16.2 外微分的性质

English

若 $\phi :M\to N$ 是两个可微流形 $M$ 与 $N$ 之间的光滑映射，则我们以与拉回映射类似的方式定义诱导映射 ${\phi }^{\ast }:{\Lambda }_r(N)\to {\Lambda }_r(M)$，见式 (15.18)：

$$({\phi }^{\ast }\alpha {)}_p((X_1{)}_p,(X_2{)}_p,\dots ,(X_r{)}_p)={\alpha }_{\phi (p)}({\phi }_{\ast }(X_1{)}_p,{\phi }_{\ast }(X_2{)}_p,\dots ,{\phi }_{\ast }(X_r{)}_p).$$

对于余向量场，该映射在所有微分 $r$-形式 ${\phi }^{\ast }\alpha$ 上有良好定义。0-形式 $f\in \mathcal{F}(N)={\Lambda }_0(N)$ 的拉回由 ${\phi }^{\ast }f=f\circ \phi$ 定义，并且它保持楔积

$${\phi }^{\ast }(\alpha \wedge \beta )={\phi }^{\ast }\alpha \wedge {\phi }^{\ast }\beta ,$$

这直接由定义$\alpha {\bigwedge }_{\alpha }\mathbf{\beta }=\mathcal{A}(\alpha \otimes \mathbf{\beta })$推出

随文练习

证明两个映射 $\phi$ 与 $\psi$ 的复合导致拉回的反向复合，如式 (15.19) 所示，$(\phi \circ \psi {)}^{\ast }={\psi }^{\ast }\circ {\phi }^{\ast }$

定理 16.2 · 外微分与拉回可交换 (Exterior differentiation commutes with pullback)

对于任意微分形式 $\alpha \in \Lambda (N)$，诱导映射 ${\phi }^{\ast }$ 与外微分可交换，

$$\mathrm{d}{\phi }^{\ast }\alpha ={\phi }^{\ast }\mathrm{d}\alpha .$$

证明

对于 0-形式 $\alpha =f:N\to \mathbb{R}$，在任意点 $p\in M$ 和任意切向量 $X_p$

$$\begin{array}{rl}& ⟨({\phi }^{\ast }\mathsf{d}f{)}_p,X_p⟩=⟨(\mathsf{d}f{)}_{\phi (p)},{\phi }_{\ast }{X}_p⟩\\ & =({\phi }_{\ast }{X}_p)f\\ & =X_p(f\circ \phi )\\ & =⟨(\mathsf{d}(f\circ \phi ){)}_p,X_p⟩.\end{array}$$

由于该方程对所有切向量 $X_p,$ 均成立，我们有

$${\phi }^{\ast }\mathrm{d}f=\mathrm{d}(f\circ \phi )=\mathrm{d}({\phi }^{\ast }f).$$

对于一般的 $r$-形式，只需在任意局部坐标 坐标卡 $(U;x^i).\mathrm{If}\alpha ={\alpha }_{i_1\dots i_r}\mathtt{d}{x}^{i_1}\wedge \cdot \cdot \cdot \wedge \mathtt{d}{x}^{i_r}$ 中证明该结果，然后

$$\begin{array}{l}{\phi }^{\ast }\mathrm{d}\alpha ={\phi }^{\ast }(\mathrm{d}{\alpha }_{i_1\dots i_r}\wedge \mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \dots \mathrm{d}{x}^{i_r})\\ =\mathrm{d}({\phi }^{\ast }{\alpha }_{i_1\dots i_r})\wedge \mathrm{d}({\phi }^{\ast }{x}^{i_1})\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}({\phi }^{\ast }{x}^{i_r})\\ =\mathrm{d}({\phi }^{\ast }\alpha ).\end{array}$$

将李导数的定义 (15.33) 应用于张量场 $\alpha$，并利用 $\widetilde{{\sigma }_t}={\left({\sigma }_{-t}\right)}^{\ast }$，其中 ${\sigma }_t$ 是生成向量场 $X$ 的局部单参数群，由定理 16.2 可知，外微分与李导数可交换，

$${\mathcal{L}}_X\mathrm{d}\alpha =\mathrm{d}{\mathcal{L}}_X\alpha .\text{\hspace{1em}(16.8)}$$

