10.7 连通空间

English

直观地说，如果拓扑空间 $X$ 可以分解为两个不相交的子集 $X=A\cup B$，且这些集合没有任何公共边界点，那么我们可以认为它是“不连通”的。由于一个集合的边界同时也是其补集的边界，这种分解能够发生的唯一方式是存在一个不同于空集或整个空间 $X$ 的集合 $A$，它完全没有边界点。由于 $b(A)=\overline{A}-A^o$，$b(A)=\varnothing$ 能够发生的唯一方式是 $\overline{A}=A^o.$ 由于 $\overline{A}\subseteq A\subseteq A^o$，集合 $A$ 必须同时等于其闭包和内部；特别地，它需要同时是开集和闭集。这引出了以下定义：如果仅有的既开又闭的子集是空集和空间 $X$ 本身，则称拓扑空间 $X$ 为 连通空间(connected space)。如果一个空间不是连通的，则称它为不连通空间(disconnected space)。换言之，如果 $X=A\cup B$，其中 $A$ 和 $B$ 是既开又闭的不相交集合，则 $X$ 是不连通的。如果子集 $A\subset X$ 在相对拓扑中是连通的，则称它是连通的。

例 10.17

任何集合 $X$ 上的不可分拓扑是连通的，因为其仅有的开集是 $\varnothing$ 或 $X$。任何具有多于一个点的集合 $X$ 上的离散拓扑是不连通的，因为每个非空子集既开又闭。

例 10.18

实数集 $\mathbb{R}$ 在标准拓扑中是连通的。为证明这一点，设 $A\subset \mathbb{R}$ 既开又闭。若 $x\in A$，令 $y$ 为所有满足 $[x,y)\subset A$ 的实数的上确界。若 $y<\infty$，则 $y$ 是 $A,$ 的聚点，因此 $y\in A$，因为 $A$ 是闭集。然而，由于 $A$ 是开集，存在一个区间 $(y-a,y+a)\subset A$。于是 $[x,y+a)\subset A$，这与 $y$ 是上确界的约定矛盾。因此 $y=\infty$。类似地 $(-\infty ,x]\subset A$，而唯一可能是 $A=\varnothing$ 或 $A=\mathbb{R}$

定理 10.15 · 连通集的闭包 (Closure of a connected set)

连通集合的闭包是连通的。

证明

设 $A\subset X$ 为连通集合。假设 $U$ 是 $A,$ 的闭包 $\overline{A}$ 的子集，且它在 $\overline{A},$ 中既开又闭，并令 $V=\overline{A}-U$ 为 $U$ 在 $\overline{A}.$ 中的补集。由于 $A$ 连通，且集合 $U\cap A$ 与 $V\cap A$ 在 $A$ 中均既开又闭，因此其中必有一个是空集，而另一个是整个集合 $A$。例如，若 $V\cap A=\varnothing$，则 $U\cap A=A$，从而 $A\subset U\subseteq \overline{A}$。由于 $U$ 在 $\overline{A}$ 中闭，我们必须有 $U=\overline{A}$ 和 $V=\overline{A}-U=\varnothing$。若 $U\cap A=\varnothing$，则通过完全相同的论证可得 $U=\varnothing$。因此 $\overline{A}$ 连通。

下述定理用于许多与拓扑空间或其子空间的连通性有关的论证中。直观地说，它表明，若将任意数量的连通集合“附着”到一个给定的连通集合上，则连通性得以保持。

定理 10.16 · 相交连通集的并 (Unions of connected sets meeting a common connected set)

设 $A_0$ 为拓扑空间 $X$ 的任意连通子集，且 $\{A_i\mid i\in I\}$ 为 $X$ 的任意一族连通子集，使得对于该族的每个成员都有 $A_0\cap A_i\ne \varnothing$。则集合 $A=A_0\cup \left({\bigcup }_{i\in I}{A}_i\right)$ 是 $X$ 的连通子集。

