4.10 超流体 $^3\mathrm{He - A}$ 中的织构

4.10.1 超流体 ${}^3\mathrm{He}-\mathrm{A}$

下面给出最后一个、也是最有趣的例子。1972 年以前，BCS 超流体的唯一例子就是常规超导体（此外还有对中子星中超流中子的间接观测）。图 4.29 给出了无外磁场时超流体 ${}^3\mathrm{He}$ 的相图。由核磁共振及其他观测可知，这种超流体处于自旋三重态 p 波态。我们不用场算符（见 (4.65b)），而是用产生算符和湮灭算符来定义序参量(order parameter)。三重态超流体序参量最一般的形式为

图 4.29. 超流体 ${}^3\mathrm{He}$ 的相图。

$$⟨c_{\alpha ,\mathbf{k}}{c}_{\beta ,-\mathbf{k}}⟩\propto \sum _{\mu =1}^3{\left(\mathrm{i}{\sigma }_2{\sigma }_{\mu }\right)}_{\alpha \beta }{d}_{\mu }(\mathbf{k})\text{\hspace{1em}(4.69a)}$$

其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是自旋指标。库珀对在 p 波态中形成，因此 $d_{\mu }(k)$ 正比于 $Y_{1m}\sim k_i$

$$d_{\mu }(\mathbf{k})=\sum _{i=1}^3{\Delta }_0{A}_{\mu i}{k}_i.\text{\hspace{1em}(4.69b)}$$

体能量有若干个极小值。绝对极小值取决于压强和温度。我们特别关心 图 4.29 中的 A 相。

A 相的序参量具有如下形式

$$A_{\mu i}=d_{\mu }{\left({\mathbf{\Delta }}_1+\mathrm{i}{\mathbf{\Delta }}_2\right)}_i\text{\hspace{1em}(4.70)}$$

其中 $d$ 是一个单位向量，库珀对沿该方向的自旋投影为零，而 $({\Delta }_1,{\Delta }_2)$ 是一对正交归一的单位向量。向量 $d$ 取值于 $S^2$ 中。若定义 $l\equiv {\Delta }_1\times {\Delta }_2$，则三元组 $({\Delta }_1,{\Delta }_2,l)$ 在介质的每一点处构成一个正交标架。由于任何正交标架都可由标准正交标架 $(e_1,e_2,e_3)$ 经一个三维旋转矩阵作用得到，我们得出结论：${}^3\mathrm{He}-\mathrm{A}$ 的序参量为 $S^2\times \mathrm{SO}(3)$。这里引入的向量 $l$ 就是库珀对角动量的轴。

为简单起见，我们忽略 $\hat{d}$ 矢量的变化。[事实上，由于偶极力，$\hat{d}$ 被锁定

在 $\hat{l}$ 方向上。] 于是序参量具有如下形式

$$A_i={\Delta }_0{\left({\hat{\mathbf{\Delta }}}_1+{\hat{\mathbf{\Delta }}}_2\right)}_i\text{\hspace{1em}(4.71)}$$

其中 ${\hat{\Delta }}_1,{\hat{\Delta }}_2$ 与 $\hat{l}\equiv {\hat{\Delta }}_1\times {\hat{\Delta }}_2$ 在介质的每一点处构成一个正交标架。我们取一个标准正交标架 $(e_1,e_2,e_2)$。标架 $({\hat{\Delta }}_1,{\hat{\Delta }}_2,\hat{l})$ 是通过对标架施加一个元素 $g\in \mathrm{SO}(3)$ 而得到的，

$$g:\left({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_2\right)\to \left({\hat{\mathbf{\Delta }}}_1,{\hat{\mathbf{\Delta }}}_2,\hat{\mathbf{l}}\right).\text{\hspace{1em}(4.72)}$$

