b+ia\\ -b+ia& -ic\end{array}\right)(a,b,c\in \mathbb{R}).$$

这样的矩阵构成一个实李代数，因为它们构成一个实向量空间，并且对换位子乘积是闭的，

$$[\mathsf{A},{\mathsf{A}}^{\prime }]=\mathsf{A}{\mathsf{A}}^{\prime }-{\mathsf{A}}^{\prime }\mathsf{A}=\left(\begin{array}{cc}2i(b{a}^{\prime }-a{b}^{\prime })& 2(a{c}^{\prime }-c{a}^{\prime })+2i(c{b}^{\prime }-b{c}^{\prime })\\ -2(a{c}^{\prime }-c{a}^{\prime })+2i(c{b}^{\prime }-b{c}^{\prime })& -2i(b{a}^{\prime }-a{b}^{\prime })\end{array}\right).$$

任意无迹反厄米矩阵均可写成如下形式

$$\mathsf{A}=ia{\sigma }_1+ib{\sigma }_2+ic{\sigma }_3$$

其中 ${\sigma }_i$ 是泡利矩阵，

$${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(6.29)}$$

其交换关系易于计算，

$$[{\sigma }_1,{\sigma }_2]=2i{\sigma }_3,[{\sigma }_2,{\sigma }_3]=2i{\sigma }_1,[{\sigma }_3,{\sigma }_1]=2i{\sigma }_2.\text{\hspace{1em}(6.30)}$$

尽管这个李代数由复矩阵组成，但要注意它并不是一个复李代数，因为将一个反厄米矩阵乘以一个复数通常不会得到一个反厄米矩阵。然而，乘以实标量确实保持反厄米性质。这个李代数的一个基是

$${\mathsf{X}}_1=\frac{1}{2}i{\sigma }_1,{\mathsf{X}}_2=\frac{1}{2}i{\sigma }_2,{\mathsf{X}}_3=\frac{1}{2}i{\sigma }_3,$$

而一般的李代数元素 $A$ 具有形式

$$\mathsf{A}=2a{\mathsf{X}}_1+2b{\mathsf{X}}_2+2c{\mathsf{X}}_3(a,b,c\in \mathbb{R}).$$

由式 (6.30)，${\mathsf{X}}_k$ 之间的对易关系为

$$[{\mathsf{X}}_1,{\mathsf{X}}_2]=-{\mathsf{X}}_3,[{\mathsf{X}}_2,{\mathsf{X}}_3]=-{\mathsf{X}}_1,[{\mathsf{X}}_3,{\mathsf{X}}_1]=-{\mathsf{X}}_2,$$

这表明该李代数实际上同构于例6.10中给出的$3\times 3$正交矩阵群的李代数。分别将这些实李代数记为$SU(2)$和$s\mathcal{O}(3)$，我们有

$$\mathcal{S}\mathcal{U}(2)\cong \mathcal{S}\mathcal{O}(3).$$

然而，在此情形下，底层的群并不同构，尽管确实存在一个同态 $\phi :\mathrm{SU}(2)\to \mathrm{SO}(3)$，其核仅由两个元素 $\pm \mathsf{I}$ 组成。这就是所谓的旋转群的旋量表示。严格说来，它并不是旋转群的表示——相反，它断言存在 $SU(2)$ 作为 ${\mathbb{R}}^3$ 中旋转群的一个表示。

例 6.13

一个真正的复李代数是 $\mathcal{SL}(2,\mathbb{C})$，即 $2\times 2$ 复幺模矩阵群的李代数。如前一例所示，幺模性条件，即行列式为 1，意味着无穷小生成元是无迹的，

$$\det (\mathsf{I}+ϵ\mathsf{A})=1⟹\mathrm{tr}\mathsf{A}=a_{11}+a_{22}=0.$$

复迹为零的矩阵集合构成一个复李代数，因为 (a) 它构成一个复向量空间，且 (b) 由式 (2.15)，它在交换子乘积下是闭的，

$$\mathrm{tr}[\mathsf{A},\mathsf{B}]=\mathrm{tr}(\mathsf{AB})-\mathrm{tr}(\mathsf{BA})=0.$$

该复李代数由以下元素张成

$${{\rm Y}}_1=\frac{1}{2}i{\sigma }_1=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right),{{\rm Y}}_2=\frac{1}{2}i{\sigma }_2=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),{{\rm Y}}_3=\frac{1}{2}i{\sigma }_3=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right),$$

