6.1 斯托克斯定理

研究德拉姆上同调群的主要工具之一就是斯托克斯定理，大多数物理学家在电磁学中已经熟悉它。这里把高斯定理与斯托克斯定理统一处理。

6.1.1 预备讨论

我们来定义 $r$ 形式在欧几里得空间中的 $r$ 单纯形上的积分。为此，首先需要定义 ${\mathbb{R}}^r$ 中的标准 $n$ 单纯形 ${\bar{\sigma }}_r=(p_0{p}_1\dots p_r)$，其中

$$p_0=(0,0,\dots ,0)$$

$$p_1=(1,0,\dots ,0)$$

$$\cdot \cdot \cdot$$

$$p_r=(0,0,\dots ,1)$$

如图 6.1所示。若 $\{x^{\mu }\}$ 是 ${\mathbb{R}}^r$ 的坐标，则 ${\bar{\sigma }}_r$ 由下式给出：

图 6.1. 标准 2-单纯形 ${\bar{\sigma }}_2=(p_0{p}_1{p}_2)$ 与标准 3-单纯形 ${\bar{\sigma }}_3=(p_0{p}_1{p}_2{p}_3)$。

$${\bar{\sigma }}_r=\left\{(x^1,\dots ,x^r)\in {\mathbb{R}}^r\mid x^{\mu }\ge 0,\sum _{\mu =1}^r{x}^{\mu }\le 1\right\}.\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

${\mathbb{R}}^r$ 中的 $r$ 形式 $\omega$（体积元）可写成

$$\omega =a(x)\mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^2\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^r.$$

我们定义 $\omega$ 在 ${\bar{\sigma }}_r$ 上的积分为

$${\int }_{{\bar{\sigma }}_r}\omega \equiv {\int }_{{\bar{\sigma }}_r}a(x)d{x}^{1}d{x}^2\dots d{x}^r\text{\hspace{1em}(6.2)}$$

其中右端是通常的 $r$ 重积分。例如，若 $r=2$ 且 $\omega =\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$，则有

$${\int }_{{\bar{\sigma }}_2}\omega ={\int }_{{\bar{\sigma }}_2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{1-x}\mathrm{d}y=\frac{1}{2}.$$

接下来我们在 $m$ 维可微流形 $M$ 中定义 $r$ 链(chain)、$r$ 闭链(cycle)与 $r$ 边缘(boundary)。设 ${\sigma }_r$ 是 ${\mathbb{R}}^r$ 中的 $r$ 单纯形，并设 $f:{\sigma }_r\to M$ 为可微映射。[为避免 $f$ 在 ${\sigma }_r$ 的边界处可微性所带来的微妙之处，可把 $f$ 定义在 ${\mathbb{R}}^r$ 的一个包含 ${\sigma }_r$ 的开子集 $U$ 上。]这里我们假定不要求 $f$ 有逆。例如，$\mathrm{im}f$ 可以是 $M$ 中的一个点。我们把 ${\sigma }_r$ 在 $M$ 中的像记作 $s_r$，并称之为 $M$ 中的（奇异）$r$ 单纯形。这些单纯形之所以称为奇异的，是因为它们并不给出 $M$ 的三角剖分，而且在一个流形中点的几何独立性没有意义（见3.2 节）。若 $\{s_{r,i}\}$ 是 $M$ 中 $r$ 单纯形的集合，则我们用 $\{s_{r,i}\}$ 的以 $\mathbb{R}$ 为系数的形式和来定义 $M$ 中的 $r$ 链

$$c=\sum _i{a}_i{s}_{r,i}{a}_i\in \mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(6.3)}$$

以下我们只涉及 $\mathbb{R}$ 系数，并省略对 $\mathbb{R}$ 的明确标注。$M$ 中的 $r$ 链构成链群 $C_r(M)$。在 $f:{\sigma }_r\to M$ 之下，边缘 $\partial {\sigma }_r$ 也被映为 $M$ 的一个子集。显然，$\partial s_r\equiv f(\partial {\sigma }_r)$ 是 $M$ 中 $(r-1)$ 单纯形的集合，称为

