16.1 微分形式与外微分

English

设 $M$ 是维数为 $n$ 的可微流形。在任意点 $p\in M$ 处，令 ${\left({\Lambda }_r\right)}_p(M)\equiv {\Lambda }^{\ast r}(T_p(M))$ 为完全反对称张量空间，即由切空间 $T_p(M)$ 生成的 $r$-形式（见第 8 章）。记相应的外代数

$${\Lambda }_p(M)\equiv {\Lambda }^{\ast }\left(T_p(M)\right)={\left({\Lambda }_0\right)}_p(M)\oplus {\left({\Lambda }_1\right)}_p(M)\oplus \cdots \oplus {\left({\Lambda }_n\right)}_p(M)$$

带有分次外积 $\wedge :{\left({\Lambda }_r\right)}_p(M)\times {\left({\Lambda }_s\right)}_p(M)\to {\left({\Lambda }_{r+s}\right)}_p(M).$

一个 微分形式(differential form) $r$-形式 $\alpha$ 在开子集 $U\subseteq M$ 上是一个 $r$-形式场，即在每一点 $p\in U$ 处指定一个 $r-\mathrm{form}{\alpha }_p$，使得对于 $U$ 上的所有光滑向量场 $X_1,X_2,\dots ,X_r$，函数 $\alpha (X_1,X_2,\dots ,X_r)(p)\equiv {\alpha }_p((X_1{)}_p,(X_2{)}_p,\dots ,(X_r{)}_p)$ 可微。$U$ 上所有微分 $r$-形式的集合记为 ${\Lambda }_r(U)$），而 $U$ 上的 微分外代数(differential exterior algebra) 是直和

$$\Lambda (U)={\Lambda }_0(U)\oplus {\Lambda }_1(U)\oplus \cdots \oplus {\Lambda }_n(U)$$

其中外积由 $(\alpha \wedge \beta {)}_p={\alpha }_p\wedge {\beta }_p$ 定义。该乘积是线性的、结合的，并服从通常的反交换律：

$$\begin{array}{c}\alpha \wedge (\beta +\gamma )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \gamma \\ \alpha \wedge (\beta \wedge \gamma )=(\alpha \wedge \beta )\wedge \gamma \\ \alpha \wedge \beta =(-1{)}^{rs}\beta \wedge \alpha \text{ if }\alpha \in {\Lambda }_r(U),\beta \in {\Lambda }_s(U).\end{array}\text{\hspace{1em}(16.1)}$$

微分0-形式就是标量场，即 $U$ 上的光滑实值函数 $f$，${\Lambda }_0(U)=\mathcal{F}(U)$

在坐标卡$(U,\varphi ;x^i)$中，${\Lambda }_r(U)$的一个基是

$$\mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}^{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_r}=\mathcal{A}\left(\mathrm{d}{x}^{i_1}\otimes \mathrm{d}{x}^{i_2}\otimes \cdots \otimes \mathrm{d}{x}^{i_r}\right),$$

以及 $U$ 上的每个微分 $r$-形式都有唯一的展开

$$\alpha ={\alpha }_{i_1{i}_2\dots i_r}\mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}^{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_r}\text{\hspace{1em}(16.2)}$$

其中分量${\alpha }_{i_1{i}_2\dots i_r}$是$U$上的光滑函数，并且对所有指标都是反对称的，

$${\alpha }_{i_1{i}_2\dots i_r}={\alpha }_{[i_1{i}_2\dots i_r]}.$$

若$f$是标量域，则其梯度

$$f_{,i}=\frac{\partial f}{\partial x^i}$$

构成协变向量场的分量，称为其微分 $\mathrm{d}f$（见第 15 章）。这一概念可以推广为作用于所有微分形式的映射，$d$：$\Lambda (M)\to \Lambda (M)$，称为 外微分(exterior derivative)，使得 $d{\Lambda }_r(M)\subseteq {\Lambda }_{(r+1)}(M)$ 并满足以下条件：

（ED1）若 $f$ 是微分 0-形式，则 $\mathrm{d}f$ 是它的微分，由 $⟨\mathrm{d}f,X⟩=Xf$ 定义，其中 $X$ 为任意光滑向量场。

