8.6 霍奇对偶

$p$ 向量的内积

线性泛函（1-形式）与向量之间的耦合，记作

⟨ u, ω ⟩ \equiv ⟨ ω, u ⟩ = ω (u) = u^{i} w_{i},

可以推广以定义 $p$ -向量 $A$ 与 $p$ -形式 $β_{;}$ 之间的乘积，

⟨ A, β ⟩ = p! C_{1}^{1} C_{2}^{2} \dots C_{p}^{p} A \otimes β = p! A^{i_{1} i_{2} \dots i_{p}} β_{i_{1} i_{2} \dots i_{p}} . (8.39)

对每个固定的 $p$ -形式 $β$ ，映射 $A \mapsto ⟨ A, β ⟩$ 显然定义了向量空间 $Λ^{p} (V)$ 上的一个线性泛函。

随文练习

证明

$⟨ u_{1} \land u_{2} \land \dots \land u_{p}, β ⟩ = p! β (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{p}) . (8.40)$

定理 8.3 · 内积运算与多向量收缩 (Interior products and multivector contraction)

若 $A$ 是一个 $p$ -向量， $β$ 是一个 ( $p$ 1)-形式，而 $u$ 是任意向量，则

$⟨ A, i_{u} β ⟩ = ⟨ u \land A, β ⟩ . (8.41)$

证明

对于简单 $p$ -向量 $A = u_{1} \land u_{2} \land \cdot \cdot \cdot \land u_{p}$ ，利用式式 (8.40) 和式 (8.18)，

⟨ u_{1} \land u_{2} \land \dots \land u_{p}, i_{u} β ⟩ = p! (i_{u} β) (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{p}) = (p + 1)! β (u, u_{1}, \dots, u_{p}) = ⟨ u \land u_{1} \land \dots \land u_{p}, β ⟩ .

由于每个 $p$ 向量 $A$ 都是简单 $p$ 向量之和，因此通过线性性，这推广到任意 $p$ 向量。 -

若 $V$ 是内积空间，则可以定义两个 $p$ 向量 $A$ 与 $B$ 的内积为

(A, B) = ⟨ A, β ⟩ (8.42)

其中 $β$ 是通过降低指标从 $B$ 形成的张量，

β_{i_{1} i_{2} \dots i_{p}} = B_{i_{1} i_{2} \dots i_{p}} = g_{i_{1} j_{1}} g_{i_{1} j_{2}} \dots g_{i_{p} j_{p}} B^{j_{1} j_{2} \dots j_{p}} .

引理 8.4 · 简单多向量的内积与行列式 (Inner products of simple multivectors and determinants)

设 $X$ 与 $Y$ 为简单 $p$ -向量， $X = x_{1} \land x_{2} \land \cdot \cdot \cdot \land x_{p}$ 与 $Y = y_{1} \land y_{2} \land \dots \land y_{p},$ ，则

$(X, Y) = det [x_{i} \cdot y_{j}] . (8.43)$

证明

关于基 ${e_{i}}$

(X, Y) = p! x_{1}^{[i_{1}} x_{2}^{i_{2}} \dots x_{p}^{i_{p}]} g_{i_{1} j_{1}} g_{i_{1} j_{2}} \dots g_{i_{p} j_{p}} y_{1}^{[j_{1}} y_{2}^{j_{2}} \dots y_{p}^{j_{p}]} = p! x_{1}^{[i_{1}} x_{2}^{i_{2}} \dots x_{p}^{i_{p}]} y_{1 i_{1}} y_{2 i_{2}} \dots y_{p i_{p}} = \sum_{σ} (- 1)^{σ} x_{1}^{i_{σ (1)}} x_{2}^{i_{σ (2)}} \dots x_{p}^{i_{σ (p)}} y_{1 i_{1}} y_{2 i_{2}} \dots y_{p i_{p}} = det [⟨ x_{i}, γ_{j} ⟩] where γ_{j} = y_{j k} ε^{k} = det [g_{k l} x_{i}^{k} y_{j}^{l}] = det [x_{i} \cdot y_{j}] .

