8.4 内积运算

English

设 $u$ 为 $V$ 中的一个向量，$\alpha$ 为一个 $r$-形式。我们定义 内积运算(interior product) ${\mathrm{i}}_u\alpha$ 为一个 ($r$ 1)-形式，其定义为

$$({\mathrm{i}}_u\alpha )(u_2,\dots ,u_r)=r\alpha (u,u_2,\dots ,u_r).\text{\hspace{1em}(8.18)}$$

向量与标量的内积运算假定为零，即对所有 $a\in {\Lambda }^{\ast 0}(V)\equiv \mathbb{R}$ 有 ${\mathrm{i}}_{u}a=0$。向量与一个 $r$-形式的内积运算关于任意基 $\left\{{\mathbf{e}}_i\right\}$ 的分量表达式为

$$\begin{array}{rl}& ({\mathrm{i}}_u\alpha {)}_{i_2\dots i_r}=({\mathrm{i}}_u\alpha )(e_{i_2},\dots ,e_{i_r})\\ & =r\alpha (u^i{e}_i,e_{i_2},\dots ,e_{i_r})\\ & =r{u}^i{\alpha }_{i{i}_2\dots i_r}.\end{array}$$

因此

$${\mathrm{i}}_u\alpha =r{C}_1^1(u\otimes \alpha ),$$

其中 $C_1^1$ 是 (1, 1) 缩并算符。

对任意 $r$-形式 $\alpha$ 依次与两个向量进行内积运算，具有该性质

$${\mathrm{i}}_u({\mathrm{i}}_v\alpha )=-{\mathrm{i}}_v({\mathrm{i}}_u\alpha ),\text{\hspace{1em}(8.19)}$$

对于

$$\begin{array}{rl}({\mathrm{i}}_u({\mathrm{i}}_v\alpha ))(u_3,\dots ,u_r)& =(r-1)({\mathrm{i}}_v\alpha )(u,u_3,\dots ,u_r)\\ & =(r-1)r\alpha (v,u,u_3,\dots ,u_r)\\ & =-(r-1)r\alpha (u,v,u_3,\dots ,u_r)\\ & =-({\mathrm{i}}_v({\mathrm{i}}_u\alpha ))(u_3,\dots ,u_r).\end{array}$$

由此立即得到 $({\mathrm{i}}_u{)}^2\equiv {\mathrm{i}}_u{\mathrm{i}}_u=0$

另一个重要的恒等式，对于任意的 $r$-形式 $\alpha$ 和 $s$-形式 ${\beta }_{;}$，是反导律

$${\mathrm{i}}_u(\alpha \wedge \beta )=({\mathrm{i}}_u\alpha )\wedge \beta +(-1{)}^r\alpha \wedge ({\mathrm{i}}_u\beta ).\text{\hspace{1em}(8.20)}$$

证明

设 $u_1,u_2,...,u_{r+s}$ 为任意向量。由式 式 (8.18) 和 式 (8.17)

$$\begin{array}{l}({\mathrm{i}}_{u_1}(\alpha \wedge \beta ))(u_2,\dots ,u_{r+s})=(r+s)\mathcal{A}(\alpha \otimes \beta )(u_1,u_2,\dots ,u_{r+s})\\ =\frac{1}{(r+s-1)!}{\sum }_{\sigma }(-1{)}^{\sigma }\alpha (u_{\sigma (1)},\dots ,u_{\sigma (r)})\beta (u_{\sigma (r+1)},\dots ,u_{\sigma (r+s)}).\end{array}$$

对每个 $1\le a\le r+s$，设 ${\gamma }_a$ 为循环置换 (1 2 … $a$)。若 $\sigma$ 是任意满足 $\sigma (a)=1$ 的置换，则 $\sigma ={\sigma }^{\prime }{\gamma }_a$，其中 ${\sigma }^{\prime }(1)=\sigma (a)=1$。置换 $\sigma$ 与 ${\sigma }^{\prime }$ 的符号由 $(-1{)}^{\sigma }=(-1{)}^{{\sigma }^{\prime }}(-1{)}^{a+1}$ 相联系，而上式中的置换之和可写为

$$\begin{array}{l}\frac{1}{(r+s-1)!}({\sum }_{a=1}^r{\sum }_{{\sigma }^{\prime }}(-1{)}^{{\sigma }^{\prime }}(-1{)}^{a+1}\alpha \left(u_{{\sigma }^{\prime }(2)},\dots ,u_{{\sigma }^{\prime }(a)},u_1\dots ,u_{{\sigma }^{\prime }(r)}\right)\\ \times \beta \left(u_{{\sigma }^{\prime }(r+1)},\dots ,u_{{\sigma }^{\prime }(r+s)}\right)+{\sum }_{b=1}^s{\sum }_{{\sigma }^{\prime }}(-1{)}^{{\sigma }^{\prime }}(-1{)}^{r+b+1}\alpha \left(u_{{\sigma }^{\prime }(2)},\dots ,u_{{\sigma }^{\prime }(r+1)}\right)\\ \times \beta \left(u_{{\sigma }^{\prime }(r+2)},\dots ,u_{{\sigma }^{\prime }(r+b)},u_1,\dots ,u_{{\sigma }^{\prime }(r+s)}\right)).\end{array}$$

通过循环置换，$u_1$ 可分别被移至 $\alpha$ 与 $\beta$ 的第一个自变量，并在两个和中引入因子 $(-1{)}^{a+1}$ 与 $(-1{)}^{b+1}$，从而得到

$$\begin{array}{l}\frac{1}{(r+s-1)!}(r{\sum }_{{\sigma }^{\prime }}(-1{)}^{{\sigma }^{\prime }}\alpha (u_1,u_{{\sigma }^{\prime }(2)},\dots ,u_{{\sigma }^{\prime }(a-1)},u_{{\sigma }^{\prime }(a+1)},\dots ,u_{{\sigma }^{\prime }(r)})\\ \times \beta (u_{{\sigma }^{\prime }(r+1)},\dots ,u_{{\sigma }^{\prime }(r+s)})+s(-1{)}^r{\sum }_{{\sigma }^{\prime }}(-1{)}^{{\sigma }^{\prime }}\alpha (u_{{\sigma }^{\prime }(1)},\dots ,u_{{\sigma }^{\prime }(r)})\\ \times \beta (u_1,u_{{\sigma }^{\prime }(r+1)},\dots ,u_{{\sigma }^{\prime }(r+b-1)},u_{{\sigma }^{\prime }(r+b+1)},\dots ,u_{{\sigma }^{\prime }(r+s)})),\end{array}$$

其中 ${\sigma }^{\prime }$ 取遍 $(2,3,\dots ,r+s)$ 的所有置换。因此

$$\begin{array}{c}{\mathrm{i}}_{u_1}(\alpha \wedge \beta )(u_2,\dots ,u_{r+s})=\mathcal{A}(({\mathrm{i}}_{u_1}\alpha )\otimes \beta +(-1{)}^r\alpha \otimes ({\mathrm{i}}_{u_1}\beta )\left)\right(u_2,\dots ,u_{r+s})\\ =\left({\mathrm{i}}_{u_1}\alpha \right)\wedge \beta +(-1{)}^r\alpha \wedge ({\mathrm{i}}_{u_1}\beta )(u_2,\dots ,u_{r+s}).\end{array}$$

方程 (8.20) 在令 $u=u_1$ 后得出