由于 $g$ 依赖于坐标 $x$，位形 $({\hat{\Delta }}_1(x),{\hat{\Delta }}_2(x),\hat{l}(x))$ 定义了一个映射 $\psi :X\to \mathrm{SO}(3)$，即 $x\mapsto g(x)$。映射 $\psi$ 称为超流体 ${}^3\mathrm{He}$ 的织构(texture)。用于对超流体 ${}^3\mathrm{He}$ -A 中的缺陷进行分类的相应同伦群是 ${\pi }_n(\mathrm{SO}(3))$。

若容器中充满 ${}^3\mathrm{He}-\mathrm{A}$，则边界会对织构施加一定的条件。向量 $\hat{l}$ 可理解为库珀对角动量的方向。库珀对在平行于边界壁的平面内旋转，因此 $\hat{l}$ 应垂直于壁面。[注：若壁面是漫反射的，则库珀对的轨道运动受到扰动，序参量在壁面附近的振幅会出现凹陷。为简单起见，我们假定壁面是镜面反射的光滑壁面，从而库珀对可以不受扰动地进行轨道运动。]自由能有若干种，而织构是通过在给定边界条件下求解由总自由能导出的欧拉-拉格朗日方程来确定的。

关于超流体 ${}^3\mathrm{He}$ 的综述可参见 Anderson and Brinkman (1975)、Leggett (1975) 以及 Mermin (1978)。

4.10.2 ${}^3\mathrm{He}-\mathrm{A}$ 中的线缺陷与非奇异涡旋

$\mathrm{SO}(3)\cong \mathbb{R}{P}^3$ 的基本群为 ${\pi }_1(\mathbb{R}{P}^3)\cong {\mathbb{Z}}_2\cong \{0,1\}$。属于类 0 的织构可以连续形变为均匀构型。类 1 中的构型称为向错(disgyration)，Maki 与 Tsuneto (1977) 以及 Buchholtz 与 Fetter (1977) 已对其进行了分析。图 4.30 描述了这些向错处于最低自由能时的构型。

(a)

(c)

图 4.30. ${}^3\mathrm{He}-\mathrm{A}$ 中的向错。

${\mathbb{Z}}_2$ 的一个显著性质是加法 $1+1=0$：两个向错合并会产生一个平庸织构。通过合并两个向错，我们可以构造出一种看起来像双涡量涡旋（同伦类“2”）却没有奇异核的织构；参见图 4.31(a)。容易验证，回路 $\alpha$ 的像绕 $\mathbb{R}{P}^3$ 两圈，而较小回路 $\beta$ 的像则可收缩为一点。这种织构称为 Anderson-Toulouse 涡旋(Anderson-Toulouse vortex)（Anderson and Toulouse 1977）。Mermin 与 Ho (1976) 指出，若介质处于圆柱形容器中，边界会施加条件 $\hat{l}\perp$（边界），于是涡旋在表面处被截断，参见图 4.31(b)（即 Mermin-Ho 涡旋(Mermin-Ho vortex)）。

(a)

图 4.31. Anderson-Toulouse 涡旋 $(a)$ 与 Mermin-Ho 涡旋 $(b)$。在 $(b)$ 中，边界迫使 $\hat{l}$ 垂直于壁面。

(b)

由于 ${\pi }_2(\mathbb{R}{P}^3)\cong \{e\}$，${}^3$He-A 中不存在点缺陷。然而，${\pi }_3(\mathbb{R}{P}^3)\cong \mathbb{Z}$ 引入了一类新的点状结构，称为 Shankar 单极子(Shankar monopole)，我们将在下面研究它。

4.10.3 ${}^3\mathrm{He}-\mathrm{A}$ 中的 Shankar 单极子

Shankar（1977）指出，在 ${}^3\mathrm{He}-\mathrm{A}$ 中存在一种无奇点的点状客体。考虑一个无限的 ${}^3\mathrm{He}-\mathrm{A}$ 介质。我们假定该介质是渐近均匀的，即当 $|x|\to \infty$ 时，$({\hat{\Delta }}_1,{\hat{\Delta }}_2,\hat{l})$ 趋于一个标准的正交标架 $(e_1,e_2,e_3)$。由于离原点很远的所有点都被映到同一个点，我们就把 ${\mathbb{R}}^3$ 紧致化为 $S^3$。于是，织构按 ${\pi }_3(\mathbb{R}{P}^3)=\mathbb{Z}$ 分类。和前面一样（例 4.12），我们用 $\mathbb{R}{P}^3$ 中的一个“矢量” $\Omega =\theta n$ 来指定 SO(3) 的一个元素。Shankar（1977）提出了如下织构：

$$\mathbf{\Omega }(\mathbf{r})=\frac{\mathbf{r}}{r}\cdot f(r)\text{\hspace{1em}(4.73)}$$

