1.8 规范理论

目前，物理上合理的基本相互作用理论都以规范理论为基础。规范原理——物理不应依赖于我们如何描述它——与广义相对论原理是协调一致的。这里我们简要概述规范理论的经典方面。进一步的参考文献，读者应查阅本章开头所列的书籍。

1.8.1 阿贝尔规范理论

读者应当熟悉麦克斯韦方程组：

$$\mathrm{div}\mathbf{B}=0\text{\hspace{1em}(1.241a)}$$

$$\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}+\mathrm{curl}\mathbf{E}=0\text{\hspace{1em}(1.241b)}$$

$$\mathrm{div}\mathbf{E}=\rho \text{\hspace{1em}(1.241c)}$$

$$\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}-\mathrm{curl}\mathbf{E}=-\mathbf{j}.\text{\hspace{1em}(1.241d)}$$

磁场 $B$ 与电场 $E$ 可用矢势 $A_{\mu }=(\varphi ,A)$ 表示为

$$\mathbf{B}=\mathrm{curl}\mathbf{A}\mathbf{E}=\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}-\mathrm{grad}\varphi .\text{\hspace{1em}(1.242)}$$

麦克斯韦方程组在规范变换

$$A_{\mu }\to A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\chi \text{\hspace{1em}(1.243)}$$

下保持不变，其中 $\chi$ 是一个标量函数。若我们按下式定义电磁场张量(electromagnetic field tensor) $F_{\mu \nu }$，这种不变性便一目了然：

$$F_{\mu v}\equiv {\partial }_{\mu }{A}_v-{\partial }_v{A}_{\mu }=\left(\begin{array}{cccc}0& -E_x& -E_y& -E_z\\ E_x& 0& B_z& -B_y\\ E_y& -B_z& 0& B_z\\ E_z& B_y& -B_x& 0\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(1.244)}$$

由上述构造可知，$F$ 在 (1.243) 下保持不变。电磁场的拉格朗日量由下式给出：

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{EM}}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }+A_{\mu }{j}^{\mu }\text{\hspace{1em}(1.245)}$$

其中 $j^{\mu }=(\rho ,j)$

练习 1.11

证明 (1.241a) 与 (1.241b) 可写成

$${\partial }_{\xi }{F}_{\mu \nu }+{\partial }_{\mu }{F}_{\nu \xi }+{\partial }_{\nu }{F}_{\xi \mu }=0\text{\hspace{1em}(1.246a)}$$

而 (1.241c) 与 (1.241d) 则为

$${\partial }_v{F}^{\mu v}=j^{\mu }\text{\hspace{1em}(1.246b)}$$

其中时空指标的升降由闵可夫斯基度量 $\eta =\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$ 完成。验证 (1.246b) 就是由 (1.245) 导出的欧拉-拉格朗日方程。

设 $\psi$ 是电荷为 $e$ 的狄拉克场。自由狄拉克拉格朗日量

$${\mathcal{L}}_0=\bar{\psi }(\mathrm{i}{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }+m)\psi \text{\hspace{1em}(1.247)}$$

显然在整体规范变换

$$\psi \to {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}e\alpha }\psi \bar{\psi }\to \bar{\psi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}e\alpha }\text{\hspace{1em}(1.248)}$$

下保持不变，其中 $\alpha \in \mathbb{R}$ 为常数。我们把这个对称性提升为局域规范变换下的不变性，

$$\psi \to {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}e\alpha (x)}\psi \bar{\psi }\to \bar{\psi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}e\alpha (x)}.\text{\hspace{1em}(1.249)}$$

拉格朗日量在 (1.249) 下变换为

$$\bar{\psi }\left(\mathrm{i}{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }+m\right)\psi \to \bar{\psi }\left(\mathrm{i}{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }+e{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\alpha +m\right)\psi .\text{\hspace{1em}(1.250)}$$

