群同态 (group homomorphism)

§5.4 explicitly says a map of groups preserving multiplication; §7.1 also discusses group maps.

别名：homomorphism；同态

按作者与版本查阅

以下按已登记位置排列。出现顺序、原文引用与已登记依赖分别展示；最早位置不代表全书首次定义。

Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§2.4 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§2.4	zh-CN · 英文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§2.4 · zh-CN · translation · unreviewed

则称这个映射是同态(homomorphism)

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§1.3 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§1.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现；位于定义入口环境中
§1.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§5.4	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§5.4	en · 中文上下文	术语出现
§5.4	zh-CN · 英文上下文	术语出现；位于定理入口环境中
§5.4	en · 中文上下文	术语出现；位于定理入口环境中
§6.2	en · 中文上下文	术语出现
§6.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§6.3	en · 中文上下文	术语出现
§7.1	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§7.1	en · 中文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§1.3 · zh-CN · translation · unreviewed

定义 · 群表示(representation)

定义（群表示(representation)）。群 $G$ 的表示 $(\pi ,V)$ 是一个群同态(group homomorphism)：

$$\pi :g\in G\to \pi (g)\in GL(V)$$

其中，$GL(V)$ 是由向量空间 $V$ 到自身的可逆线性映射构成的一般线性群(general linear group)。

§1.3 · zh-CN · translation · unreviewed

称映射 $\pi$ 为群同态(group homomorphism)，意思是：

§5.4 · zh-CN · translation · unreviewed

我们已经把群表示(group representation)定义为一种群同态(group homomorphism)，即保持群乘法的群映射。

§5.4 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

We have defined a group representation as a homomorphism (a map of groups preserving group multiplication).

§5.4 · zh-CN · translation · unreviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

§5.4 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

§6.2 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

A subtle and remarkable property of the orthogonal groups $\mathrm{SO}(n)$ is that it comes with an associated group, called the spin group $\mathrm{Spin}(n)$, such that every element of $\mathrm{SO}(n)$ corresponds to two distinct elements of $\mathrm{Spin}(n)$. There is a surjective group homomorphism

§6.3 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

存在一个群同态(group homomorphism) $\Phi :\mathrm{Spin}(3)\to \mathrm{SO}(3)$，它将第一个群映到第二个群，并且是一个二重覆盖映射(covering map)。其导数 ${\Phi }^{\prime }$ 是两个群的李代数之间的同构。

§6.3 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

There is a group homomorphism $\Phi :\mathrm{Spin}(3)\to \mathrm{SO}(3)$ taking the first group to the second; it is a two-fold covering map. Its derivative ${\Phi }^{\prime }$ is an isomorphism of the Lie algebras of the two groups.

§7.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

$\mathrm{SU}(2)$ 的自旋表示(spin representation)并不是 $\mathrm{SO}(3)$ 的表示。映射 $\Phi :\mathrm{SU}(2)\to \mathrm{SO}(3)$ 是一个二重覆盖(double cover)，也是一个群同态(group homomorphism)；因此，将 $\mathrm{SO}(3)$ 的任一表示 $(\pi ,V)$ 与 $\Phi$ 复合，就得到 $\mathrm{SU}(2)$ 的表示 $(\pi \circ \Phi ,V)$。反过来则不能这样构造：不存在同态 $\mathrm{SO}(3)\to \mathrm{SU}(2)$，能把 $\mathrm{SU}(2)$ 在 ${\mathbf{C}}^2$ 上的自旋表示变成 $\mathrm{SO}(3)$ 的表示。

