12.8 阿蒂亚-帕托迪-辛格指标定理

迄今为止，我们讨论的都是定义在无边界的紧流形上的指标定理。在物理学的实际情况中，我们常常需要求定义在带边界的底空间 $M$ 上的某个算符的指标。这里讨论 AS 指标定理向这些情形的推广。我们的论证只限于 $M$ 上的自旋丛，因为在第 13 章中我们只关心这一情形。

12.8.1 $\eta$ 不变性与谱流

设 $\mathrm{i}\overline{\mathcal{V}}$ 是定义在奇维流形 $M$（$\dim M=2l+1$）上的厄米狄拉克算符。由于 $\mathrm{i}\overline{\mathcal{V}}$ 是厄米的，其特征值 ${\lambda }_k$ 都是实数。我们利用 $\mathrm{i}\overline{\mathcal{V}}$ 的谱不对称性来定义 $\mathrm{i}\overline{\mathcal{V}}$ 的 $\eta$ 不变量：

$$\eta \equiv \sum _{{\lambda }_k>0}1-\sum _{{\lambda }_k<0}1.\text{\hspace{1em}(12.118)}$$

这一表达式并未良好定义，需要作适当的正则化。例如，我们可以用 ${\lim }_{s\to 0}\eta (s)$ 来定义 $\eta$，其中

$$\eta (s)\equiv \sum _k^{\prime }\mathrm{sgn}\left({\lambda }_k\right){\left|{\lambda }_k\right|}^{-2s}\text{R e}s>0.\text{\hspace{1em}(12.119)}$$

可以证明，在适当的边界条件下，$\eta (s)$ 在 $s=0$ 处没有极点。

练习 12.7

利用梅林变换

$$\frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{s+1}{2}\right)a^{-(s+1)/2}={\int }_0^{\infty }dx{x}^s{e}^{-a{x}^2}a>0$$

验证

$$\eta (s)=\frac{2}{\Gamma \left(\frac{1}{2}(s+1)\right)}{\int }_0^{\infty }dx{x}^s\mathrm{tr}i\bar{V}{e}^{-x^2(i\bar{V}{)}^2}.\text{\hspace{1em}(12.120)}$$

设狄拉克场与外规范势 ${\mathcal{A}}_t$（$t\in [0,1]$）相互作用。此时狄拉克算符 $\mathrm{i}\tilde{\nabla }({\mathcal{A}}_t)$ 的特征值问题依赖于 $t$。若 $\mathrm{i}\tilde{\nabla }({\mathcal{A}}_t)$ 的某个特征值穿过零点，则 $\eta$ 不变量发生 $\pm 2$ 的跳变。这一跳变

表示从 $\lambda ⩾0$ 模式到 $\lambda ⩽0$ 模式的谱流；若 $\eta$ 跳变 $+2(-2)$，则有一个态从 $\lambda <0$ 流向 $\lambda >0$（从 $\lambda >0$ 流向 $\lambda <0$），如图 12.1所示。除与谱流相关的这种不连续变化之外，i$\mathbb{W}$ 还具有连续的变化 ${\eta }_c$。于是有

(a)

(b)

图 12.1. 每当特征值 $\lambda$ 穿过零点 $(a)$ 时，$\eta$ 不变量就发生 $\pm 2(b)$ 的跳变。其符号取决于 $\lambda$ 穿过零点的方式。

$$\eta (t=1)-\eta (t=0)={\int }_0^1\mathrm{d}t\frac{\mathrm{d}{\eta }_c}{\mathrm{d}t}+2\times (\text{谱流}).\text{\hspace{1em}(12.121)}$$

12.8.2 阿蒂亚-帕托迪-辛格（APS）指标定理

下面考虑一个 $(2l+2)$ 维的狄拉克算符

$$\mathrm{i}{\hat{D}}_{2l+2}=\mathrm{i}{\sigma }_1\frac{\partial }{\partial t}+{\sigma }_2\otimes \mathrm{i}\bar{\mathbb{V}}({\mathcal{A}}_t)=\left(\begin{array}{cc}0& D\\ D^{†}& 0\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(12.122a)}$$

其中

$$D=\mathrm{i}{\partial }_t-\nabla ({\mathcal{A}}_t)D^{†}=\mathrm{i}{\partial }_t+\nabla ({\mathcal{A}}_t).\text{\hspace{1em}(12.122b)}$$

[注：$D$ 与 $D^{†}$ 的位置之所以互换，是因为

$${\gamma }^{2l+3}=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

在我们所选的 $\gamma$ 矩阵下，参见(12.79)。]

定理 12.3 · 阿蒂亚-帕托迪-辛格定理

设 $M$ 为奇维流形，$\mathrm{i}\vec{\mathcal{V}}({\mathcal{A}}_t)$ 为 $M$ 上与外规范场 ${\mathcal{A}}_t$ 相互作用的狄拉克算符。则

$$\begin{array}{rl}\mathrm{ind}D& =\dim \ker D-\dim \ker D^{†}\\ & ={\int }_{M\times I}\hat{A}(\mathcal{R})\mathrm{ch}(\mathcal{F}){|}_{\text{v o l}}-\frac{1}{2}[\eta (\mathrm{i}\nabla ({\mathcal{A}}_1))-\eta (\mathrm{i}\nabla ({\mathcal{A}}_0))].\end{array}\text{\hspace{1em}(12.123)}$$