由于多出的项 $e{\partial }_{\mu }\alpha$ 看起来像是矢势的规范变换，我们让规范场 $A_{\mu }$ 与 $\psi$ 耦合，使拉格朗日量具有局域规范对称性。我们发现

$$\mathcal{L}=\bar{\psi }[\mathrm{i}{\gamma }^{\mu }\left({\partial }_{\mu }-\mathrm{i}e{A}_{\mu }\right)+m]\psi \text{\hspace{1em}(1.251)}$$

在联合规范变换

$$\begin{array}{rl}& \psi \to {\psi }^{\prime }={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}e\alpha (x)}\psi \bar{\psi }\to {\bar{\psi }}^{\prime }=\bar{\psi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}e\alpha (x)}\\ & A_{\mu }\to A_{\mu }^{\prime }=A_{\mu }-{\partial }_{\mu }\alpha (x).\end{array}\text{\hspace{1em}(1.252)}$$

下保持不变。下面引入协变导数，

$${\nabla }_{\mu }\equiv {\partial }_{\mu }-\mathrm{i}e{A}_{\mu }{\nabla }_{\mu }^{\prime }\equiv {\partial }_{\mu }-\mathrm{i}e{A}_{\mu }^{\prime }.\text{\hspace{1em}(1.253)}$$

读者应当验证 ${\nabla }_{\mu }\psi$ 以良好的方式变换，

$${\nabla }_{\mu }^{\prime }{\psi }^{\prime }={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}e\alpha (x)}{\nabla }_{\mu }\psi .\text{\hspace{1em}(1.254)}$$

总的量子电动力学（QED）拉格朗日量为

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{QED}}=-\frac{1}{4}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }+\bar{\psi }(\mathrm{i}{\gamma }^{\mu }{\nabla }_{\mu }+m)\psi .\text{\hspace{1em}(1.255)}$$

练习 1.12

设 $\varphi =({\varphi }_1+\mathrm{i}{\varphi }_2)/\sqrt{2}$ 是电荷为 $e$ 的复标量场。证明拉格朗日量

$$\mathcal{L}={\eta }^{\mu v}({\nabla }_{\mu }\varphi {)}^{†}({\nabla }_v\varphi )+m^2{\varphi }^{†}\varphi \text{\hspace{1em}(1.256)}$$

在规范变换

$$\varphi \to {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}e\alpha (x)}\varphi {\varphi }^{†}\to {\varphi }^{†}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}e\alpha (x)}{A}_{\mu }\to A_{\mu }-{\partial }_{\mu }\alpha (x).\text{\hspace{1em}(1.257)}$$

1.8.2 非阿贝尔规范理论

上面描述的规范变换是 U(1) 群的元素，即一个模为 1 的复数，而 U(1) 群恰好是阿贝尔群。几十年前，Yang 和 Mills（1954）引入了非阿贝尔规范变换。当时，人们研究非阿贝尔规范理论只是出于好奇；如今，它们已在基本粒子物理中处于核心地位。

设 $G$ 是一个紧致半单李群，例如 $\mathrm{SO}(N)$ 或 $\mathrm{SU}(N)$。其反厄米的生成元 $\{T_{\alpha }\}$ 满足对易关系

$$\left[T_{\alpha },T_{\beta }\right]=f_{\alpha \beta }^{\gamma }{T}_{\gamma }\text{\hspace{1em}(1.258)}$$

其中数 $f_{\alpha \beta }^{\gamma }$ 称为 $G$ 的李代数的结构常数(structure constant)。$G$ 中靠近单位元的元素 $U$ 可表示为

$$U=\exp \left(-{\theta }^{\alpha }{T}_{\alpha }\right).\text{\hspace{1em}(1.259)}$$