$s_r$ 的边缘。$\partial s_r$ 对应于 $s_r$ 的几何边界，其诱导定向在3.3 节中定义。于是我们得到映射

$$\partial :C_r(M)\to C_{r-1}(M).\text{\hspace{1em}(6.4)}$$

3.3 节 的结果告诉我们 $\partial$ 是幂零的，即 ${\partial }^2=0$。

闭链与边缘的定义与3.3 节中完全相同（但要注意，其中的 $\mathbb{Z}$ 已换成了 $\mathbb{R}$）。若 $c_r$ 是一个 $r$ 闭链，则 $\partial c_r=0$；而若 $c_r$ 是一个 $r$ 边缘，则存在一个 $(r+1)$ 链 $c_{r+1}$ 使得 $c_r=\partial c_{r+1}$。边缘群 $B_r(M)$ 是 $r$ 边缘的集合，闭链群 $Z_r(M)$ 是 $r$ 闭链的集合。构成 $C_r(M),B_r(M)$ 与 $Z_r(M)$ 的奇异单纯形有无穷多个。由 ${\partial }^2=0$ 可得 $Z_r(M)\supset B_r(M)$；参见定理 3.3。奇异同调群(singular homology group)定义为

$$H_r(M)\equiv Z_r(M)/B_r(M).\text{\hspace{1em}(6.5)}$$

在较温和的拓扑假设下，奇异同调群同构于以 $\mathbb{R}$ 为系数的相应单纯同调群，我们用同一个符号表示这两者。

现在我们可以定义 $r$ 形式 $\omega$ 在 $M$ 中的 $r$ 链上的积分了。我们先定义 $\omega$ 在 $M$ 的 $r$ 单纯形 $s_r$ 上的积分：

$${\int }_{s_r}\omega ={\int }_{{\bar{\sigma }}_r}{f}^{\ast }\omega \text{\hspace{1em}(6.6)}$$

其中 $f:{\bar{\sigma }}_r\to M$ 是满足 $s_r=f({\bar{\sigma }}_r)$ 的可微映射。由于 $f^{\ast }\omega$ 是 ${\mathbb{R}}^r$ 中的 $r$ 形式，右端是通常的 $r$ 重积分。对于一般的 $r$ 链 $c={\sum }_i{a}_i{s}_{r,i}\in C_r(M)$，我们定义

$${\int }_c\omega =\sum _i{a}_i{\int }_{s_{r,i}}\omega .\text{\hspace{1em}(6.7)}$$

6.1.2 斯托克斯定理

定理 6.1 · 斯托克斯定理

设 $\omega \in {\Omega }^{r-1}(M)$，$c\in C_r(M)$，则

$${\int }_c\mathrm{d}\omega ={\int }_{\partial c}\omega .\text{\hspace{1em}(6.8)}$$

证明

由于 $c$ 是 $r$-单纯形的线性组合，因此只需对 $M$ 中的一个 $r$-单纯形 $s_r$ 证明 (6.8)。设 $f:{\bar{\sigma }}_r\to M$ 是满足 $f({\bar{\sigma }}_r)=s_r$ 的映射，则

$${\int }_{s_r}\mathrm{d}\omega ={\int }_{{\bar{\sigma }}_r}{f}^{\ast }(\mathrm{d}\omega )={\int }_{{\bar{\sigma }}_r}\mathrm{d}(f^{\ast }\omega )$$

这里用到了 (5.75)。我们还有

$${\int }_{\partial s_r}\omega ={\int }_{\partial {\bar{\sigma }}_r}{f}^{\ast }\omega .$$

注意 $f^{\ast }\omega$ 是 ${\mathbb{R}}^r$ 中的 $(r-1)$-形式。因此，为证明斯托克斯定理

$${\int }_{s_r}\mathrm{d}\omega ={\int }_{\partial s_r}\omega \text{\hspace{1em}(6.9a)}$$

只需证明如下替代公式

$${\int }_{{\bar{\sigma }}_r}\mathrm{d}\psi ={\int }_{\partial {\bar{\sigma }}_r}\psi \text{\hspace{1em}(6.9b)}$$

对 ${\mathbb{R}}^r$ 中的 $(r-1)$-形式 $\psi$ 成立即可。$\psi$ 的最一般形式为

$$\psi =\sum a_{\mu }(x)d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^{\mu -1}\wedge d{x}^{\mu +1}\wedge \cdots \wedge d{x}^r.$$

由于积分具有分配性，只需对 $\psi =a(x)\mathrm{d}{x}^1\wedge$ $\dots \wedge \mathrm{d}{x}^{r-1}$ 证明 (6.9b)。我们注意到

$$\mathrm{d}\psi =\frac{\partial a}{\partial x^r}\mathrm{d}{x}^r\wedge \mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{r-1}=(-1{)}^{r-1}\frac{\partial a}{\partial x^r}\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{r-1}\wedge \mathrm{d}{x}^r.$$