对任意向量场 $X$，定义内积运算 ${\mathfrak{i}}_X:{\Lambda }_r(M)\to {\Lambda }_{(r-1)}(M)$ )，如第 8.4 节所述，

$${\mathrm{i}}_X\alpha =r{C}_1^1(X\otimes \alpha ),\text{\hspace{1em}(16.9)}$$

或者等价地，对于任意向量场 $X_1,X_2,\dots ,X_r$

$$({\mathrm{i}}_{X_1}\alpha )(X_2,\dots ,X_r)=r\alpha (X_1,X_2,\dots ,X_r).\text{\hspace{1em}(16.10)}$$

由式 (8.20)，${\mathrm{i}}_X$ 是一个反导子——对任意微分 $r$-形式 $\alpha$ 和任意微分形式 $\beta$

$${\mathrm{i}}_X(\alpha \wedge \beta )=({\mathrm{i}}_X\alpha )\wedge \beta +(-1{)}^r\alpha \wedge ({\mathrm{i}}_X\beta ).\text{\hspace{1em}(16.11)}$$

随文练习

证明对于任意一对向量场 $X$ 和 $Y,{\mathbf{i}}_X\circ {\mathbf{i}}_Y=-{\mathbf{i}}_Y\circ {\mathbf{i}}_X$

定理 16.3 · 卡当公式 (Cartan’s formulas)

（嘉当）若 $X$ 与 $Y$ 是可微流形 $M$ 上的光滑向量场，且 $\omega$ 是一次微分形式，则

$${\mathrm{i}}_{[X,Y]}={\mathcal{L}}_X\circ {\mathrm{i}}_Y-{\mathrm{i}}_Y\circ {\mathcal{L}}_X,\text{\hspace{1em}(16.12)}$$

$${\mathcal{L}}_X={\mathrm{i}}_X\circ \mathrm{d}+\mathrm{d}\circ {\mathrm{i}}_X,\text{\hspace{1em}(16.13)}$$

$$\mathrm{d}\omega (X,Y)=\frac{1}{2}(X(⟨Y,\omega ⟩)-Y(⟨X,\omega ⟩)-⟨[X,Y],\omega ⟩).\text{\hspace{1em}(16.14)}$$

证明

第一个恒等式本质上可由李导数 ${\mathcal{L}}_X$ 与缩并算符可交换这一事实推出，即 ${\mathcal{L}}_X{C}_i^i=C_i^i{\mathcal{L}}_X$（见习题 15.24）。因此，对任意 $r$-形式 $\alpha$，利用莱布尼茨法则（15.35）可得

$$\begin{array}{rl}& \\ & {\mathcal{L}}_X({\mathrm{i}}_Y\alpha )=r{C}_1^1{\mathcal{L}}_X(Y\otimes \alpha )\\ & =r{C}_1^1[({\mathcal{L}}_{X}Y)\otimes \alpha +Y\otimes {\mathcal{L}}_X\alpha ]\\ & ={\mathrm{i}}_{[X,Y]}\alpha +{\mathrm{i}}_Y({\mathcal{L}}_X\alpha )\end{array}$$

按要求。

为证明式 (16.13)，令 $K_X$ 为算符 $K_X=i_{X}o\mathbf{d}+\mathbf{d}\circ i_X:{\Lambda }_r(M)\to {\Lambda }_r(M)$。利用 $i$ 与 $d$ 均为反导子这一事实，即式 (16.11) 与式 (16.3)，可直接证明 $K_X$ 是一个导子，

$$K_X(\alpha \wedge \beta )=K_X\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge K_X\beta$$

对所有微分形式$\alpha$和$\beta .$。由${\mathrm{d}}^2=0$，算符$K_X$与$d$可交换，

$$K_X\circ \mathrm{d}={\mathrm{i}}_X\circ {\mathrm{d}}^2+\mathrm{d}\circ {\mathrm{i}}_X\circ \mathrm{d}=\mathrm{d}\circ {\mathrm{i}}_X\circ \mathrm{d}=\mathrm{d}\circ K_X.$$

若 $\alpha$ 是一个 0-形式 $\alpha =f$，则按定义有 ${\mathrm{i}}_{X}f=0$，并且

$$K_{X}f={\mathrm{i}}_X(\mathrm{d}f)+{\mathrm{di}}_{X}f=⟨\mathrm{d}f,X⟩=Xf={\mathcal{L}}_{X}f.$$