定理 8.5 · 多向量空间上的诱导内积 (The induced inner product on multivector spaces)

映射 $A$ ， $B \mapsto (A, B)$ 使 $Λ^{p} (V)$ 成为一个实内积空间

证明

由式式 (8.42) 和式 (8.39)

(A, B) = p! A^{i_{1} i_{2} \dots i_{p}} g_{i_{1} j_{1}} g_{i_{1} j_{2}} \dots g_{i_{p} j_{p}} B^{j_{1} j_{2} \dots j_{p}} = (B, A)

使得 $(A, B)$ 是 $A$ 和 $B$ 的对称双线性函数。还需证明 $(., .)$ 是非奇异的，满足第 5.1 节的 (SP3)。

设 $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ 为一组正交标准基，

e_{i} \cdot e_{j} = η_{i} δ_{ij}, η_{i} = \pm 1,

并且对于任意递增的指标序列 $h = h_{1} < h_{2} < \cdot \cdot \cdot < h_{p}$ ，将 $e_{h}$ 设为基 $p$ -向量

e_{h} = e_{h_{1}} \land e_{h_{2}} \land \dots \land e_{h_{p}} .

若 $h = h_{1} < h_{2} < \cdot \cdot \cdot < h_{p}$ 与 $k = k_{1} < k_{2} < \cdot \cdot \cdot < k_{p}$ 是任意一对递增的指标序列，且对某个 $i$ 有 $h_{i} \in / {k_{1}, k_{2}, \dots, k_{p}}$ ，则根据引理 8.4

(e_{h}, e_{k}) = det [e_{h_{i}} \cdot e_{k_{j}}] = 0

因为行列式的第 $i$ 行完全消失。另一方面， $if h = k$ 我们有

(e_{h}, e_{h}) = η_{h_{1}} η_{h_{2}} \dots η_{h_{p}} .

总之，

(e_{h}, e_{k}) = det [e_{h_{i}} \cdot e_{k_{j}}] = {0 η_{h_{1}} η_{h_{2}} \dots η_{h_{p}} if h \neq = k, if h = k, (8.44)

因此， $E_{p} = {e_{h} ∣ h_{1} < h_{2} < \cdot \cdot \cdot < h_{p}}$ 关于 $Λ^{p} (V)$ 上的内积构成一个正交标准基。内积的矩阵关于这个基是非奇异的，因为它是对角矩阵，且对角线上的元素均为 1。

随文练习

证明 $(E, E) = (- 1)^{s}$ ，其中 $E = e_{12, ... n}$ ，且 $s$ 是 $g_{ij}$ 中符号的数目

当然，可以完全按照对 $Λ^{p} (V)$ 的方式在 $Λ^{* p} (V)$ 上定义内积，

(α, β) = ⟨ A, β ⟩ = p! A^{i_{1} i_{2} \dots i_{p}} β_{i_{1} i_{2} \dots i_{p}} (8.45)

其中 $A$ 是由 $α$ 通过升指标形成的张量，

A^{i_{1} i_{2} \dots i_{p}} = α^{i_{1} i_{2} \dots i_{p}} = g^{i_{1} j_{1}} g^{i_{1} j_{2}} \dots g^{i_{p} j_{p}} α_{j_{1} j_{2} \dots j_{p}} .

随文练习

证明定理 8.3 可以表示为如下替代形式：对于任意 $p$ 形式 $α$ ， $(p + 1)$ 形式 $β$ 和向量 $u$

$(α, i_{u} β) = (\overset{g}{ˉ} u \land α, β) (8.46)$
其中 $\overset{g}{ˉ} u$ 是通过对 $\cdot u^{i}$ 降指标而在例 7.8 中定义的 1-形式。

霍奇星算子

设 $V$ 为有向内积空间， ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ 为正向正交标准基， $e_{i} \cdot e_{j} δ_{ij} η_{i}$ ，并具有关联的体积元 $E = e_{12 \dots n} = e_{1} \land e_{2} \land \dots \land e_{n}$ 。对任意 $A \in Λ^{p} (V)$ ，由 $A \land B = f_{A} (B) E$ 定义的映射 $f_{A} : Λ^{n - p} (V) \to$ $R$ 是线性的，因为

f_{A} (B + a C) E = A \land (B + a C) = A \land B + a A \land C = (f_{A} (B) + a f_{A} (C)) E .

因此， $f_{A}$ 是 $Λ^{n - p} (V)$ 上的线性泛函，并且由于 $Λ^{n - p} (V)$ 上的内积 $(., .)$ 非奇异，存在唯一的 $(n - p)$ -向量 $A$ 使得 $f_{A} (B) = (* A, B)$ 。 $(n - p)$ -向量 $A$ 由该方程唯一确定，并常被称为 $A$ 的（霍奇）对偶，

A \land B = (* A, B) E for all B \in Λ^{(n - p)} (V) . (8.47)

一对一的映射 $* : Λ^{p} (V) \to Λ^{n - p} (V)$ 称为霍奇星算子(Hodge star operator)；它将一个 $(n - p)$ -向量对应于每个 $p$ -向量，反之亦然。这种互反性之所以可能，仅仅是因为这两个向量空间的维数相同，

dim Λ^{p} (V) = dim Λ^{n - p} (V) = (p n) = (n - p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!} .