因为如果 $\mathsf{A}=[A_{ij}]$ 是无迹的，那么

$$\mathsf{A}=\alpha {\mathsf{Y}}_1+\beta {\mathsf{Y}}_2+\gamma {\mathsf{Y}}_3$$

其中

$$\alpha =-i(A_{12}+A_{21}),\beta =A_{12}-A_{21},\gamma =-2i{A}_{11}.$$

李代数 $\mathcal{SL}(2,\mathbb{C})$ 作为复李代数同构于无穷小复正交变换的李代数 $S\mathcal{O}(3,\mathbb{C})$。后者作为复向量空间由与式 (6.26) 中定义的相同矩阵 ${\mathsf{X}}_i$ 张成，这些矩阵构成实李代数 $s\mathcal{O}(3)$ 的一组基。由于根据式 (6.30)，${\mathsf{Y}}_i$ 的对易关系为

$$[{{\rm Y}}_1,{{\rm Y}}_2]=-{{\rm Y}}_3,[{{\rm Y}}_2,{{\rm Y}}_3]=-{{\rm Y}}_1,[{{\rm Y}}_3,{{\rm Y}}_1]=-{{\rm Y}}_2,$$

与式（6.25）比较可知，由$\phi ({\mathsf{Y}}_i)={\mathsf{X}}_i$定义的线性映射$\phi :\mathcal{SL}(2,\mathbb{C})\to \mathcal{S}\mathcal{O}(3,\mathbb{C})$是李代数同构。

然而，作为实李代数，情况则大不相同，因为上文定义的矩阵${\mathsf{Y}}_1,{\mathsf{Y}}_2$与${\mathsf{Y}}_3$不足以张成$\mathcal{SL}(2,\mathbb{C}{)}^R$。若我们补充以矩阵

$${\mathsf{Z}}_1=\frac{1}{2}{\sigma }_1=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\mathsf{Z}}_2=\frac{1}{2}{\sigma }_2=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\mathsf{Z}}_3=\frac{1}{2}{\sigma }_3=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$$

那么 $\mathcal{SL}(2,\mathbb{C})$ 的每个元素都可以唯一地写成如下形式

$$\mathsf{A}=a_1{\mathsf{Y}}_1+a_2{\mathsf{Y}}_2+a_3{\mathsf{Y}}_3+b_1{\mathsf{Z}}_1+b_2{\mathsf{Z}}_2+b_3{\mathsf{Z}}_3(a_i,b_i\in \mathbb{R})$$

其中

$$\begin{array}{l}{b}_3=A_{11}+\overline{A_{11}},\\ a_3=-i(A_{11}-\overline{A_{11}}),\\ b_1=A_{12}+A_{21}+\overline{A_{12}+A_{21}},\text{ etc. }\end{array}$$

因此，${\mathsf{Y}}_i$ 与 $Z_i$ 作为实向量空间张成 $\mathcal{SL}(2,\mathbb{C})$，而这是一个由对易关系确定的实李代数

$$[{{\rm Y}}_1,{{\rm Y}}_2]=-{{\rm Y}}_3[{{\rm Y}}_2,{{\rm Y}}_3]=-{{\rm Y}}_1[{{\rm Y}}_3,{{\rm Y}}_1]=-{{\rm Y}}_2,\text{\hspace{1em}(6.31)}$$

$$[{\mathsf{Z}}_1,{\mathsf{Z}}_2]={\mathsf{Y}}_3[{\mathsf{Z}}_2,{\mathsf{Z}}_3]={\mathsf{Y}}_1[{\mathsf{Z}}_3,{\mathsf{Z}}_1]={\mathsf{Y}}_2,\text{\hspace{1em}(6.32)}$$

$$[{\mathsf{Y}}_1,{\mathsf{Z}}_2]=-{\mathsf{Z}}_3[{\mathsf{Y}}_2,{\mathsf{Z}}_3]=-{\mathsf{Z}}_1[{\mathsf{Y}}_3,{\mathsf{Z}}_1]=-{\mathsf{Z}}_2,\text{\hspace{1em}(6.33)}$$

$$[{\mathsf{Y}}_1,{\mathsf{Z}}_3]={\mathsf{Z}}_3[{\mathsf{Y}}_2,{\mathsf{Z}}_1]={\mathsf{Z}}_3[{\mathsf{Y}}_3,{\mathsf{Z}}_2]={\mathsf{Z}}_1,\text{\hspace{1em}(6.34)}$$

$$[{\mathsf{Y}}_1,{\mathsf{Z}}_1]=0[{\mathsf{Y}}_2,{\mathsf{Z}}_2]=0[{\mathsf{Y}}_3,{\mathsf{Z}}_3]=0.\text{\hspace{1em}(6.35)}$$

例 6.14

洛伦兹变换在 第 2.7 节中通过以下方式定义：

$${\mathbf{x}}^{\prime }=\mathsf{Lx},\mathsf{G}={\mathsf{L}}^T\mathsf{GL}$$

其中

$$\mathsf{G}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right).$$

因此，无穷小洛伦兹变换 $\mathsf{L}=\mathsf{I}+ϵ\mathsf{A}$ 满足方程

$${\mathsf{A}}^T\mathsf{G}+\mathsf{GA}=\mathsf{O},$$

其在分量中读作

$$A_{ij}+A_{ji}=0,A_{4i}-A_{i4}=0,A_{44}=0$$

其中指标 $i,j$ 的取值范围为 1 到 3。由此可知，洛伦兹群的李代数由六个矩阵张成或生成的子空间

$${{\rm Y}}_1=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),{{\rm Y}}_2=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),{{\rm Y}}_3=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$ $${\mathsf{Z}}_1=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right),{\mathsf{Z}}_2=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right),{\mathsf{Z}}_3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right).$$