一般论证表明，$\eta$ 不变量的连续部分 ${\eta }_c$ 满足

$${\int }_0^1\mathrm{d}t\frac{\mathrm{d}{\eta }_c}{\mathrm{d}t}=2{\int }_{M\times I}\hat{A}(\mathcal{R})\mathrm{ch}(\mathcal{F}){|}_{\text{v o l}}.\text{\hspace{1em}(12.124)}$$

于是 (12.123) 的右端恰好就是谱流

$$-\frac{1}{2}[\eta (t=1)-\eta (t=0)]+\frac{1}{2}{\int }_0^1\mathrm{d}t\frac{\mathrm{d}{\eta }_c}{\mathrm{d}t}=-\text{谱流}.$$

这样，我们就得到了 APS 指标定理的另一种表达形式：

$$\mathrm{id}{\hat{D}}_{2l+2}=-\text{谱流}.\text{\hspace{1em}(12.125)}$$

APS 指标定理最一般形式的证明见 Atiyah 等（1975a, b, 1976）。物理学家的证明见 Alvarez-Gaume 等（1985）。我们将利用 APS 指标定理来研究 13.6 节 中的奇维宇称反常。

例 12.8

为了看清谱流为何会出现在指标定理中，我们考察一个取自 Atiyah（1985）的例子。设 $M=S^1$，其坐标为 $\theta$。考虑一个厄米算符

$$\mathrm{i}{\nabla }_t\equiv \mathrm{i}\left(\frac{\partial }{\partial \theta }-\mathrm{i}t\right)=\mathrm{i}{\partial }_{\theta }+tt\in \mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(12.126)}$$

其中 $-\mathrm{i}t$ 被看作 U(1) 规范势。$\mathrm{i}{\nabla }_t$ 的特征向量与特征值为

$${\psi }_{n,t}(\theta )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}n\theta }(n\in \mathbb{Z}){\lambda }_n(t)=n+t.$$

由于 $\mathrm{Spec}\mathrm{i}{\nabla }_t=\mathrm{Spec}\mathrm{i}{\nabla }_{t+1}$，算符族 $\mathrm{i}{\nabla }_t$ 关于 $t$ 是周期的，周期为 1，见图 12.2。这种周期性体现在 $\mathrm{i}{\nabla }_t$ 与 $\mathrm{i}{\nabla }_{t+1}$ 的规范等价性上：

图 12.2. $\mathrm{i}{\nabla }_t$ 的特征值随时间的演化。Spec $\mathrm{i}{\nabla }_t$ 的周期为 1。第 $i$ 个特征值在 $t=0$ 处穿过零点，因此存在单位谱流。

$$\mathrm{i}{\nabla }_{t+1}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{i}{\nabla }_t{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }.$$

当 $t$ 从 $-\epsilon$ 变到 $1-\epsilon$（其中 $\epsilon$ 为小的正数）时，在 $t=0$ 处恰好有从 $\lambda <0$ 到 $\lambda >0$ 的单位谱流。由 $\mathrm{i}{\nabla }_t$，我们构造一个二维狄拉克算符

$$\mathrm{i}/D_2\equiv \mathrm{i}{\sigma }_1\otimes \frac{\partial }{\partial t}+{\sigma }_2\otimes \mathrm{i}{\nabla }_t=\left(\begin{array}{cc}0& D\\ D^{†}& 0\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(12.127a)}$$

其中

$$D\equiv \mathrm{i}{\partial }_t+{\partial }_{\theta }-\mathrm{i}t{D}^{†}\equiv \mathrm{i}{\partial }_t-{\partial }_{\theta }+\mathrm{i}t.\text{\hspace{1em}(12.127b)}$$

这些算符作用在满足如下边界条件的函数上

$$\varphi (\theta +2\pi ,t)=\varphi (\theta ,t)\varphi (\theta ,t+1)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\varphi (\theta ,t).\text{\hspace{1em}(12.128)}$$

设 ${\varphi }_0\in \ker D^{†}$。我们有傅里叶展开

$${\varphi }_0(\theta ,t)=\sum a_n(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}n\theta }.$$

由 $D^{†}{\varphi }_0=0$ 可得

$$a_n^{\prime }(t)+(n+t)a_n(t)=0$$

该方程容易解出

$$a_n(t)=c_n\exp \left(-\frac{(n+t{)}^2}{2}\right).$$

边界条件 (12.128) 要求

$$\sum _n{c}_n\exp \left(-\frac{(n+t+1{)}^2}{2}\right)e^{-in\theta }=\sum _n{c}_n\exp \left(-\frac{(n+t{)}^2}{2}\right)e^{-i(n-1)\theta }$$

由此我们发现 $c_n$ 与 $n$ 无关。因此，$\ker D^{†}$ 是一维的，并由theta 函数张成，

$${\varphi }_0(\theta ,t)=\sum \exp \left(-\frac{(n+t{)}^2}{2}-\mathrm{i}n\theta \right).\text{\hspace{1em}(12.129)}$$

设 ${\tilde{\varphi }}_0(\theta ,t)\in \ker D$。若令 ${\tilde{\varphi }}_0(\theta ,t)=\sum b_n(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}n\theta }$，则 $b_n(t)$ 满足

$$b_n^{\prime }(t)-(n+t)b_n(t)=0.$$

该方程的解为

$$b_n(t)=b_n(0)\exp \frac{(n+t{)}^2}{2}$$

因此 ${\tilde{\varphi }}_0$ 无法归一化。这表明

$$\mathrm{ind}D=\dim \ker D-\dim \ker D^{†}=-1$$

这与 $-$（谱流）相符。

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