证明

设 $A=U\cup V$，其中 $U$ 与 $V$ 是 $A$ 上相对拓扑中的不相交开集。对一切 $i\in I$，集合 $U\cap A_i$ 与 $V\cap A_i$ 是 $A_i$ 的不相交开集，其并集为 $A_i$。由于 $A_i$ 连通，故或者 $U\cap A_i=\varnothing$，或者 $V\cap A_i=\varnothing$。这对 $A_0:$ 也成立：或者 $U\cap A_0=\varnothing$ 或 $V\cap A_0=\varnothing .$，不妨设后者成立。于是 $U\cap A_0=A_0$，从而 $A_0\subseteq U$。由于 $A_0\cap A_i\ne \varnothing$，我们对一切 $i\in I$ 有 $U\cap A_i\ne \varnothing$。因此 $V\cap A_i=\varnothing$ 且 $U\cap A_i=A_i$；也就是说，对一切 $i\in I$ 有 $A_i\subseteq U$。因此 $U=A$ 且 $V=\varnothing$，这表明 $A$ 是 $X$ 的连通子集。

与定理 10.10 类似的一个定理对连通性也成立：连通空间在连续映射下的像是连通的。这也表明连通性是一个拓扑性质，在同胚下不变。

定理 10.17 · 连通集的连续像 (Continuous images of connected sets)

若 $f:X\to Y$ 是从连通拓扑空间 $X$ 到拓扑空间 $Y$ 的连续映射，则其像集 $f(X)$ 是 $Y$ 的连通子集。

证明

设 $B$ 为 $f(X)$ 的任意非空子集，且它在相对拓扑中既开又闭。这意味着存在开集 $U\subseteq Y$ 和闭集 $C\subseteq Y$，使得 $B=U\cap f(X)=C\cap f(X)$ 。由于 $f$ 是连续映射，逆像集 $f^{-1}(B)=f^{-1}(U)=f^{-1}(C)$ 在 $X$ 中既开又闭。由于 $X$ 连通，因此 $B=f(X);$ ；从而 $f(X)$ 连通。

这些定理的一个有用应用是证明两个连通空间的拓扑积是连通的。

定理 10.18 · 积空间的连通性 (Connectedness of product spaces)

两个拓扑空间的拓扑积 $X\times Y$ 是连通空间，当且仅当 $X$ 与 $Y$ 均为连通空间。

证明

由定理 10.3，由 ${\iota }_x(y)={\iota }_y^{\prime }(x)=(x,y)$ 定义的映射 ${\iota }_x:Y\to X\times Y$ 与 ${\iota }_y^{\prime }:X\to X\times Y$ 均连续。假设 $X$ 与 $Y$ 都是连通拓扑空间。选取一个固定点 $y_0\in Y$。由定理 10.17，点集 $X\times y_0=\{(x,y_0)|x\in X\}={\iota }_{y_0}^{\prime }(X)$ 是 $X\times Y$ 的连通子集。类似地，集合 $\{x\times Y={\iota }_x(Y)|x\in X\}$ 是 $X\times Y$ 的连通子集，其中每一个都在点 $(x,y_0)$ 处与 $X\times y_0$ 相交。这些集合的并集显然就是 $X\times Y$，而根据定理 10.16，它必定连通。

反之，假设 $X\times Y$ 是连通的。由定理 10.17，空间 $X$ 与 $Y$ 均连通，因为它们分别是连续投影映射 ${\mathrm{pr}}_1:X\times Y\to X$ 与 ${\mathrm{pr}}_2:X\times Y\to Y$ 的像。

例 10.19

空间 ${\mathbb{R}}^n$ 由例 10.18 和定理 10.18 可知是连通的。为证明二维球面 $S^2$ 是连通的，考虑分别去掉北极和南极所得的“穿孔”球面 $S^{\prime }=S^2-\{N=(0,0,1)\}$ 和 $S^{\prime \prime }=S^2-\{S=(0,0,-1)\}$。集合 $S^{\prime }$ 是连通的，因为它在球极平面投影下同胚于平面 ${\mathbb{R}}^2$（图 10.6），

$$x^{\prime }=\frac{x}{1-z},y^{\prime }=\frac{y}{1-z}\text{ where }z=\pm \sqrt{1-x^2-y^2},\text{\hspace{1em}(10.1)}$$