由于 $E$ 与正向正交标准基的选取无关，因此霍奇对偶是一个与基无关的概念。

为计算对偶关于正定向标准正交基 $e_{1}, \dots, e_{n}$ 的分量，令 $i = i_{1} < i_{2} < \dots < i_{p}$ 和 $j = j_{1} < j_{2} < \dots < j_{n - p}$ 。由于

e_{i} \land e_{j} = ϵ_{i_{1} i_{2} \dots i_{p} j_{i} \dots j_{n - p}} E,

由式（8.47）我们有

(* e_{i}, e_{j}) = ϵ_{i_{1} i_{2} \dots i_{p} j_{i} \dots j_{n - p}},

而式（8.44）给出

* e_{i} = ϵ_{i_{1} i_{2} \dots i_{p} j_{i} \dots j_{n - p}} (e_{j}, e_{j}) e_{j} (8.48)

其中 $j = j_{1} < j_{2} < \dots < j_{n - p}$ 是 $i_{1} < \dots < i_{p}$ 的指标补集。通过类似的论证

* e_{j} = ϵ_{j_{1} j_{2} \dots j_{n - p} i_{1} \dots i_{p}} (e_{i}, e_{i}) e_{i},

并且，暂时搁置求和约定，

* * e_{i} = ϵ_{i_{1} i_{2} \dots i_{p} j_{i} \dots j_{n - p}} ϵ_{j_{1} j_{2} \dots j_{n - p} i_{1} \dots i_{n - p}} (e_{i}, e_{i}) (e_{j}, e_{j}) e_{i} = (- 1)^{p (n - p)} η_{i_{1}} η_{i_{2}} \dots η_{i_{p}} η_{j_{1}} η_{j_{2}} \dots η_{j_{n - p}} e_{i} = (- 1)^{p (n - p) + s} e_{i}

其中 $s$ 是 $g_{ij}$ 中 1 的个数。系数 $s$ 也可以写成 $s = \frac{1}{2} (n - t)$ ，其中 $t$ 是度量的指标。由于任何 $p$ -向量 $A$ 都是 $e_{i}$ 的线性组合，我们有恒等式

* * A = (- 1)^{p (n - p) + s} A . (8.49)

定理 8.6 · 霍奇星算子的恒等式 (Identities for the Hodge star operator)

对于任意 $p$ 维向量 $A$ 和 $B$ ，我们也有以下恒等式：

$A \land * B = B \land * A = (- 1)^{s} (A, B) E, (8.50)$
和

$(* A, * B) = (- 1)^{s} (A, B) . (8.51)$

证明

方程（8.50）的第一部分由下式得出：

A \land * B = (* A, * B) E = (* B, * A) E = B \land * A .

式 (8.50) 的第二部分可由式 (8.16) 和式 (8.49) 推得，

A \land * B = (- 1)^{p (n - p)} * B \land A = (- 1)^{p (n - p)} * B \land A = (- 1)^{p (n - p)} (* * B, A) E = (- 1)^{s} (A, B) E .

利用式式 (8.47) 和式 (8.50)，我们有

(* A, * B) E = A \land * B = (- 1)^{s} (A, B) E

而式（8.51）立即推出，因为 $E \neq = 0$

在标准正交基中，霍奇对偶的分量规定是直接的，并留作练习。

* A^{j_{1} \dots j_{n - p}} = \frac{( - 1 ) ^{s}}{( n - p )!} ϵ^{i_{1} \dots i_{p} j_{1} \dots j_{n - p}} A_{i_{1} \dots i_{p}} . (8.52)

将此方程写为张量方程的分量形式，

* A^{j_{1} \dots j_{n - p}} = \frac{( - 1 ) ^{s} n !}{( n - p )!} E^{i_{1} \dots i_{p} j_{1} \dots j_{n - p}} A_{i_{1} \dots i_{p}},

并利用式（8.30），我们可以在任意基中表示霍奇对偶：

* A^{j_{1} \dots j_{n - p}} = \frac{( - 1 ) ^{s}}{( n - p )! ∣ g ∣} ϵ^{i_{1} \dots i_{p} j_{1} \dots j_{n - p}} A_{i_{1} \dots i_{p}} . (8.53)