§7.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

已登记作者陈述

• woit-qtgr §6.3 en · 群同态 · 已登记discussion · 讨论。原有范围、语言、来源类别及审核状态全部保留；本次只确认阅读身份对应，不提升证据资格。
• Nakahara 第3章 · 定理3.1 的证明 · 证明。Nakahara 本章限于阿贝尔群，运算记 +，单位元记 0；不把本章约定推广到任意群。
• woit-qtgr §5.4 en · 群同态 · 已登记discussion · 讨论。原有范围、语言、来源类别及审核状态全部保留；本次只确认阅读身份对应，不提升证据资格。
• Nakahara 第3章 · 循环群和边界群的子群资格 · 使用。已引入边界同态，尚不把 Br 包含于 Zr 当作这里已证明。
• woit-qtgr §1.3 en · 群同态 · 已登记discussion · 讨论。原有范围、语言、来源类别及审核状态全部保留；本次只确认阅读身份对应，不提升证据资格。
• woit-qtgr §6.3 zh-CN · 群同态 · 已登记discussion · 讨论。原有范围、语言、来源类别及审核状态全部保留；本次只确认阅读身份对应，不提升证据资格。
• Nakahara 第3章 · §3.1.1 同态 (3.1) · 定义入口。Nakahara 本章限于阿贝尔群，运算记 +，单位元记 0；不把本章约定推广到任意群。
• Nakahara 第3章 · 例3.2 对定理3.1的应用 · 使用。Nakahara 本章限于阿贝尔群，运算记 +，单位元记 0；不把本章约定推广到任意群。
• szekeres §2.4 en · 群同态 · 已登记definition · 定义入口。原有范围、语言、来源类别及审核状态全部保留；本次只确认阅读身份对应，不提升证据资格。
• woit-qtgr §5.4 zh-CN · 群同态 · 已登记discussion · 讨论。原有范围、语言、来源类别及审核状态全部保留；本次只确认阅读身份对应，不提升证据资格。
• woit-qtgr §7.1 en · 群同态 · 已登记discussion · 讨论。原有范围、语言、来源类别及审核状态全部保留；本次只确认阅读身份对应，不提升证据资格。
• woit-qtgr §1.3 zh-CN · 群同态 · 已登记discussion · 讨论。原有范围、语言、来源类别及审核状态全部保留；本次只确认阅读身份对应，不提升证据资格。
• szekeres §2.4 zh-CN · 群同态 · 已登记definition · 定义入口。原有范围、语言、来源类别及审核状态全部保留；本次只确认阅读身份对应，不提升证据资格。
• Nakahara 第3章 · 定理3.1 同态基本定理 · 定理入口。Nakahara 本章限于阿贝尔群，运算记 +，单位元记 0；不把本章约定推广到任意群。
• woit-qtgr §7.1 zh-CN · 群同态 · 已登记discussion · 讨论。原有范围、语言、来源类别及审核状态全部保留；本次只确认阅读身份对应，不提升证据资格。
• Nakahara 第3章 · 引理3.1 核与像为子群 · 定理入口。Nakahara 本章限于阿贝尔群，运算记 +，单位元记 0；不把本章约定推广到任意群。
• Nakahara 第3章 · 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 · 定义入口。本章整数系数单纯链；链群为自由阿贝尔群。该路径以群、子群和有向单形知识为已具备背景。 可另行采用实数或模二系数；不将不同系数的定义自动等同。
• Nakahara 第3章 · 定义3.3：循环群是边界同态的核 · 定义入口。本章整数系数单纯链；链群为自由阿贝尔群。该路径以群、子群和有向单形知识为已具备背景。
• Nakahara 第3章 · 定义3.4：边界群是前一边界同态的像 · 定义入口。本章整数系数单纯链；链群为自由阿贝尔群。该路径以群、子群和有向单形知识为已具备背景。

已登记依赖

保持原有来源与审阅状态，不由术语共同出现推断。

• 定理3.1 的证明 → 引理3.1 核与像为子群 · explicit-author-reference
• 例3.2 对定理3.1的应用 → 定理3.1 同态基本定理 · explicit-author-reference
• 循环群和边界群的子群资格 → 引理3.1 核与像为子群 · explicit-author-reference
• 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 → 循环群和边界群的子群资格 · construction-use
• 循环群和边界群的子群资格 → 定义3.3：循环群是边界同态的核 · construction-use
• 循环群和边界群的子群资格 → 定义3.4：边界群是前一边界同态的像 · construction-use

编辑导读与作者比较

既有 Luna 编排；独立机器审阅，尚未人工复核。冻结输入与审阅记录保留于原档案。

群同态保持群乘法：若 $\phi :G\to G^{\prime }$，则对所有 $a,b\in G$，有：

$$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)\text{ for all }a,b\in G.$$

Szekeres · §2.4

保持乘法的映射也保持单位元和逆元，因此其像形成陪域中的子群。 Szekeres · §2.4；Szekeres · §2.4

群表示是以可逆线性变换为陪域的群同态；这要求表示矩阵逐项遵守群元素的乘法关系。 Woit · §1.3；woit-qtgr §1.3 en · 群同态 · 已登记discussion

Szekeres · 作者条件与约定

作者把群同态写成从群 $G$ 到群 $G^{\prime }$ 的映射，并用乘法保持条件推出单位元、逆元及像的性质。

条件：定义域和值域都必须是群，映射保持两边各自的群乘法。

记号：$\phi :G\to G^{\prime }$；单位元分別记为 $e,e^{\prime }$。

Szekeres · §2.4；Szekeres · §2.4

Woit · 作者条件与约定

作者以群表示说明群同态的具体用法：将 $G$ 映到可逆线性变换群时，矩阵乘积必须等于群乘积的像。

条件：此书中的例子是表示 $\pi :G\to GL(V)$，所以陪域为 $V$ 上的可逆线性映射。

记号：群元素记作 $g_1,g_2$，映射记作 $\pi$。

Woit · §1.3；woit-qtgr §1.3 en · 群同态 · 已登记discussion

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

登记位置 12；当前可定位出现 12。

永久身份：urn:uuid:3e749de6-9d6f-43ea-a6de-ddff7c549a00。

身份历史 · 结构化来源索引