(ED2) 对于任意一对微分形式，$\alpha ,\beta \in \Lambda (M),\mathsf{d}(\alpha +\beta )=\mathsf{d}\alpha +\mathsf{d}\beta$

（ED3）若 $f$ 是微分 0-形式，则 ${\mathrm{d}}^{2}f\equiv \mathrm{d}(\mathrm{d}f)=0.$

(ED4) 对任意 $r$-形式 $\alpha$，以及任意 $\beta \in \Lambda (M)$

$$\mathrm{d}(\alpha \wedge \beta )=(\mathrm{d}\alpha )\wedge \beta +(-1{)}^r\alpha \wedge \mathrm{d}\beta .\text{\hspace{1em}(16.3)}$$

条件 (ED4) 表明它是一个反导子（见 8.4 节，式 (8.18)），并且 (ED3) 将被证明对所有阶的微分形式都成立。微分形式和外微分的一般理论可在 [1–9] 中找到。我们下面讨论的目的是证明算符 $d$ 存在且唯一确定。

引理 16.1 · 局部光滑截断函数 (Local smooth cutoff functions)

设 $U$ 是可微流形 $M$ 的一个开子集。对任意点 $p\in U$，存在开集 $W$ 与 $W^{\prime }$，其中 $W$ 具有紧闭包，且 $p\in \overline{W}\subseteq W^{\prime }\subseteq U$，并存在光滑函数 $h\ge 0$，使得在 $W$ 上 $h=1$，而在 $M-W^{\prime }$ 上 $h=0$

证明

设 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是由下式定义的平滑非负函数，

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-1/t}& \text{ if }t>0,\\ 0& \text{ if }t\le 0.\end{array}$$

对每个 $a>0$，令 $g_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 为非负光滑函数

$$g_a(t)=\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)}=\{\begin{array}{ll}0& \text{ if }t\le 0,\\ >0& \text{ if }0<t<a,\\ 1& \text{ if }t\ge a.\end{array}$$

若 $b>a$，则由下式定义的 光滑 函数 $h_{a,b}:\mathbb{R}R$

$$h_{a,b}(t)=1-g_{b-a}(t-a)$$

在 $t\le a$ 处取值为 1，而在 $t\ge b$ 处为 0。在开区间 $(a,b)$ 上，它为正，取值介于 0 与 1 之间。设 $(V,\varphi ;x^i)$ 为 $p$ 处的一个坐标卡，使得 $x^i(p)=0$ 且 $V\subseteq U$。设 $b>0$ 为任意实数，使得开球 $B_b(0)\subset \varphi (V)$，并设 $0<a<b$。令 $W^{\prime }={\varphi }^{-1}(B_b(0))$ 和 $W={\varphi }^{-1}(B_a(0))$）。$W$ 的闭包，作为紧集的同胚像，是紧的，并且 $\overline{W}\subset W^{\prime }.\mathrm{Let}\tilde{h}:{\mathbb{R}}^n\mathbb{R}$ 为光滑映射

$$\tilde{h}\left(x^1,x^2,\dots ,x^n\right)=h_{a,b}(r)\text{ where }r=\sqrt{{\left(x^1\right)}^2+{\left(x^2\right)}^2+\cdots +{\left(x^n\right)}^2},$$

以及由下式定义的正函数 $h:M\to \mathbb{R}$

$$h(p)=\{\begin{array}{ll}\tilde{h}\circ \varphi (p)& \text{ for }p\in W\\ 0& \text{ for }p\in M-W^{\prime }\end{array}$$

具有所有期望的性质。

外微分的构造与唯一性

若 $\alpha$ 是一个 $r$-形式，且其在 $U$ 上的限制为零，即 $\alpha {|}_U=0.$，则在 $M$ 上处处有 $h\alpha =0$，其中 $h$ 是引理 16.1 中定义的函数，并且根据性质 (ED4)，

$$\mathrm{d}(h\alpha )=\mathrm{d}h\wedge \alpha +h\mathrm{d}\alpha =0.$$

将此方程限制到 $W$ 上，我们得到 ${\mathrm{d}\alpha |}_W=0$，特别地有 $(\mathrm{d}\alpha ){|}_p=0$。由于 $p$ 是 $U$ 的任意一点，因此推出 $d\alpha {|}_U=0$。于是，若 $\alpha$ 与 $\beta$ 是任意一对 $r$-形式，使得 $\alpha {|}_U=\beta {|}_U$，则 $(\mathrm{d}\alpha ){|}_U=(\mathrm{d}\beta ){|}_U$。因此，若 $d$ 存在并满足 (ED1)–(ED4)，则它具有局部特征标，并在各处唯一确定。