随文练习

证明在降低指标后，式（8.53）可写为

$* A_{j_{1} \dots j_{n - p}} = \frac{∣ g ∣}{( n - p )!} ϵ_{i_{1} \dots i_{p} j_{1} \dots j_{n - p}} A^{i_{1} \dots i_{p}} . (8.54)$

例 8.6

将1视为基0-向量，我们从式(8.48)得到
$* 1 = ϵ_{12 \dots n} (E, E) E = (- 1)^{s} E .$
反之，体积元 $E$ 的对偶是1，
$* E = ϵ_{12 \dots n} 1 = 1.$
这两个公式在令 $p = n or p = 0$ 时与双星公式式 (8.49)一致

例 8.7

在三维笛卡尔张量中， $s = 0$ 且所有指标均处于下标位置：
$(* 1)_{ij k} = ϵ_{ij k}, A = A_{i} e_{i} ⟹ (* A)_{ij} = \frac{1}{2 !} ϵ_{k ij} A_{k} = \frac{1}{2} ϵ_{ij k} A_{k}, A = A_{ij} e_{i} \otimes e_{j} ⟹ (* A)_{i} = ϵ_{j k i} A_{j k} = ϵ_{ij k} A_{j k}, * E = \frac{1}{3 !} ϵ_{ij k} ϵ_{ij k} = 1.$
任意两个向量 $u \times v$ 的向量积概念是楔积的对偶，对于
$u \equiv u = u_{i} e_{i}, v \equiv v = v_{j} e_{j} ⟹ (u \land v)_{ij} = \frac{1}{2} (u_{i} v_{j} - u_{j} v_{i}),$
因此
$* (u \land v)_{i} = ϵ_{ij k} (u \land v)_{j k} = \frac{1}{2} ϵ_{ij k} (u_{j} v_{k} - u_{k} v_{j}) = ϵ_{ij k} u_{j} v_{k} = (u \times v)_{i} .$

例 8.8

在四维闵可夫斯基空间中，当 $s = 1$ 时，各种 $p$ 向量的对偶公式为
$(* 1)^{ij k l} = - \frac{1}{4 !} ϵ^{ij k l} = - \frac{1}{24} ϵ^{ij k l}, A = A^{i} e_{i} ⟹ (* A)^{ij k} = \frac{- 1}{3 !} ϵ^{l ij k} A_{l} = \frac{1}{6} ϵ^{ij k l} A_{l}, B = B^{ij k} e_{i} \otimes e_{j} \otimes e_{k} ⟹ (* B)^{i} = - ϵ^{j k l i} B_{j k l} = ϵ^{ij k l} B_{j k l}, F = F^{ij} e_{i} \otimes e_{j} ⟹ (* F)^{ij} = \frac{- 1}{2 !} ϵ^{k l ij} F_{k l} = - \frac{1}{2} ϵ^{ij k l} F_{k l}, * E = - ϵ^{ij k l} \frac{- 1}{4 !} ϵ_{ij k l} = \frac{4 !}{4 !} = 1.$
请注意，如果将分量 $F^{ij}$ 写成下面的“电磁形式”，其意义将在第9章中变得清楚，
$[F^{ij}] = 0 - B_{3} B_{2} E_{1} B_{3} 0 - B_{1} E_{2} - B_{2} B_{1} 0 E_{3} - E_{1} - E_{2} - E_{3} 0 ⟹ [F_{ij}] = 0 - B_{3} B_{2} - E_{1} B_{3} 0 - B_{1} - E_{2} - B_{2} B_{1} 0 - E_{3} E_{1} E_{2} E_{3} 0$
那么对偶张量本质上置换电场和磁场，至多相差一个符号变化，
$* F^{ij} = 0 E_{3} - E_{2} B_{1} - E_{3} 0 E_{1} B_{2} E_{2} - E_{1} 0 B_{3} - B_{1} - B_{2} - B_{3} 0 .$
指标下降映射 $\overset{g}{ˉ} : V \to V^{*}$ 可以唯一地延拓为从 $p$ -向量到 $p$ -形式的线性映射，
$\overset{g}{ˉ} : Λ^{p} (V) \to Λ^{* p} (V)$
通过要求
$\overset{g}{ˉ} (u \land v \land \dots \land w) = \overset{g}{ˉ} (u) \land \overset{g}{ˉ} (v) \land \dots \land \overset{g}{ˉ} (w) .$
在分量中，它具有预期的效果
$(\overset{g}{ˉ} A)_{i_{1} i_{2} \dots i_{p}} = g_{i_{1} j_{1}} g_{i_{2} j_{2}} \dots g_{i_{p} j_{p}} A^{j_{1} j_{2} \dots j_{p}}$
由式式 (8.42) 和式 (8.45) 可得

