5.5 微分形式的积分

5.5.1 定向

微分形式在流形 $M$ 上的积分，只有当 $M$ 是“可定向的”时才有定义。因此我们先定义流形的定向。设 $M$ 是连通的 $m$ 维可微流形。在点 $p\in M$ 处，切空间 $T_{p}M$ 由基 $\{e_{\mu }\}=\{\partial /\partial x^{\mu }\}$ 张成，其中 $x^{\mu }$ 是 $p$ 所属坐标卡 $U_i$ 上的局部坐标。设 $U_j$ 是另一张坐标卡，满足 $U_i\cap U_j\ne \varnothing$，其局部坐标为 $y^{\alpha }$。若 $p\in U_i\cap U_j$，则 $T_{p}M$ 可由 $\{e_{\mu }\}$ 或 $\{{\tilde{e}}_{\alpha }\}=\{\partial /\partial y^{\alpha }\}$ 张成。基的变换关系为

$${\tilde{e}}_{\alpha }=\left(\frac{\partial x^{\mu }}{\partial y^{\alpha }}\right)e_{\mu }.\text{\hspace{1em}(5.97)}$$

若在 $U_i\cap U_j$ 上 $J=\det (\partial x^{\mu }/\partial y^{\alpha })>0$，则称 $\{e_{\mu }\}$ 与 $\{{\tilde{e}}_{\alpha }\}$ 在 $U_i\cap U_j$ 上定义了相同的定向(same orientation)；若 $J<0$，则它们定义相反的定向(opposite orientation)。

定义 5.6 可定向的(orientable)

设 $M$ 是由 $\{U_i\}$ 覆盖的连通流形。若对任意两张重叠的坐标卡 $U_i$ 与 $U_j$，都存在 $U_i$ 上的局部坐标 $\{x^{\mu }\}$ 和 $U_j$ 上的局部坐标 $\{y^{\alpha }\}$，使得 $J=\det (\partial x^{\mu }/\partial y^{\alpha })>0$，则称流形 $M$ 是可定向的(orientable)。

若 $M$ 不可定向，则 $J$ 不可能在所有坐标卡的交集上均为正。例如，图 5.14(a) 中的莫比乌斯带就是不可定向的，因为在交集 B 上我们只能取 $J$ 为负。

(a)

(b)

图 5.14. (a) 莫比乌斯带是把第二条带的 ${\mathbf{B}}^{\prime }$ 部分扭转 $\pi$ 后，将 A 与 ${\mathbf{A}}^{\prime }$、B 与 ${\mathbf{B}}^{\prime }$ 粘合而得到的。B 上的坐标变换为 $y^1=x^1$、$y^2=-x^2$，其雅可比矩阵为 $-1$。(b) 莫比乌斯带上的基标架。

若 $m$ 维流形 $M$ 可定向，则存在一个处处不为零的 $m$ 次形式 $\omega$。这个 $m$ 次形式 $\omega$ 称为体积元(volume element)，当我们把函数 $f\in \mathcal{F}(M)$ 在 $M$ 上积分时，它起着测度的作用。若存在严格正函数 $h\in \mathcal{F}(M)$ 使得 $\omega =h{\omega }^{\prime }$，则称两个体积元 $\omega$ 与 ${\omega }^{\prime }$ 等价。负定的函数 $h^{\prime }\in \mathcal{F}(M)$ 则给 $M$ 一个不等价的定向。因此，任何可定向流形都有两个不等价的定向，其中一个称为右手的，另一个称为左手的。取一个 $m$ 次形式

$$\omega =h(p)\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^m\text{\hspace{1em}(5.98)}$$

它在坐标为 $x=\phi (p)$ 的坐标卡 $(U,\phi )$ 上具有正定的 $h(p)$。若 $M$ 可定向，我们可以把 $\omega$ 延拓到整个 $M$ 上，使得分量 $h$ 在任意坐标卡 $U_i$ 上都是正定的。若 $M$ 可定向，则这个 $\omega$ 就是一个体积元。注意，$h$ 的这种正定性不依赖于坐标的选取。事实上，设 $p\in U_i\cap U_j\ne \varnothing$，并设 $x^{\mu }$ 与 $y^{\alpha }$ 分别是 $U_i$ 与 $U_j$ 的坐标，则(5.98)变为

$$\omega =h(p)\frac{\partial x^1}{\partial y^{{\mu }_1}}\mathrm{d}{y}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \frac{\partial x^m}{\partial y^{{\mu }_m}}\mathrm{d}{y}^{{\mu }_m}=h(p)\det \left(\frac{\partial x^{\mu }}{\partial y^{\nu }}\right)\mathrm{d}{y}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{y}^m.\text{\hspace{1em}(5.99)}$$