由直接计算，从 (6.2) 可得

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{{\bar{\sigma }}_r}\mathrm{d}\psi =(-1{)}^{r-1}{\int }_{{\bar{\sigma }}_r}\frac{\partial a}{\partial x^r}\mathrm{d}{x}^1\dots \mathrm{d}{x}^{r-1}\mathrm{d}{x}^r\\ & =(-1{)}^{r-1}{\int }_{x^{\mu }\ge 0,{\sum }_{\mu =1}^{r-1}{x}^{\mu }\le 1}d{x}^1\dots d{x}^{r-1}{\int }_0^{1-{\sum }_{\mu =1}^{r-1}{x}^{\mu }}\frac{\partial a}{\partial x^r}d{x}^r\\ & =(-1{)}^{r-1}\int \mathrm{d}{x}^1\dots \mathrm{d}{x}^{r-1}\\ & \times \left[a\left(x^1,\dots ,x^{r-1},1-\sum _{\mu =1}^{r-1}{x}^{\mu }\right)-a\left(x^1,\dots ,x^{r-1},0\right)\right].\end{array}$$

对于 ${\bar{\sigma }}_r$ 的边界，我们有

$$\begin{array}{rl}& \partial {\bar{\sigma }}_r=(p_1,p_2,\dots ,p_r)-(p_0,p_2,\dots ,p_r)\\ & +\cdots +(-1{)}^r\left(p_0,p_1,\dots ,p_{r-1}\right).\end{array}$$

注意当 $x^1,\dots ,x^{r-1}$ 中有一个为常数时，$\psi =a(x)\mathrm{d}{x}^1\wedge \dots \wedge \mathrm{d}{x}^{r-1}$ 为零。于是可得

$${\int }_{(p_0,p_2,\dots ,p_r)}\psi =0$$

因为在 $(p_0,p_2,\dots ,p_r)$ 上 $x^1\equiv 0$。事实上，$\partial {\bar{\sigma }}_r$ 的大多数面都不对 (6.9b) 的右端有贡献，于是只剩下

$${\int }_{\partial {\bar{\sigma }}_r}\psi ={\int }_{(p_1,p_2,\dots ,p_r)}\psi +(-1{)}^r{\int }_{(p_0,p_1,\dots ,p_{r-1})}\psi .$$

由于 $(p_0,p_1,\dots ,p_{r-1})$ 是标准 $(r-1)$-单纯形（$x^{\mu }\ge 0$，${\sum }_{\mu =1}^{r-1}{x}^{\mu }\le 1$），在其上 $x^r=0$，故第二项为

$$(-1{)}^r{\int }_{(p_0,p_1,\dots ,p_{r-1})}\psi =(-1{)}^r{\int }_{{\bar{\sigma }}_{r-1}}a(x^1,\dots ,x^{r-1},0)\mathrm{d}{x}^1\dots \mathrm{d}{x}^{r-1}.$$

第一项为

$$\begin{array}{rl}{\int }_{(p_1,p_2,\dots ,p_r)}\psi & ={\int }_{(p_1,\dots ,p_{r-1},p_0)}a\left(x^1,\dots ,x^{r-1},1-\sum _{\mu =1}^{r-1}{x}^{\mu }\right)d{x}^1\dots d{x}^{r-1}\\ & =(-1{)}^{r-1}{\int }_{{\bar{\sigma }}_{r-1}}a\left(x^1,\dots ,x^{r-1},1-\sum _{\mu =1}^{r-1}{x}^{\mu }\right)d{x}^1\dots d{x}^{r-1}\end{array}$$

其中积分区域 $(p_1,\dots ,p_r)$ 已沿 $x^r$ 投影到 $(p_1,\dots ,p_{r-1},p_0)$-平面上，并保持定向不变。综合这些结果，我们便证明了 (6.9b)。[建议读者利用 图 6.1 验证 $m=3$ 时的这一证明。]

练习 6.1

设 $M={\mathbb{R}}^3$，$\omega =a\mathrm{d}x+b\mathrm{d}y+c\mathrm{d}z$。证明斯托克斯定理可写成

$${\int }_S\mathrm{curl}\mathbf{\omega }\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}={\oint }_C\mathbf{\omega }\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}(\text{斯托克斯定理})\text{\hspace{1em}(6.10)}$$

其中 $\omega =(a,b,c)$，而 $C$ 是曲面 $S$ 的边界。类似地，对于 $\psi =\frac{1}{2}{\psi }_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{x}^{\nu }$，证明

$${\int }_V\mathrm{div}\mathbf{\psi }dV={\oint }_S\mathbf{\psi }\cdot dS(\text{高斯定理})$$

其中 ${\psi }^{\lambda }={\epsilon }^{\lambda \mu \nu }{\psi }_{\mu \nu }$，而 $S$ 是体积 $V$ 的边界。

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