$(\overset{g}{ˉ} (A), \overset{g}{ˉ} (B)) = (A, B) . (8.55)$
如果霍奇星算子在形式上的定义要求它与降算符 $\overset{g}{ˉ} .$ 对易

$* \overset{g}{ˉ} (A) = \overset{g}{ˉ} (* A) (8.56)$
于是我们得到 $p$ -形式 $α$ 的霍奇星算子的定义关系，其形式类似于式 (8.47)，

$α \land β = (- 1)^{s} (* α, β) Ω. (8.57)$
进入此方程的那个因子 $(- 1)^{s}$ 本质上源于这样一个事实：若 $s$ 为奇数，则“降指标”基向量 $\overset{g}{ˉ} (e_{i})$ 与对偶基 $ε^{i}$ 具有不同的定向；而当 $s$ 为偶数时，它们具有相同的定向。

习题

习题 8.6

证明由式 (8.39) 定义的量 $⟨ A, β ⟩$ 对所有 $p$ -向量 $A$ 都为零，当且仅当 $β = 0$ 。由此证明 $Λ (V)$ 上的线性泛函与 $p$ -形式之间的对应是一一的，
$(Λ^{p} (V))^{*} ≅ Λ^{* p} (V) .$

习题 8.7

证明基向量 $e_{i}$ 与 $ε^{i_{1} i_{2} \dots i_{r}}$ 之间的内积运算由下式给出
$i_{e_{i}} ε^{i_{1} \dots i_{r}} = {0 (- 1)^{a - 1} ε^{i_{1} \dots i_{a - 1} i_{a + 1} \dots i_{r}} if i \in / {i_{1}, \dots i_{r}}, if i = i_{a} .$

习题 8.8

证明式（8.52）。

习题 8.9

每个 $p$ -形式 $α$ 都可以通过作用 $α (A) = ⟨ A, α ⟩$ 视为 $Λ^{p} (V)$ 上的线性泛函。证明基 $ε^{i}$ 与基 $e_{j}$ 对偶，其中 $i = i_{1} < i_{2} < \cdot \cdot \cdot < i_{p}, j = j_{1} < j_{2} < \dots < j_{p},$
$⟨ e_{j}, ε^{i} ⟩ = δ_{j}^{i} \equiv δ_{j_{1}}^{i_{1}} δ_{j_{2}}^{i_{2}} \dots δ_{j_{p}}^{i_{p}} .$
验证
$i_{1} < i_{2} < \dots < i_{p} \sum \dots \sum e_{i_{1} i_{2} \dots i_{p}} ε^{i_{1} i_{2} \dots i_{p}} = dim Λ^{p} (V) .$

习题 8.10

证明：若 $u$ 、 $v$ 与 $w$ 是 $n$ 维实内积空间中的向量，则

(a) $(u \land v, u \land v) = (u \cdot u) (v \cdot v) - (u \cdot v)^{2} .$

(b) $u \land * (v \land w) = (u \cdot w) * v - (u \cdot v) * w .$

(c) 在三维笛卡尔向量中，这些方程归结为哪些恒等式？

习题 8.11

设 $g_{ij}$ 为四维空间上的闵可夫斯基度量，其指标为 2（因此有三个符号以及 $one - sign)$ 。

(a) 通过计算内积 $(e_{i_{1} i_{2}}, e_{j_{1}, j_{2}})$ ，利用式 (8.44) 证明这些内积中有三个 1，因此定义在六维二重向量空间 $Λ^{2} (V)$ 上的内积的指标为 0。

(b) 若 $V$ 是 $n$ 维的，且 $g_{ij}$ 的指标为 $t$ ，则 $Λ^{2} (V)$ 上内积的指标是什么？[答： $\frac{1}{2} (t^{2} - n) .]$

习题 8.12

证明在任意基下， $p$ -形式 $α$ 的对偶的分量表示为

$(* α)_{j_{1} j_{2} \dots j_{n - p}} = \frac{∣ g ∣}{( n - p )!} ϵ_{i_{1} \dots i_{p} j_{1} j_{2} \dots j_{n - p}} α^{i_{1} \dots i_{p}} . (8.58)$

习题 8.13

若 $u$ 是任意向量，且 $α$ 是任意 $p$ -形式，则证明
$i_{u} * α = * (α \land \overset{g}{ˉ} (u)) .$

Szekeres · 数学物理

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8.6 霍奇对偶

$p$ 向量的内积

霍奇星算子

习题

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