结果发现，它们与上一例中 $\mathcal{SL}(2,\mathbb{C})$ 的生成元具有完全相同的对易关系式 (6.31)–式 (6.35)。因此，实李代数 $\mathcal{SL}(2,\mathbb{C})$ 同构于洛伦兹群 $\mathrm{SO}(3,1)$ 的李代数。由于复李代数 $\mathcal{SL}(2,\mathbb{C})$

而$\mathcal{S}\mathcal{O}(3,\mathbb{C})$在例6.13中被证明是同构的，它们的实版本也必定同构。于是我们得到实李代数的如下有趣同构序列，

$$\mathcal{S}\mathcal{O}(3,1)\cong \mathcal{SL}(2,\mathbb{C})\cong \mathcal{S}\mathcal{O}(3,\mathbb{C}).$$

习题

习题 6.12

如例 6.12 中那样，$n\times n$ 酉矩阵满足 $\mathsf{U}{\mathsf{U}}^{†}=\mathsf{I}$，且那些接近单位矩阵的矩阵具有形式

$$\mathsf{U}=\mathsf{I}+ϵ\mathsf{A}(ϵ\ll 1)$$

其中 $A$ 是反厄米的，$\mathsf{A}=-{\mathsf{A}}^{†}$

(a) 证明反厄米矩阵的集合关于作为括号积的对易子 $[\mathsf{A},\mathsf{B}]=\mathsf{AB}-\mathsf{BA}$ 构成一个李代数。

(b) 四个泡利矩阵 ${\sigma }_{\mu }(\mu =0,1,2,3)$ 定义为

$${\sigma }_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),{\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$

证明 $\begin{array}{r}{\mathsf{Y}}_{\mu }=\frac{1}{2}i{\sigma }_{\mu }\end{array}$ 构成 $U(2)$ 的李代数的一组基，并计算结构常数。

(c) 证明由 ${\mathsf{Y}}_1$ 生成的单参数子群由如下形式的矩阵组成

$${\mathrm{e}}^{t{{\rm Y}}_1}=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{1}{2}t& i\sin \frac{1}{2}t\\ i\sin \frac{1}{2}t& \cos \frac{1}{2}t\end{array}\right).$$

计算由 ${\mathsf{Y}}_2,{\mathsf{Y}}_3$ 和 ${\mathsf{Y}}_0$. 生成的单参数子群。

习题 6.13

设 $u$ 为一个 $n\times 1$ 列向量。若非奇异矩阵 $A$ 是 $A$ 的特征向量，则称该矩阵拉伸 $u$，

$$\mathbf{Au}=\lambda \mathbf{u}.$$

证明所有拉伸$u$的非奇异矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个群，称为拉伸群$of\mathbf{u}$.

(a) 证明形如 $2\times 2$ 的矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}a& a+c\\ b+c& b\end{array}\right)(c\ne 0,a+b+c\ne 0)$$

构成 $2\times 1$ 列向量 $\mathbf{u}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{-1}\right)$ 的伸缩群

(b) 证明该群的李代数由这些矩阵张成

$${\mathsf{X}}_1=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right),{\mathsf{X}}_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 1\end{array}\right),{\mathsf{X}}_3=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

计算该基的结构常数。

(c) 写出构成单参数子群 ${\mathrm{e}}^{t{\mathsf{X}}_1}$ 和 ${\mathrm{e}}^{t{\mathsf{X}}_3}$ 的矩阵

习题 6.14

证明：满足 $\mathrm{tr}\mathsf{A}=A_{11}+A_{22}=0$ 的 $2\times 2$ 无迹矩阵，关于括号积 $[\mathsf{A},\mathsf{B}]=\mathsf{AB}-\mathsf{BA}$ 构成一个李代数。

(a) 证明以下矩阵构成该李代数的一个基：

$${\mathsf{X}}_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),{\mathsf{X}}_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),{\mathsf{X}}_3=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$$

并计算该基的结构常数。

(b) 计算单参数子群 ${\mathsf{e}}^{t{\mathsf{X}}_1},{\mathsf{e}}^{t{\mathsf{X}}_2}$ 和 ${\mathrm{e}}^{t{\mathsf{X}}_3}$ 。

习题 6.15

设 $\mathcal{L}$ 是由这三个矩阵张成的李代数

$${\mathsf{X}}_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),{\mathsf{X}}_2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),{\mathsf{X}}_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

写出这个基的结构常数，相对于通常的矩阵交换子括号积。

写出由这些基元素生成的三个单参数子群 ${\mathrm{e}}^{t{\mathsf{X}}_i}$，并逐一验证它们确实构成矩阵的单参数群。