(5.99)中的行列式就是坐标变换的雅可比矩阵，由可定向性的假设它必须为正。若 $M$ 不可定向，则具有正定分量的 $\omega$ 无法在 $M$ 上定义。让我们再来看图 5.14。若沿图中所示的方向绕带一周，则回到起点时 $\omega =\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$ 的符号变为 $\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\to -\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$。因此，$\omega$ 无法在 $M$ 上唯一地定义。

5.5.2 形式的积分

现在我们可以定义函数 $f:M\to \mathbb{R}$ 在可定向流形 $M$ 上的积分了。取一个体积元 $\omega$。在坐标为 $x$ 的坐标邻域 $U_i$ 上，我们如下定义 $m$ 次形式 $f\omega$ 的积分：

$${\int }_{U_i}f\omega \equiv {\int }_{\phi (U_i)}f\left({\phi }_i^{-1}(x)\right)h\left({\phi }_i^{-1}(x)\right)d{x}^1\dots d{x}^m.\text{\hspace{1em}(5.100)}$$

右端是 $m$ 元函数的普通多重积分。一旦定义了 $f$ 在 $U_i$ 上的积分，就可以借助下面定义的“单位分解(partition of unity)”给出 $f$ 在整个 $M$ 上的积分。

定义 5.7 单位分解(partition of unity)

取 $M$ 的一个开覆盖 $\{U_i\}$，使得 $M$ 的每一点都被有限个 $U_i$ 覆盖。[若这总是可能的，则称 $M$ 是仿紧的，我们假定情形正是如此。] 若一族可微函数 ${\epsilon }_i(p)$ 满足

(i) $0\le {\epsilon }_i(p)\le 1$
(ii) 若 $p\notin U_i$，则 ${\epsilon }_i(p)=0$，并且
(iii) 对任意点 $p\in M$，有 ${\epsilon }_1(p)+{\epsilon }_2(p)+\dots =1$

则称族 $\{\epsilon (p)\}$ 为从属于覆盖 $\{U_i\}$ 的单位分解(partition of unity)。

由条件 (iii) 可得

$$f(p)=\sum _{i}f(p){\epsilon }_i(p)=\sum _i{f}_i(p)\text{\hspace{1em}(5.101)}$$

其中由 (ii)，$f_i(p)\equiv f(p){\epsilon }_i(p)$ 在 $U_i$ 之外为零。因此，给定一点 $p\in M$，所假定的仿紧性保证 (5.101) 中对 $i$ 的求和只有有限项。对每个 $f_i(p)$，我们可以按 (5.100) 定义其在 $U_i$ 上的积分。最后，$f$ 在 $M$ 上的积分由下式给出

$${\int }_{M}f\omega \equiv \sum _i{\int }_{U_i}{f}_i\omega .\text{\hspace{1em}(5.102)}$$

尽管不同的图册 $\{(V_i,{\psi }_i)\}$ 给出不同的坐标和不同的单位分解，由 (5.102) 定义的积分仍然相同。

例 5.13

我们取例 5.2中定义的 $S^1$ 的图册。令 $U_1=S^1-\{(1,0)\}$、$U_2=S^1-\{(-1,0)\}$、${\epsilon }_1(\theta )={\sin }^2(\theta /2)$ 和 ${\epsilon }_2(\theta )={\cos }^2(\theta /2)$。读者应当验证 $\{{\epsilon }_i(\theta )\}$ 是从属于 $\{U_i\}$ 的单位分解。例如，我们来积分一个函数 $f={\cos }^2\theta$。[当然我们知道

$${\int }_0^{2\pi }d\theta {\cos }^2\theta =\pi$$

但我们还是用单位分解来做。]我们有

$$\begin{array}{rl}{\int }_{S^1}\mathrm{d}\theta {\cos }^2\theta & ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\sin }^2\frac{\theta }{2}{\cos }^2\theta +{\int }_{-\pi }^{\pi }\mathrm{d}\theta {\cos }^2\frac{\theta }{2}{\cos }^2\theta \\ & =\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi =\pi .\end{array}$$

到目前为止，只要 $h$ 严格为正，我们就一直让它保持任意。读者也许会忍不住把 $h$ 取为 1。然而，正如我们在(5.99)中所发现的，$h$ 在坐标变换下要乘以雅可比矩阵，而并没有一种典范的方式把 $h$ 这一分量单独挑出来；在一个坐标中为 1 的量，在另一个坐标中未必为 1。如果流形上赋予了度量，情况就会改变，这一点我们将在chapter 7中看到。

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