紧辛群（四元数酉群） (compact symplectic group)

§6.2 uses Sp(n) preserving the quaternionic norm; distinct from Sp(2n,R).

别名：symplectic groups；辛群

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

§6.2 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

因此，所有单位四元数在乘法下构成群 $\mathrm{Sp}(1)$。对于更大的 $n$，还有称为辛群(compact symplectic group) $\mathrm{Sp}(n)$ 的李群；它们由保持四元数范数平方的可逆四元数矩阵组成。由于这些群在量子力学中并不起重要作用，我们不再进一步研究。

§6.2 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

The unit quaternions form a group under multiplication, called $\mathrm{Sp}(1)$. For larger $n$, there are Lie groups called symplectic groups $\mathrm{Sp}(n)$; they consist of invertible quaternionic matrices that preserve the squared norm. They play no significant role in quantum mechanics, so we will not study them further.

编辑导读与作者比较

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Woit 在第6.2节将较大 $n$ 时的 $Sp(n)$ 描述为四元数元素可逆矩阵组成的李群，这些矩阵作用于四元数向量并保持四元数长度平方。 Woit · §6.2

该节还指出，长度为 $1$ 的四元数在乘法下构成称为 $Sp(1)$ 的群，并将其与单位球面 $S^3\subset {\mathbf{R}}^4$ 联系起来。 Woit · §6.2

Woit · 作者条件与约定

Woit 先说明四元数长度平方 $|q{|}^2=q\bar{q}$ 的乘法性质，再称单位四元数构成 $Sp(1)$。对于更大的 $n$，其概述是：$Sp(n)$ 由四元数项可逆矩阵组成，作用在四元数向量上并保持四元数长度平方。

条件：$Sp(1)$ 对应长度为 $1$ 的四元数；对较大的 $n$，此处描述的是四元数矩阵及其保持长度平方的作用。

记号：本条目中的 $Sp(n)$ 按该节的四元数语境使用；该段并未展开更大 $n$ 时的矩阵条件。

Woit · §6.2

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