为证明算符 $d$ 的存在性，设 $(U;x^i)$ 为任意点 $p.$ 处的坐标卡。按式 (16.2) 展开 $\alpha$，利用 (ED1)–(ED4)，可得

$$\begin{array}{l}\mathrm{d}\alpha =\mathrm{d}{\alpha }_{i_1\dots i_r}\wedge \mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_r}+{\alpha }_{i_1\dots i_r}{\mathrm{d}}^2{x}^{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}^{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_r}\\ -{\alpha }_{i_1\dots i_r}\mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge {\mathrm{d}}^2{x}^{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_r}+\dots \\ =\mathrm{d}{\alpha }_{i_1\dots i_r}\mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_r}\\ ={\alpha }_{i_1\dots i_r,j}\mathrm{d}{x}^j\wedge \mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_r}.\end{array}$$

对指标进行循环置换，并利用楔积的全反对称性，

$$\mathrm{d}\alpha =(-1{)}^r{\alpha }_{[i_1\dots i_r,i_{r+1}]}\mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_r}\wedge \mathrm{d}{x}^{i_{r+1}}.\text{\hspace{1em}(16.4)}$$

仍需验证条件 (ED1)–(ED4) 对式 (16.4) 成立。首先，该公式在 0-形式的情形下化为 $\mathrm{d}f=f_{,i}\mathrm{d}{x}^i$，与 (ED1) 一致。条件 (ED2) 显然成立。为验证 (ED3)，

$${\mathrm{d}}^{2}f=\mathrm{d}(f_{,i}\mathrm{d}{x}^i)=f_{,ij}\mathrm{d}{x}^j\wedge \mathrm{d}{x}^i=f_{,[ij]}\mathrm{d}{x}^j\wedge \mathrm{d}{x}^i=0$$

因为

$$f_{,[ij]}=\frac{1}{2}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}-\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i})=0.$$

最后，式（16.4）蕴含（ED4）：

$$\begin{array}{l}\mathrm{d}(\alpha \wedge \beta )=\mathrm{d}({\alpha }_{i_1{i}_2...i_r}{\beta }_{j_1{j}_2...j_s}\mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_r}\mathrm{d}{x}^{j_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{j_s})\\ =\mathrm{d}\left({\alpha }_{i_1{i}_2...i_r}{\beta }_{j_1{j}_2...j_s}\right)\wedge \mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_r}\mathrm{d}{x}^{j_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{j_s}\\ =(\mathrm{d}{\alpha }_{i_1{i}_2...i_r}{\beta }_{j_1{j}_2...j_s}+{\alpha }_{i_1{i}_2...i_r}\mathrm{d}{\beta }_{j_1{j}_2...j_s})\wedge \mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_r}\mathrm{d}{x}^{j_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{j_s}\\ =(\mathrm{d}\alpha )\wedge \beta +(-1{)}^r\alpha \wedge \mathrm{d}\beta .\end{array}$$

最后一步通过进行所需的 $r$ 次互换，将 $\mathrm{d}{\beta }_{j_1{j}_2\dots j_s}$ 项置于 $d{x}^{i_r}$ 与 $\mathrm{d}{x}^{j_1}$ 之间而得到。这表明算符 $d$ 在 $M$ 的每个坐标邻域上的存在性与唯一性。

随文练习

对所有微分形式 $\alpha$ 和 $\beta ,$，以及任意一对实数 $a$ 和 ${}^{b,}$，证明

$$\mathrm{d}(a\alpha +b\beta )=a\mathrm{d}(\alpha )+b\mathrm{d}(\beta ).$$

性质(ED3)可推广至任意微分形式

$${\mathrm{d}}^2\alpha =\mathrm{d}(\mathrm{d}\alpha )=0,\text{\hspace{1em}(16.5)}$$

因为，将算符$d$作用于式(16.2)并利用(ED3)可得

$$\mathrm{d}(\mathrm{d}\alpha )=\left({\mathrm{d}}^2{\alpha }_{i_1\dots i_r}\right)\wedge \mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_r}=0.$$