我们假定狄拉克场 $\psi$ 在 $U\in G$ 下按如下方式变换：

$$\psi \to U\psi \bar{\psi }\to \bar{\psi }{U}^{†}.\text{\hspace{1em}(1.260)}$$

［注：严格说来，我们必须指明 $\psi$ 属于 $G$ 的哪个群表示。如果读者对(1.260)感到不放心，例如，可以认为 $\psi$ 处于基础表示。］

考虑拉格朗日量

$$\mathcal{L}=\bar{\psi }\left[\mathrm{i}{\gamma }^{\mu }\left({\partial }_{\mu }+g{\mathcal{A}}_{\mu }\right)+m\right]\psi \text{\hspace{1em}(1.261)}$$

其中杨-米尔斯规范场 ${\mathcal{A}}_{\mu }$ 取值于 $G$ 的李代数，也就是说，${\mathcal{A}}_{\mu }$ 可以按 $T_{\alpha }$ 展开为 ${\mathcal{A}}_{\mu }=A_{\mu }^{\alpha }{T}_{\alpha }$。（花体场是反厄米的。）常数 $g$ 是耦合常数，它控制狄拉克场与规范场之间耦合的强度。容易验证，$\mathcal{L}$ 在如下变换下不变：

$$\psi \to {\psi }^{\prime }=U\psi \bar{\psi }\to {\bar{\psi }}^{\prime }=\bar{\psi }{U}^{†}\text{\hspace{1em}(1.262)}$$

$${\mathcal{A}}_{\mu }\to {\mathcal{A}}_{\mu }^{\prime }=U{\mathcal{A}}_{\mu }{U}^{†}+g^{-1}U{\partial }_{\mu }{U}^{†}.$$

规范协变导数仍按以前的方式定义为 ${\nabla }_{\mu }={\partial }_{\mu }+g{\mathcal{A}}_{\mu }$。规范协变导数 ${\nabla }_{\mu }\psi$ 在规范变换下按协变方式变换：

$${\nabla }_{\mu }^{\prime }{\psi }^{\prime }=U{\nabla }_{\mu }\psi .\text{\hspace{1em}(1.263)}$$

杨-米尔斯场张量为

$${\mathcal{F}}_{\mu v}\equiv {\partial }_{\mu }{\mathcal{A}}_v-{\partial }_v{\mathcal{A}}_{\mu }+g[{\mathcal{A}}_{\mu },{\mathcal{A}}_v].\text{\hspace{1em}(1.264)}$$

其分量 $F_{\mu \nu }^{\alpha }$ 为

$$F_{\mu v}^{\alpha }={\partial }_{\mu }{A}_v^{\alpha }-{\partial }_v{A}_{\mu }^{\alpha }+g{f}_{\beta \gamma }^{\alpha }{A}_{\mu }^{\beta }{A}_v^{\gamma }.\text{\hspace{1em}(1.265)}$$

若定义对偶场张量(dual field tensor) $\ast {\mathcal{F}}_{\mu \nu }\equiv \frac{1}{2}{\epsilon }_{\mu \nu \kappa \lambda }{\mathcal{F}}^{\kappa \lambda }$，则它满足比安基恒等式，

$${\mathcal{D}}_{\mu }\ast {\mathcal{F}}^{\mu v}\equiv {\partial }_{\mu }\ast {\mathcal{F}}^{\mu v}+g[{\mathcal{A}}_{\mu },\ast {\mathcal{F}}^{\mu v}]=0.\text{\hspace{1em}(1.266)}$$

练习 1.13

证明 ${\mathcal{F}}_{\mu \nu }$ 在 (1.262) 下变换为

$${\mathcal{F}}_{\mu v}\to U{\mathcal{F}}_{\mu v}{U}^{†}.\text{\hspace{1em}(1.267)}$$

由这道习题，我们得到一个规范不变的作用量

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{YM}}=-\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left({\mathcal{F}}^{\mu v}{\mathcal{F}}_{\mu v}\right)\text{\hspace{1em}(1.268a)}$$