它具有如下连续逆映射

$$x=\frac{2x^{\prime }}{r^{\prime 2}+1},y=\frac{2y^{\prime }}{r^{\prime 2}+1},z=\frac{r^{\prime 2}-1}{r^{\prime 2}+1}\left(r^{\prime 2}=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right).\text{\hspace{1em}(10.2)}$$

类似地，$S^{\prime \prime }$ 是连通的，因为它同胚于 ${\mathbb{R}}^2$。由于 $S^{\prime }\cap S^{\prime \prime }\ne \varnothing$ 和 $S^2=S^{\prime }\cup S^{\prime \prime }$，由定理 10.16 可知 $S^2$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的连通子集。类似的论证可用于证明 $n$-球面 $S^n$ 对所有 $n\ge 1$ 都是连通拓扑空间。

图 10.6 从球面北极出发的投影映射

拓扑空间 $X$ 的 连通分支(connected component) $C$ 是极大连通集；也就是说，$C$ 是 $X$ 的连通子集，使得若 $C^{\prime }\supseteq C$ 是 $C$ 的任意连通超集，则 $C^{\prime }=C$。子集 $A\subset X$ 的连通分支是关于 $A$ 上相对拓扑的连通分支。由定理 10.15 立即可知，任何连通分支都是闭集，因为它蕴含 $C=\overline{C}$。拓扑空间 $X$ 连通当且仅当整个空间 $X$ 是其唯一的连通分支。在离散拓扑中，连通分支由所有单元素集 $\{x\}$ 组成。

随文练习

证明任意两个不同的连通分支 $A$ 与 $B$ 是分离的，即 $\overline{A}\cap B=A\cap \overline{B}=\varnothing$

定理 10.19 · 连通分支的唯一性 (Uniqueness of the connected component containing a connected set)

拓扑空间的每个连通子集 $A$都包含在一个唯一的连通分支中。

证明

设 $C$ 为 $X$ 的所有包含集合 $A$ 的连通子集的并集。由于这些集合都与连通子集 $A$ 相交，由定理 10.16 可知 $C$ 是连通集合。它显然是极大的，因为若存在连通集合 $C_1$ 使得 $C\subseteq C_1$，则 $C_1$ 属于以 $C$ 为并集的那个集合族，从而 $C\supset C_1$。因此 $C=C_1$

为证明唯一性，假设 $C^{\prime }$ 是另一个连通分支，使得 $C^{\prime }\supset A$。由定理 10.16，$C\cup C^{\prime }$ 是连通集合，并且由 $C$ 与 $C^{\prime }$ 的极大性，我们有 $C\cup C^{\prime }=C=C^{\prime }$

习题

习题 10.18

证明：拓扑空间 $X$ 是连通的，当且仅当从 $X$ 到由至少两个点构成的离散拓扑空间 $Y$ 的每个连续映射 $f:X\to Y$ 都是常值映射（见问题 10.14）。

习题 10.19

由定理 10.16 证明单位圆 $S^1$ 是连通的，并且对一切 $n>1$，去心 $n$ 空间 ${\dot{\mathbb{R}}}^n={\mathbb{R}}^n-\{0\}$ 是连通的。为什么对 $n=1$ 这不成立？

习题 10.20

证明例 10.15 中定义的实射影空间是连通的、豪斯多夫 的且紧致的。

习题 10.21

证明有理数 $\mathbb{Q}$ 是实数的一个不连通子集。无理点是否为 $\mathbb{R}$ 的不连通子集？证明有理数 $\mathbb{Q}$ 的连通分支由单元素集 $\{x\}$ 组成。