因此，由于$K_X$与$d$和${\mathcal{L}}_X$均可交换，

$$K_X\mathrm{d}f=\mathrm{d}{K}_{X}f=\mathrm{d}({\mathcal{L}}_{X}f)={\mathcal{L}}_X\mathrm{d}f.$$

应用导子性质，我们得到 $K_X(g\mathrm{d}f)={\mathcal{L}}_X(g\mathrm{d}f)$，并且所要求的恒等式对任意 1-形式 $\omega ,$ 成立，因为它在任意点的坐标卡中可局部表示为 $\omega =w_i\mathrm{d}{x}^i$。该论证可推广到更高阶的 $r$-形式，以证明算符 ${\mathcal{L}}_X$ 与 $K_X$ 在 ${\Lambda }_r(M)$ 上完全相同

最后的恒等式 式 (16.14) 通过将 式 (16.13) 应用于一个 1-形式 $\omega ,$ 得到证明。

$$⟨Y,{\mathcal{L}}_X\omega ⟩=⟨Y,{\mathrm{i}}_X(\mathrm{d}\omega )+\mathrm{d}({\mathrm{i}}_X\omega )⟩$$

并且利用李导数的莱布尼茨法则，

$${\mathcal{L}}_X(⟨Y,\omega ⟩)-⟨{\mathcal{L}}_{X}Y,\omega ⟩={\mathrm{i}}_X\mathrm{d}\omega (Y)+Y({\mathrm{i}}_X\omega ).$$

在式（16.10）中令$r=1$和$\alpha =\omega$，

$$X(⟨Y,\omega ⟩)-⟨{\mathcal{L}}_{X}Y,\omega ⟩=2\mathrm{d}\omega (X,Y)+Y(⟨X,\omega ⟩)$$

由式（16.14）即可立即得到。

若 $\alpha$ 是 $M$ 上的 $r$ 形式，则推广式 (16.14) 的 $\alpha (X_1,X_2,\dots ,X_{r+1})$ 的公式留给读者（见习题 16.5）。

习题

习题 16.4

设 $\phi :{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ 为映射

$$(x,y)\to (u,v,w)\text{ where }u=\sin (xy),v=x+y,w=2.$$

对于 1-形式 $\omega =w_1\mathrm{d}u+w_2\mathrm{d}v+w_3$ $\mathrm{d}w$ 在 ${\mathbb{R}}^3$ 上计算 ${\phi }^{\ast }\omega$。对于任意函数 $f:{\mathbb{R}}^3\mathbb{R}$，验证定理 16.2，即 $\mathbf{d}({\phi }^{\ast }f)={\phi }^{\ast }\mathbf{d}f$

习题 16.5

若 $\alpha$ 是可微流形 $M,$ 上的一个 $r$-形式，证明对任意向量场 $X_1,X_2,\dots X_{r+1}$

$$\begin{array}{l}\mathrm{d}\alpha (X_1,X_2,\dots ,X_{r+1})=\frac{1}{r+1}[{\sum }_{i=1}^{r+1}(-1{)}^{i+1}{X}_i\alpha (X_1,X_2,\dots ,{\hat{X}}_i,\dots ,X_{r+1})\\ +{\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=i+1}^{r+1}(-1{)}^{i+j}\alpha ([X_i,X_j],\dots ,{\hat{X}}_i,\dots ,{\hat{X}}_j,\dots ,X_{r+1})]\end{array}$$

其中 $\widehat{X_i}$ 表示应省略自变量 $X_i$。$r=0$ 的情形只是断言 $df(X)=Xf,$，而式 (16.14) 则是 $r=1$ 的情形。用归纳法进行，假设该恒等式对所有 $(r-1)$-形式成立，并利用如下事实：任何 $r$-形式都可在局部写成 $\omega \wedge \beta$ 型张量之和，其中 $\omega$ 是 1-形式，而 $\beta$ 是 $r$-形式。

习题 16.6

证明 ${\mathbb{R}}^3$ 上的拉普拉斯算符可以由下式定义

$$\mathrm{d}\ast \mathrm{d}\varphi ={\nabla }^2\varphi \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z=\left(\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2}\right)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z$$

其中是第8.6节中的霍奇星算子。

用此在球极坐标 $(r,\theta ,\varphi )$ 中表示拉普拉斯算符