其中迹是对群矩阵取的。其分量形式为

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{YM}}=-\frac{1}{2}{F}^{\mu v\alpha }{F}_{\mu v}^{\beta }\mathrm{tr}\left(T_{\alpha }{T}_{\beta }\right)=\frac{1}{4}{F}^{\mu v\alpha }{F}_{\mu v\alpha }\text{\hspace{1em}(1.268b)}$$

这里我们已将 $\{T_{\alpha }\}$ 归一化，使得 $\mathrm{tr}(T_{\alpha }{T}_{\beta })=-\frac{1}{2}{\delta }_{\alpha \beta }$。由 (1.268) 导出的场方程为

$${\mathcal{D}}_{\mu }{\mathcal{F}}_{\mu v}={\partial }_{\mu }{\mathcal{F}}_{\mu v}+g\left[{\mathcal{A}}_{\mu },{\mathcal{F}}_{\mu v}\right]=0.\text{\hspace{1em}(1.269)}$$

1.8.3 希格斯场

如果规范对称性在我们的世界中是明显可见的，那么就会存在许多可观测的无质量向量场。除了电磁场之外并不存在这类场，这就迫使我们破缺规范对称性。如果对称性是自发破缺的，理论就仍然保持可重整。

让我们考虑一个与复标量场 $\varphi$ 耦合的 U(1) 规范场，其拉格朗日量由下式给出

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}{F}^{\mu v}{F}_{\mu v}+({\nabla }_{\mu }\varphi {)}^{†}({\nabla }_{\mu }\varphi )-\lambda {\left({\varphi }^{†}\varphi -v^2\right)}^2.\text{\hspace{1em}(1.270)}$$

势能 $V(\varphi )=\lambda ({\varphi }^{†}\varphi -v^2{)}^2$ 在 $|\varphi |=v$ 处取极小值 $V=0$。拉格朗日量 (1.270) 在如下局域规范变换下不变

$$A_{\mu }\to A_{\mu }-{\partial }_{\mu }\alpha \varphi \to {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}e\alpha }\varphi {\varphi }^{†}\to {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}e\alpha }{\varphi }^{†}.\text{\hspace{1em}(1.271)}$$

由于希格斯场 $\varphi$ 的真空期望值（VEV）$⟨\varphi ⟩$，这一对称性是自发破缺的。我们将 $\varphi$ 展开为

$$\varphi =\frac{1}{\sqrt{2}}[v+\rho (x)]{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha (x)/v}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}[v+\rho (x)+\mathrm{i}\alpha (x)]$$

这里假定 $v\ne 0$。若 $v\ne 0$，我们可以取幺正规范，在其中 $\varphi$ 的相位被“规范掉”，从而 $\varphi$ 只含实部，

$$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2}}(v+\rho (x)).\text{\hspace{1em}(1.272)}$$

将(1.272)代入(1.270)并按$\rho$展开，可得

$$\begin{array}{rl}& \mathcal{L}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }+\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\rho {\partial }^{\mu }\rho +\frac{1}{2}{e}^2{A}_{\mu }{A}^{\mu }(v^2+2v\rho +{\rho }^2)\\ & -\frac{1}{4}\lambda \left(4v^2{\rho }^2+4v{\rho }^3+{\rho }^4\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(1.273)}$$

由自由部分导出的$A_{\mu }$与$\rho$的运动方程为

$${\partial }^{\nu }{F}_{\nu \mu }+2e^2{v}^2{A}_{\mu }=0{\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }\rho +2\lambda v^2\rho =0.\text{\hspace{1em}(1.274)}$$

由第一个方程可知，$A_{\mu }$必须满足洛伦兹条件${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$。(1.270)表面上具有的自由度为 2（光子）+ 2（复标量）= 4。若真空期望值 ≠ 0，则有 3（有质量矢量场）+ 1（实标量）= 4。场$A_0$的质量项符号错误，因此不能是物理的自由度。由规范场产生有质量场的过程称为希格斯机制(Higgs mechanism)。

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