例 16.1

设 $x=x^1,y=x^2,z=x^3$ 是三维流形 $M={\mathbb{R}}^3$ 上的坐标。任意 0-形式 $\alpha =f$ 的外微分为

$$\mathrm{d}f=f_{,i}\mathrm{d}{x}^i=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z.$$

这三个分量通常称为标量域$f.$的梯度

如果 $\omega =w_i\mathrm{d}{x}^i=A\mathrm{d}x+B\mathrm{d}y+C\mathrm{cd}z$ 是一个微分 1-形式，那么

$$\mathrm{d}\omega =\left(\frac{\partial C}{\partial y}-\frac{\partial B}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+\left(\frac{\partial A}{\partial z}-\frac{\partial C}{\partial x}\right)\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+\left(\frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y.$$

外微分的分量传统上写成一个向量场的分量，称为三分量向量场 $(A,B,C)$ 的旋度。然而请注意，$d\omega \mathbf{\Sigma }=-w_{[i,j]}\mathbf{d}{x}^i\wedge \mathbf{d}{x}^j$ 的张量分量是旋度分量的一半，

$$(\mathrm{d}\omega {)}_{ij}=-w_{[i,j]}=\frac{1}{2}(w_{j,i}-w_{i,j}).$$

若$\alpha ={\alpha }_{ij}\mathrm{d}{x}^i\wedge \mathrm{d}{x}^j=P\mathrm{d}y\mathrm{d}zQ\mathrm{d}zdxRdx\mathrm{d}y$是一个2-形式，则

$$\mathrm{d}\alpha =\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z.$$

这个3-形式的唯一分量称为三分量向量场$(P,Q,R)$的散度。将方程(16.5)应用于0-形式$f$和1-形式$\omega$，得到以下经典结果：

$$\begin{array}{l}{\mathrm{d}}^{2}f=0⟹\text{ curl grad }=0,\\ {\mathrm{d}}^2\omega =0⟹\text{ div curl }=0.\end{array}$$

随文练习

$\mathrm{If}\alpha ={\alpha }_{ij}d{x}^i\wedge d{x}^j$ 是流形 $M$ 上的一个2-形式，证明

$$(\mathrm{d}\alpha {)}_{ijk}=\frac{1}{3}({\alpha }_{ij,k}+{\alpha }_{jk,i}+{\alpha }_{ki,j}).\text{\hspace{1em}(16.6)}$$

更一般地，将式（16.4）中前 $r$ 个指标的所有置换合并在一起，我们得到 $r$-形式 $\alpha$ 的外微分的张量分量的如下公式：

$$(\mathrm{d}\alpha {)}_{i_1\dots i_{r+1}}=\frac{(-1{)}^r}{r+1}\sum _{\text{ cyclic }\pi }(-1{)}^{\pi }{\alpha }_{i_{\pi (1)}\dots i_{\pi (r)},i_{\pi (r+1)}}.\text{\hspace{1em}(16.7)}$$

习题

习题 16.1

设 $x^1=x,x^2=y,x^3=z$ 为流形 ${\mathbb{R}}^3$ 上的坐标。对以下每个 2-形式，写出分量 ${\alpha }_{ij}$ 与 $(\mathrm{d}\alpha {)}_{ijk}$ 等：

$$\alpha =\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y,$$ $$\beta =x\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}y+y\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z+z\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x,$$ $$\gamma =\mathrm{d}(r^2(x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y+z\mathrm{d}z))\text{ where }{r}^2=x^2+y^2+z^2.$$

习题 16.2

在流形 ${\mathbb{R}}^n$ 上计算微分形式 $d$ 的外微分

$$\alpha =\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i-1}{x}^i\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i-1}\wedge \mathrm{d}{x}^{i+1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^n.$$

对 $\beta =r^{-n}\alpha$ 做同样处理，其中 $r^2=(x^1{)}^2+\cdot \cdot \cdot +(x^n{)}^2$

习题 16.3

证明方程 (16.6) 的右端按 (0, 3) 型张量场变换。将此结果推广到方程 (16.7) 的右端，以表明该方程可作为外微分的局部定义，且 $a$ 不依赖于坐标系的选择。