其中 $f(r)$ 是单调递减函数，满足

$$f(r)=\{\begin{array}{ll}2\pi & r=0\\ 0& r=\infty .\end{array}\text{\hspace{1em}(4.74)}$$

我们把 $\mathbb{R}{P}^3$ 的半径形式地延拓到 $2\pi$，并定义转角(rotation angle)模 $2\pi$。这种织构称为 Shankar 单极子(Shankar monopole)，见 图 4.32(a)。乍看之下，原点处似乎存在奇点。然而要注意，$\Omega$ 在原点处的长度为 $2\pi$，它等价于 SO(3) 的单位元。图 4.32(b) 描述了三脚架场。由于当 $r\to \infty$ 时 $\Omega (r)=0$，与方向无关，所以空间 ${\mathbb{R}}^3$ 被紧致化为 $S^3$。当我们扫过整个空间时，$\Omega (r)$ 扫过 SO(3) 两次，这一织构对应于 ${\pi }_3(\mathrm{SO}(3))\cong \mathbb{Z}$ 中的类 1。

图 4.32. Shankar 单极子：(a) 给出“矢量” $\Omega (r)$，(b) 给出三脚架 $({\hat{\Delta }}_1,{\hat{\Delta }}_2,\hat{l})$。注意当 $|r|\to \infty$ 时，三脚架趋于同一构形。

练习 4.10

画出属于 ${\pi }_3(\mathbb{R}{P}^3)$ 的类 $-1$ 的 Shankar 单极子。[不能简单地把图 4.32中的箭头反向。]

练习 4.11

考虑定义在 ${\mathbb{R}}^2$ 中的经典海森堡自旋，见4.8 节。设自旋取渐近值

$$\mathbf{n}(x)\to {\mathbf{e}}_z|x|\ge L\text{\hspace{1em}(4.75)}$$

时总能量有限，见图 4.20。证明该系统中的延展物体由 ${\pi }_2(S^2)$ 分类。画出类 $-1$ 与 $+2$ 的自旋构型示例。

4.1 证明 $n$ 维球面 $S^n$ 是穿孔欧氏空间 $R^{n+1}-\{0\}$ 的形变收缩核，并求出一个收缩映射。

4.2 设 $D^2$ 为二维闭圆盘，$S^1=\partial D^2$ 为其边界。设 $f:D^2\to D^2$ 为光滑映射，并假设 $f$ 没有不动点，即对任意 $p\in D^2$ 都有 $f(p)\ne p$。考虑从 $p$ 出发、经过 $f(p)$ 的射线（当 $p\ne f(p)$ 时，这条射线总是有定义的）。该射线与边界相交于某点 $q\in S^1$。于是定义 $\tilde{f}:D^2\to S^1$ 为 $\tilde{f}(p)=q$。利用 ${\pi }_1(S^1)=\mathbb{Z}$ 与 ${\pi }_1(D^2)=\{0\}$ 证明这样的 $\tilde{f}$ 不存在，从而 $f$ 必有不动点。[提示：证明若这样的 $\tilde{f}$ 存在，则 $D^2$ 与 $S^1$ 将具有相同的同伦型。]这是布劳威尔不动点定理的二维版本。

4.3 构造一个映射 $f:S^3\to S^2$，使它属于 ${\pi }_3(S^2)\cong \mathbb{Z}$ 中的元素 0 和 1。另见example 9.9。

尾注

原书尾注 1：正文锚点待核

“织构”这一名称实际上借自液晶中的序参量构型，参见4.9 节。

来源与版本

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